Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Combinatoria/Triángulo de Pascal»

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Línea 9:
Este teorema establece:
Usando la fórmula para calcular el valor de <math>\tbinom{n}{k}</math> (que también es representado ocasionalmente como <math>C(n,k)\,</math> o <math>C^n_k </math>) se obtiene la siguiente representación:
 
{{teorema|<math>(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} x^{n-k} y^k</math>}}
<math>(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \frac{teorema|n!}{k!(n-k)!} x^{n-k} y^k</math>

El coeficiente de <math>x^{n-k}y^k\,</math> en el desarrollo de <math>(x+y)^n\,</math> es <math>{n\choose k}</math>}}
 
donde <math>\tbinom{n}{k}</math> recibe el nombre de [[coeficiente binomial]] y representa el número de formas de escoger ''k'' elementos a partir de un conjunto con ''n'' elementos.
Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:
 
{{teorema|<math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k} y^k={n \choose 0}x^n + {n\choose 1} x^{n-1} y+{n\choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n\choose n-1}xy^{n-1} + {n\choose n} y^n</math>}}
 
=== Ejemplo ===
Como ejemplo, para ''n''=2, ''n''=3, ''n''=4, utilizando los coeficientes del [[triángulo de Pascal]]:
 
{{ecuación|<math>\begin{cases}
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\
(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \end{cases}</math>|2|left}}
 
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar ''-y'' en lugar de ''y'' en los términos con potencias impares de y. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
 
:<math>(x-y)^2=x^{2}-2xy+y^{2}\,</math>