Diferencia entre revisiones de «Cursos/E M T/3º Electromecánica - Matemáticas/Unidad 5»

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Esta definición puede aplicarse, tanto a [[número real|números reales]] o [[número complejo|complejos]], así como a otras [[estructura algebraica|estructuras algebraicas]] más abstractas, como pueden ser, por ejemplo, [[matriz cuadrada|matrices cuadradas]].
 
==== Multiplicación de potencias de igual base ====
El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:
 
{{Demostración|1 = <math>a^n \times a^m = \underbrace{ \underbrace{a \times \cdots \times a}_n \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_m}_{n+m} = a^{n+m}</math>| título=<math> a^n \cdot a^m = a^{n+m} </math>}}
 
Ejemplos:
:<math> 9^3 \cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5</math>
 
==== Potencia de una potencia ====
La potencia de una potencia de base ''a'' es igual a la potencia de base ''a'' y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):
 
{{Demostración|1 = <math>(a^m)^n = {( \underbrace{ a \times \cdots \times a }_m )}^n = n \begin{cases} \underbrace{ \begin{matrix} a \times & \cdots & \times a \times \\ \vdots & & \vdots \\ a \times & \cdots & \times a \end{matrix} }_m \end{cases} = a^{m \cdot n}</math> |título=<math> {(a^m)}^n = a^{m \cdot n} </math> }}
 
Debido a esto, la notación <math>a^{b^c}</math> se reserva para significar <math>a^{(b^c)}</math> ya que <math>{(a^b)}^c</math> se puede escribir sencillamente como <math>a^{bc}\,</math>.
 
==== Potencia de un producto ====
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:
 
{{Demostración|1 = <math>(a \times b)^n = n \begin{cases} \begin{matrix} a \times b \times \\ \vdots \\ a \times b \end{matrix} \end{cases} = a^n \times b^n</math>| título=<math>(a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n</math>}}
 
----
 
Si la base ''a'' tiene [[inverso aditivo]], indicado mediante signo negativo ''-a'', entonces se tiene la regla:
 
{{Demostración|1 = <math>\begin{array}{ll}
(-a)^1 = & -a \\
(-a)^2 = & (-a)\times (-a) = a^2\\
(-a)^3 = & \underbrace{(-a)\times (-a)}_{a^2} \times (-a)= -(a^3)\\
\vdots & \\
(-a)^n = & \underbrace{((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n \text{ par}} = a^n\\
(-a)^n = & \underbrace{ \underbrace{ ((-a) \times (-a)) \times \cdots \times ((-a) \times (-a))}_{n-1 \text{ par por tanto es } a^{n-1}} \times (-a) }_{n \text{ impar}}) = -(a^n),
\end{array}</math>|título=<math>(-a)^n =\;\;\;\;\; a^n</math> si '''''n''''' es par.
<math>(-a)^n = -( a^n)</math> si '''''n''''' es impar.}}
 
Si la base ''a'' tiene [[inverso multiplicativo]] ''c'', es decir ''c''·''a'' = 1 o que <math>c=\frac{1}{a}</math>, entonces este se denota por <math> a^{-1},</math> y el exponente se puede ampliar a todos los [[números enteros]]:
 
{{Ecuación|<math>\begin{array}{l}a^{-1} = \frac{1}{a} \\
a^{-n} = \frac{1}{a^n}\end{array}</math>|2}}
 
;Observación:
:<math> a^{-n} = ( a^{-1} )^n = \underbrace{ \frac{1}{a} \times \cdots \times \frac{1}{a}}_n = \frac{1}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_n} = \frac{1}{a^n}.</math>
 
==== División de potencias de igual base ====
El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el del divisor ,<ref>Dolciani-Berman- Wooton, Algebra Modera y Trigonometría- ISBN 968-439-024-6</ref> esto es:
 
{{Demostración|1 = <math>\frac{a^m}{a^n}= a^m \cdot a^{-n}</math> <math>= a^{m+(-n)}</math> <math>= a^{m-n}</math>
 
De forma extendida aparecen 3 casos:
 
<math> =\frac{ \overbrace{a \times \cdots \times a}^m}{\underbrace{a \times \cdots \times a}_n} </math> <math>=\begin{cases}\begin{matrix}
\frac{ \overbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}^n \times \overbrace{a \times \cdots \times a}^{m-n}}{\underbrace{\cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=a^{m-n} & \text{Si } m>n\\
\frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_n}=1& \text{Si } m=n\\
\frac{ \overbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}^m }{\underbrace{ \cancel a \times \cdots \times \cancel a}_m \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n-m} }=\frac{1}{a^{n-m}}& \text{Si } m<n
\end{matrix}\end{cases}</math>|título=<math> \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n} </math>}}
 
Ejemplo:
 
:<math> \frac{9^5}{9^3} = 9^{5-3}= 9^2</math>
 
===== Potencia de exponente 0 =====
 
Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la [[uno|unidad]] (1), puesto que:<ref name="FC">{{cita libro |apellido=Soler |nombre=Francisco |apellido2=Nuñez |nombre2=Reinaldo |apellido3=Aranda |nombre3=Moises|enlaceautor= |título=Fundamentos de Cálculo. Con aplicaciones a ciencias económicas y administrativas |url= |fechaacceso= |idioma=castellano |otros= |edición=2ª |año=2004 |editor= |editorial=ECOE EDICIONES |ubicación=
|isbn=9586482901 |capítulo=1. Álgebra básica |páginas=14 |cita=}}</ref><ref>{{MathWorld|ExponentLaws|Exponent Laws}}</ref>
:<math>1 = \frac {a^n} {a^n} = a^{n-n} =
a^0\,</math>
 
El caso particular de <math>0^0\,</math>, en principio, no está definido {{cr}} (ver [[Cero#Cero en la potenciación|cero]]).
 
==== Potencia de un cociente ====
La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.
 
{{Demostración|1 = <math> \left(\frac{a}{b}\right)^n = </math><math> \left( a \cdot b^{-1} \right)^n =</math> <math> a^n \cdot b^{-n} =</math> <math> \frac{a^n}{b^n} </math>
 
O de forma extendida:
 
<math>= \underbrace{ \frac{a}{b} \times \cdots \times \frac{a}{b}}_n = \frac{a \times \cdots \times a}{b \times \cdots \times b} = \frac{a^n}{b^n}</math>| título=<math> \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} </math>}}
 
----
 
Si la base ''a'' = 0, entonces ''a'' no tiene [[inverso multiplicativo]] <math>a^{-1}</math>, por lo que sólo se presentan exponentes de números naturales por {{Eqnref|1}} quedando así prohibida la notación {{Eqnref|2}} como valor numérico:
 
:<math>0^1=0</math>
 
:<math>0^n= \underbrace{0 \times \cdots \times 0}_n = 0.</math>
 
=== Exponente racional ===
 
{{AP|Radicación}}
 
La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una [[ecuación]] del tipo <math> x^n= a </math>, de manera que <math> x = \sqrt[n]{a} </math>, pero se ha de garantizar que dicha ''x'' sea un [[número real]] y esto sólo se puede garantizar para toda ''n'' si la base ''a'' es un número real positivo, por lo que existe un teorema que dice:
 
{{teorema|Dado un número real positivo ''a'', este tiene una única raíz ''n''-ésima positiva.}}
 
Para notar la [[radicación|raíz]] se define el uso de fracciones en el exponente:
 
{{Ecuación|
<math>a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} </math>
|3}}
 
;Observación:
 
:<math>\left( a^{\frac{1}{n}} \right)^n = a^{\frac{1}{n} \cdot n } = a^1 = a.</math>
 
En general para las fracciones se define que:
 
{{Ecuación|
<math> \begin{array}{ll}
a^{\frac{n}{m}} & = \sqrt[m]{a^n} \\
a^{-\frac{n}{m}} & = \frac{1}{ a^{\frac{n}{m}} }
\end{array}</math>
|4}}
 
;Relación:
{{Demostración|1 = <math>\frac{n_1}{m_1} = \frac{n_2}{m_2} \Rightarrow </math> <math>n_1 \cdot m_2 = n_2 \cdot m_1</math>
 
:<math>a^{\frac{n_1}{m_1}}=a^{\frac{n_2}{m_2}} \Leftrightarrow </math> <math>\left( a^{\frac{n_1}{m_1}}\right)^{m_1 \cdot m_2}=\left( a^{\frac{n_2}{m_2}}\right)^{m_1 \cdot m_2} \Leftrightarrow</math> <math> a^{n_1 \cdot m_2}= a^{m_1 \cdot n_2} .</math>
|título=<math>a^{\frac{n_1}{m_1}}=a^{\frac{n_2}{m_2}} \Leftrightarrow </math> <math>\frac{n_1}{m_1} = \frac{n_2}{m_2} </math>}}
 
==== Propiedades ====
 
:<math> a^{\frac{n_1}{m_1}} \cdot a^{\frac{n_2}{m_2}} = a^{\frac{n_1}{m_1}+\frac{n_2}{m_2}} ,</math>
 
:<math> \left( a^{\frac{n_1}{m_1}} \right)^{\frac{n_2}{m_2}} = a^{\frac{n_1}{m_1} \cdot \frac{n_2}{m_2}} ,</math>
 
:<math> ( a \cdot b )^{\frac{n}{m}} = a^{\frac{n}{m}} \cdot b^{\frac{n}{m}} .</math>
 
=== Exponente real ===
 
{{AP|Exponenciación|Logaritmo}}
 
La potenciación puede extenderse a exponentes [[números reales|reales]] usando [[Sucesión matemática|sucesiones racionales]]; esto se recoge en el siguiente teorema:
 
{{teorema|Dado un número real positivo ''a'' y una sucesión de [[número racional|números racionales]] <math>q_n</math> que tiene límite ''b'', entonces existe el [[límite de una sucesión|límite de la sucesión]] <math>a^{q_n}</math> que se escribe como:
 
<center><math>a^b= \lim_{n \to \infty} a^{q_n}</math></center> }}
 
Nótese que las sucesivas aproximaciones de ''a''<sup>''b''</sup> tienen como exponente números racionales, con lo que para que la definición sea consistente, se exige que ''a'' sea un número real positivo.
 
Análogamente, se puede extender la potenciación a funciones, usando la [[función exponencial]], y su inversa, la función [[logaritmo natural]], en un proceso que se denomina [[exponenciación]]. Así, se define
 
:<math> f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)} </math>.
 
De igual manera, esta es totalmente consistente si el [[conjunto imagen]] de f(''x'') es el conjunto de los números reales positivos '''R'''<sub>+</sub>, o algún [[subconjunto]] de este, siendo los valores de la función exponente ''g''(''x'') números reales cualesquiera, debido a que el logaritmo natural no está definido para números negativos.
 
==== Propiedades ====
 
:<math> a^b \cdot a^c = a^{b+c} ,</math>
 
:<math> \left( a^b \right)^c = a^{b \cdot c} ,</math>
 
:<math> ( a \cdot b )^c = a^c \cdot b^c .</math>
 
=== Exponente complejo ===
 
Puede extenderse a exponentes complejos usando [[función analítica|funciones analíticas]] o [[función holomorfa|holomorfas]], así <math>a^b= \mbox{det-exp}( b\cdot \mbox{det-log } a)</math> donde '''det-exp''' es la determinación de la exponencial y '''det-log''' la determinación del logaritmo.
 
== Resultados de potenciación ==
 
=== Propiedades que ''no'' cumple la potenciación ===
No es [[distributividad|distributiva]] con respecto a la adición y sustracción (véase [[productos notables]]), es decir, no se puede distribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta:
:<math>(a + b)^m \ \neq\ a^m + b^m </math>
:<math>(a - b)^m \ \neq\ a^m - b^m </math>
 
No cumple la [[propiedad conmutativa]]:
:<math>a^b \ \neq\ b^a </math>
 
Tampoco cumple la propiedad asociativa:
:<math>a^{b^c}=a^{(b^c)}\ne (a^b)^c=a^{(b\cdot c)}=a^{b c}</math>
 
=== Potencia de base 10 ===
 
{{AP|Notación científica}}
 
Para las potencias con base 10 y exponente [[Número entero|entero]], el efecto será desplazar la [[coma decimal]] tantas posiciones como indique el exponente, hacia la izquierda si el exponente es negativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo.
 
Ejemplos:
: <math>
\begin{array}{lcl}
10^{-6} & = & 0,000001\\
10^{-5} & = & 0,00001 \\
10^{-4} & = & 0,0001 \\
10^{-3} & = & 0,001 \\
10^{-2} & = & 0,01 \\
10^{-1} & = & 0,1
\end{array}
</math>
 
: <math>
\begin{array}{lcr}
10^0 & = & 1 \\
10^1 & = & 10 \\
10^2 & = & 100 \\
10^3 & = & 1.000 \\
10^4 & = & 10.000 \\
10^5 & = & 100.000 \\
10^6 & = & 1.000.000
\end{array}
</math>
 
== Representación gráfica ==
 
La [[Gráfica de una función|representación gráfica]] de una función potencia ''f''(''x'') = ''x''<sup>''n''</sup> con exponente natural ''n'' par tiene una simetría similar a la de una [[Parábola (matemáticas)|parábola]]. Su vértice se sitúa en el punto (0, 0) y la curva es decreciente en el segundo cuadrante y creciente en el primero.
 
La representación gráfica de una función potencia ''f''(''x'') = ''x''<sup>''n''</sup> con exponente natural ''n'' impar es una curva con dos ramas unidas en el punto (0, 0), que posee [[simetría rotacional]] alrededor de este. El [[punto de inflexión]] precisamente se encuentra en el punto (0, 0), la curva es siempre creciente y ocupa el tercer y primer cuadrante.
 
Dichas curvas son [[Continuidad (matemática)|continuas]] y [[Derivada|derivables]] en todo su [[dominio de definición]].
 
<center>
{{Galería de imágenes
| Qfunction.png | Gráfico de una [[parábola (matemática)|parábola]]<math>y = x^2 \,</math>.
| X cubed plot.svg | Gráfico de <math>y = x^3 \,</math>.
}}
</center>