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Diferencia entre revisiones de «Aritmética/Propiedades de la División/Máximo Común Divisor»

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En matemáticas, se define el '''máximo común divisor''' (MCD) de dos o más [[número entero|números enteros]] al mayor número entero que los [[divisor|divide]] sin dejar resto.▼
{{no confundir|Mínimo común denominador}}
▲En matemáticas, se define el '''máximo común divisor''' (MCD) de dos o más [[número entero|números enteros]] al mayor número entero que los [[divisor|divide]] sin dejar resto.
 
== Precisiones ==
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=== Por descomposición en factores primos ===
El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la [[descomposición en factores primos]] de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD.▼
{{AP|Factorización de enteros}}
▲El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la [[descomposición en factores primos]] de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD.
 
'''Ejemplo''': para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 se obtiene de su factorización en factores primos.
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=== Usando el algoritmo de Euclides ===
Un método más eficiente es el [[algoritmo de Euclides]], que utiliza el [[algoritmo de la división]] junto al hecho que el MCD de dos números también divide al resto obtenido de dividir el mayor entre el más pequeño.▼
{{AP|Algoritmo de Euclides}}
▲Un método más eficiente es el [[algoritmo de Euclides]], que utiliza el [[algoritmo de la división]] junto al hecho que el MCD de dos números también divide al resto obtenido de dividir el mayor entre el más pequeño.
 
'''Ejemplo''' 1:
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La última propiedad indica que el máximo común divisor de dos números resulta ser el producto de sus factores primos comunes elevados al menor exponente.
 
[[Geometría|Geométricamente]], el máximo común divisor de ''a'' y ''b'' es el número de puntos de coordenadas enteras que hay en el segmento que une los puntos (0,0) y (''a'',''b''), excluyendo el (0,0).
 
=== Proposiciones ===
# Para cualquier par de números enteros ''a''≠0, ''b''≠0, existe un único mcd d ≥ 1.<ref>Ibídem, pg. 11</ref>
# El m.c.d. de los números ''a'' y ''b'' puede ser representado en forma de [[combinación lineal]] de estos números. Esto es (a, b) = ax + by
# Si dos números enteros son [[números primos entre sí|primos entre sí]], i.e. su mcd = 1 o en otra notación (''a'',''b'') = 1, entonces cabe la representación ''ma'' + ''nb'' = 1 donde ''m'' y ''n'' son números enteros ([[Identidad de Bézout]]).
# si ''a''|''bc'' y (''a'',''b'') = 1, será ''a''|''c''. En otras palabras, si un número ''a'' divide un producto de otros dos números y es [[coprimo]] con uno de ellos, entonces divide necesariamente el otro número o factor.<ref>Ibídem, pg. 13</ref>
# Cuando un número ''a'' es coprimo con los números ''m'' y ''n'', también lo es con el producto ''mn''.<ref>Ibídem, pg. 13</ref>
# (a,b) es divisor de (a, bc)<ref>Vorobiov: Números de Fibonacci, Editorial Mr, Moscú (1974)</ref>
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El mcd se utiliza para simplificar [[fracción|fracciones]]. Por ejemplo, para simplificar la fracción <math>\scriptstyle \frac {48}{60}</math> se calcula primero el mcd(60, 48) = 12, dividiéndose el numerador y el denominador de la fracción inicial por 12 para obtener la fracción simplificada <math>\scriptstyle \frac {4}{5} </math>.
 
El mcd también se utiliza para calcular el [[mínimo común múltiplo]] de dos números. En efecto, el producto de los dos números es igual al producto de su máximo común divisor por su mínimo común múltiplo. Así, para calcular el mínimo común múltiplo de 48 y de 60, calculamos primero su mcd, 12, siendo su mínimo común múltiplo <math>\scriptstyle \frac {48 \cdot 60}{12} = 240 </math>.
 
El mcd y el [[algoritmo de Euclides]] se emplea en la resolución de [[ecuación diofántica|ecuaciones diofánticas lineales]] con dos incógnitas.<ref>Ibídem pg. 17 y 20</ref>
 
El algoritmo de Euclides se emplea en el desarrollo de un número racional en fracción continuada (sic)<ref>Gentile: Aritmética elemental OEA (1987)</ref>
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