Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Combinatoria/Triángulo de Pascal»
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Página creada con «En matemática, el '''teorema del binomio''' es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia ''n''-ésima (siendo ''n'', entero positivo) de un binomio...» |
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Línea 9:
Este teorema establece:
Usando la fórmula para calcular el valor de <math>\tbinom{n}{k}</math> (que también es representado ocasionalmente como <math>C(n,k)\,</math> o <math>C^n_k </math>) se obtiene la siguiente representación:
<math>(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \frac{
El coeficiente de <math>x^{n-k}y^k\,</math> en el desarrollo de <math>(x+y)^n\,</math> es <math>{n\choose k}</math> donde <math>\tbinom{n}{k}</math> recibe el nombre de [[coeficiente binomial]] y representa el número de formas de escoger ''k'' elementos a partir de un conjunto con ''n'' elementos.
Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:
=== Ejemplo ===
Como ejemplo, para ''n''=2, ''n''=3, ''n''=4, utilizando los coeficientes del [[triángulo de Pascal]]:
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\
(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \end{cases}</math>
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar ''-y'' en lugar de ''y'' en los términos con potencias impares de y. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
:<math>(x-y)^2=x^{2}-2xy+y^{2}\,</math>
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