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En [[matemáticas]] y [[programación informática | programación]] (informática), el '''orden de operaciones''' aclara de forma inequívoca los procedimientos a realizar en el [[cálculo]] de una determinada [[expresión matemática]].
Por ejemplo, en matemáticas y en la mayoría de los [[lenguaje de programación|lenguajes de programación]], la operación de [[multiplicación]] tiene preferencia a la de [[adición]]; por ejemplo en la expresión 2 + 3 × 4 la respuesta algebraica es 14. Los [[paréntesis]] o [[corchetes]], se pueden utilizar para evitar confusiones, por lo que la expresión anterior también puede ser escrita como 2 + (3 × 4).
Desde la introducción de la notación algebraica moderna la multiplicación tiene precedencia sobre la suma, cualquiera que sea el lado del número donde aparezca. Por lo tanto 3 + 4 × 5 = 4 × 5 + 3 = 23. Los [[exponente]]s tienen precedencia sobre las sumas y multiplicaciones, y tendrían que ser colocados únicamente como superíndice a la derecha de su base. Para cambiar el orden de las operaciones, se utiliza [[paréntesis]]. Por lo tanto, para forzar la adición sobre la multiplicación, se escribe (2 + 3) × 4 = 20, y para forzar la adición sobre la [[exponenciación]], se escribe (3 + 5)<sup>2</sup> = 64.
== El orden normal de las operaciones ==
El orden normal de las operaciones, o de preferencia, es de izquierda a derecha, evaluando en orden los siguientes operadores:
# Términos entre [[paréntesis]].
# [[Potenciación]] y [[Función raíz|raíces]].
# [[Multiplicación]] y [[División (matemáticas)|división]].
# [[Suma]] y [[resta]].
Esto significa que si una expresión matemática es precedida por un [[operador matemático|operador]] y seguido por otro, el operador más alto en la lista debe ser aplicado por primera vez. Las leyes [[ley conmutativa|conmutativa]] y [[Asociatividad (álgebra)|asociativa]] de la suma y la multiplicación permiten a los términos ser sumados en cualquier orden y a los factores ser multiplicados en cualquier orden, pero las operaciones mixtas deben obedecer el orden estándar de las operaciones.
Es útil tratar la división como la multiplicación por el recíproco ([[inverso multiplicativo]]) y la resta como la suma del opuesto ([[inverso aditivo]]). Así, 3 / 4 = 3 ÷ 4 = 3 • ¼, es decir el cociente entre 3 y 4 es igual al producto de 3 y ¼. También 3 - 4 = 3 + (-4), es decir la diferencia de 3 y 4 es igual a la suma de tres positivo y cuatro negativo. Con este razonamiento, se puede pensar 1 - 2 + 3 como la suma de 1, 2 negativo, y 3, y sumarla en cualquier orden: (1 - 2) + 3 = - 1 + 3 = 2 y en orden inverso (3 - 2) + 1 = 1 + 1 = 2. Lo importante es mantener el signo negativo con el 2.
El símbolo de la [[raíz cuadrada|raíz]], √, requiere un símbolo de la agrupación en todo el radicando. El símbolo habitual de la agrupación es una barra horizontal (llamada ''[[vinculum]]'' ) sobre el radicando.
Los exponentes apilados se aplican de arriba a abajo.
Los símbolos de agrupación se pueden utilizar para modificar el orden habitual de las operaciones. Símbolos agrupados pueden ser tratados como una única expresión. Los símbolos de agrupación se pueden eliminar con las leyes asociativas y [[propiedad distributiva|distributivas]].
== Mnemotecnia ==
Se han desarrollado varios [[acrónimo]]s para ayudar a los estudiantes a recordar el orden de evaluación de las operaciones. En español se utilizan ''papomudas'' («<u>pa</u>réntesis, <u>po</u>tencias, <u>mu</u>ltiplicación, <u>d</u>ivisión, <u>a</u>dición, <u>s</u>ustracción») y ''papomudisure'' («<u>pa</u>réntesis, <u>po</u>tencias, <u>mu</u>ltiplicación, <u>di</u>visión, <u>su</u>ma, <u>re</u>sta»), mientras que en inglés estadounidense se utiliza ''PEMDAS'' (cuya expansión en español es «<u>p</u>aréntesis, <u>e</u>xponentes, <u>m</u>ultiplicación, <u>d</u>ivisión, <u>a</u>dición, <u>s</u>ustracción»).
Sin embargo, debe recordarse que la multiplicación y la división se evalúan con igual prioridad, al igual que la suma y la resta. De otra manera, en expresiones como
: <math>10 - 3 + 2</math>
se obtendría como resultado 5, que es incorrecto (debería ser 9). Por ello, a veces se agrupan las operaciones con igual preferencia, como en ''P E MD AS''.
== Ejemplos ==
: <math>\sqrt{1+3}+5=\sqrt4+5=2+5=7.\,</math>
Una línea horizontal fraccionada también actúa como un símbolo de la agrupación:
: <math>\frac{1+2}{3+4}+5=\frac37+5.</math>
Para facilitar la lectura, otros símbolos de agrupación, tales como llaves {}, o corchetes [], a menudo se utilizan junto con el paréntesis (). Por ejemplo,
: <math>[(1+2)-3]-(4-5) = [3-3]-(-1) = 1. \, </math>
== Enlaces externos ==
*{{planetmath reference|id=3951|title=Orden de operaciones}} (en inglés)
*[http://www.knosof.co.uk/cbook/accu06a.pdf Experiment investigating developer beliefs about operator precedence] (en inglés)
*[http://web.archive.org/web/http://www.knosof.co.uk/cbook/accu07a.pdf Experiment investigating effect of variable names on operator precedence selection] (en inglés)
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