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=== Casos especiales ===
* Una [[fracción egipcia]] es tipo de representación de fracciones utilizado en el [[Antiguo Egipto]]. Una fracción común positiva se escribe por medio de una suma de fracciones unitarias ''distintas'', es decir que ninguno de los sumandos tiene el mismo denominador, por ejemplo <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}</math>. Todo número racional positivo se puede expresar como suma de fracciones unitarias (es decir, como fracción egipcia), si bien la representación no es única. Por ejemplo <math>\tfrac{19}{20}</math> puede escribirse como <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{5}</math> y también como <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{180}</math>.
== Estructuras más generales ==
=== Fracción continua ===
{{ap|Fracción continua}}
Se llama fracción continua de orden ''n'' a una expresión de la forma:
: <math>
x = a_0 +
\cfrac
{1}
{a_1 +
\cfrac
{1}
{a_2 +
\cfrac
{1}
{
\begin{array}{l}
\ddots \\
{a_{n-2} +
\cfrac
{1}
{a_{n-1} +
\cfrac
{1}
{a_n}
}
}
\end{array}
}
}
}
</math>
En donde <math>(a_0, a_1, a_2, a_3, ..., a_n)\ </math> es una sucesión de enteros positivos.
=== Expansión de Engel ===
{{AP|Expansión de Engel}}
Una expansión de Engel es una [[sucesión matemática|sucesión]] de números enteros positivos tales que
:<math>x=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_1a_2a_3}+\ \cdots</math>
Si la sucesión es finita, corresponde a un [[número racional]] que es la representación de ''x'' en forma de [[fracción egipcia]]. Esta representación se puede expresar como «variante ascendente» de una fracción continua como
:<math>x=\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cdots}{a_3}}{a_2}}{a_1}</math>
Estas estructuras fueron estudiadas por [[Leonardo de Pisa#Referencias|Fibonacci]] en ''[[Liber Abaci]]'' (1202).
== Historia ==
{{vt|Historia de la matemática}}
{|
|En el [[Antiguo Egipto]] [[Matemáticas en el Antiguo Egipto|se calculaba]] utilizando fracciones cuyos denominadores son enteros positivos; son las primeras fracciones utilizadas para representar las «partes de un entero», por medio del concepto de ''[[recíproco]] de un [[número entero]]''.<ref name=eves>{{cita libro|apellidos=Eves|nombre=Howard Eves ; with cultural connections by Jamie H.|título=An introduction to the history of mathematics|año=1990|editorial=Saunders College Pub.|ubicación=Philadelphia|isbn=0030295580|edición=6th ed.}}</ref> Esto equivale a considerar fracciones como: un medio, un tercio, un cuarto, etc., de ahí que las sumas de ''fracciones unitarias'' se conozcan como ''[[fracción egipcia]]''. Se puede demostrar además, que cualquier número racional [[número positivo|positivo]] se puede escribir como fracción egipcia. El [[jeroglífico]] de una boca abierta <hiero>D21</hiero> denotaba la barra de fracción (/), y un arte numérico escrito debajo de la "boca abierta", denotaba el denominador de la fracción.
|}
Los [[Historia de Babilonia|babilonios]] [[Matemática babilónica|utilizaban fracciones]] cuyo denominador era una potencia de 60. El [[Matemática china|sistema chino]] de [[numeración con varillas]] permitía la representación de fracciones. Los [[Grecia Antigua|griegos]] y [[Roma Antigua|romanos]] usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval. [[Diofanto de Alejandría]] (siglo IV) escribía y utilizaba fracciones. Posteriormente, se introdujo la «raya horizontal» de separación entre numerador y denominador, y el numerador dejó de restringirse al número uno solamente, dando origen a las llamadas ''fracciones vulgares'' o ''comunes''. Finalmente, se introducen las «fracciones decimales», en donde el denominador se escribe como una potencia de diez.
Se cree que las fracciones decimales eran conocidas por los matemáticos chinos en el siglo I, y que de ahí se extendió su uso a medio Oriente y Europa.<ref name=jnfractn1>{{Cita libro|author=[[Joseph Needham]]|chapter=Decimal System|title=Science and Civilisation in China, Volume III|year=1959|publisher=Cambridge University Press}}</ref> J. Lennart Berggren nota que un sistema posicional con fracciones decimales fue utilizado por el matemático árabe [[Abu'l-Hasan al-Uqlidisi]] en el siglo X.<ref name=Berggren>{{cita libro|first=J. Lennart|last=Berggren|title=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook|chapter=Mathematics in Medieval Islam|publisher=Princeton University Press|year=2007|isbn=9780691114859|page=518}}</ref>
[[Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī|Khwarizmi]] introduce las [[Matemática en el islam medieval|fracciones en los países islámicos]] en el siglo IX. La forma de representar las fracciones provenía de la representación tradicional china, con el numerador situado sobre el denominador, pero sin barra separadora. Esta forma de escritura de las fracciones con el numerador arriba y el denominador abajo, sin barra horizontal, fue utilizada también en el siglo X por [[Abu'l-Hasan al-Uqlidisi]] y en el siglo XV por [[Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi|Jamshīd al-Kāshī]] en su trabajo ''La llave de la aritmética''.
Leonardo de Pisa ([[Leonardo de Pisa|Fibonaccci]]) en su ''[[Liber Abaci]]'' (''Libro del Ábaco''), escrito en 1202, expone una teoría de los números fraccionarios. Las fracciones se presentan como ''fracciones egipcias'', es decir, como suma de fracciones con numeradores unitarios y denominadores no repetidos. Además, describe su uso y las desarrolla dentro del marco moderno de las [[series matemáticas]].
El uso moderno fue definitivamente introducido por [[Simon Stevin]] en el siglo <span style="font-variant: small-caps;">xvi</span>.<ref name=van>{{Cita libro|author=[[Bartel Leendert van der Waerden|B. L. van der Waerden]]|year=1985|title=A History of Algebra. From Khwarizmi to Emmy Noether|publisher=Springer-Verlag|place=Berlín}}</ref>
{| class="wikitable" border="1" cellspacing="1" cellpadding="5" align=center
|+'''Cronología'''<ref name = 50COSAS>{{cita libro|título=50 cosas que hay que saber sobre matemáticas|autor=Tony Crilly|editorial=Ed. Ariel|id=ISBN 978-987-1496-09-9|año=2011}}</ref>
|----- bgcolor="#e1ecf7"
! Año
! Acontecimiento
|----- align="left" bgcolor="#f0f5fa"
| 1800 a. C.
| Registro de uso de fracciones por el [[Mesopotamia|Imperio Babilónico]].
|----- align="left" bgcolor="#f0f5fa"
| 1650 [[a.C.]]
| Sistema de fracciones egipcias.
|----- align="left" bgcolor="#f0f5fa"
| 500-600 [[d.C.]]
| [[Aryabhata]] y [[Brahmagupta]] desarrollan las fracciones unitarias.
|----- align="left" bgcolor="#f0f5fa"
| 100
| [[Matemática china|Sistema chino]] de cálculo de fracciones con [[Numeración con varillas|varillas]] ([[Suanpan]]).
|----- align="left" bgcolor="#f0f5fa"
| 1202
| [[Leonardo de Pisa|Fibonacci]] difunde la notación con [[barra (tipografía)|barra]] para separar numerador y denominador.
|----- align="left" bgcolor="#f0f5fa"
| 1585 || Teoría sobre las fracciones decimales de [[Simon Stevin]].
|----- align="left" bgcolor="#f0f5fa"
| 1700 || Uso generalizado de la línea fraccionaria (barra horizontal u oblícua).
|}
== Notas y referencias ==
{{Listaref|2}}
== Bibliografía ==
* {{cita libro|apellidos=Stewart|nombre=Ian|título=Historia de las matemáticas|año=2008|editorial=Crítica|isbn=978-84-8432-369-3|url=http://books.google.es/books?id=_75loXXkxhYC&lpg=PP1&hl=es&pg=PA54#v=onepage&q&f=false}}
* {{MathWorld|Fraction|Fraction}}
* {{Springer|Fraction|id=Fraction&oldid=24256}}
== Enlaces externos ==
* [http://www.ematematicas.net/fracciones.php Operaciones con fracciones], sitio ''Ejercicios de matemáticas''.
* [http://multiplicaciondefracciones.com Multiplicación de Fracciones] Definición, propiedades y ejemplos de multiplicación de fracciones
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