Diferencia entre revisiones de «Precálculo/Introducción»

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Estructuras algebraicas
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'''Ejemplo 3.3.''' La estructura algebraica <math>(\mathbb{N}, +)</math> no es un grupo, pues aunque en <math>\mathbb{N}</math> sí se cumple la propiedad 1. de los grupos así como la conmutatividad, ahí no existen ni el elemento identidad ni el elemento inverso de ningún número natural.
 
'''Ejemplo 3.4.''' La estructura algebraica <math>(\mathbb{Z},+)</math>, donde <math>\mathbb{Z} = \{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots \}</math> es el conjunto de los números enteros, y <math>+</math> es la operación de adición usual, es un grupo abeliano, ya que la operación es cerrada, por ejemplo <math>-2+1 = -1 \in \mathbb{Z}</math>, y además:
# <math>\forall l, m, n \in \mathbb{Z}, (l+m)+n = l+(m+n)=l+m+n.</math>(asociatividad).
# <math>\exist 0 \in \mathbb{Z} \ t.q. \forall m \in \mathbb{Z}, 0+m = m+0 = m.</math>Por ejemplo, <math>3+0 = 0+3 = 3.</math> (elemento identidad).
# <math>\forall m \in \mathbb{Z} \ \exist -m \in \mathbb{Z}, t.q. m + -m = -m + m = 0.</math>Por ejemplo, <math>-2 + 2 = 2 + -2 = 0.</math> (elemento inverso).
# <math>\forall m, n \in \mathbb{Z}, m+n = n+m.</math>(conmutatividad).
'''Ejemplo 3.5.''' La estructura algebraica <math>(\mathbb{Z},*)</math>, donde <math>*</math> se define de la siguiente forma: <math>m*n = 2 + (m + n),</math> siendo la operación "<math>+</math>" la operación binaria de adición usual, es evidentemente cerrada para <math>*</math>; además:
# <u>Asociatividad</u>:<math>\forall l, m, n \in \mathbb{Z}, (l*m)*n = 2 + (2 + l + m) + n = 2 + 2 + l + m + n = 2 + l + 2 + m + n = 2 + l + (2 + m + n) = l*(m*n),</math>donde hemos usado las propiedades asociativa y conmutativa de la operación adición "<math>+</math>".
# <u>Elemento identidad</u>:<math>\exist -2 \in \mathbb{Z} \ t.q. \forall m \in \mathbb{Z}, -2*m = 2 + (-2+m) = (2+ -2) + m = m = 2 + -2 + m =2 +m +-2 = 2 + (m+-2) = m*(-2),</math>donde utilizamos nuevamente las propiedades asociativa y conmutativa de la adición.
# <u>Elemento inverso</u>:<math>\forall m \in \mathbb{Z} \ \exist -(m+4) \in \mathbb{Z}, t.q. m * [-(m+4)] = 2+m+ -(m+4) = 2 + m + -m +-4 = 2+(m+-m)+-4 = 2+-4 = -2,</math>donde una vez más se han utilizado las propiedades asociativa y conmutativa, además de la existencia del elemento inverso en <math>\mathbb{Z}</math>, así como la propiedad <math>-(m+n) = -m+-n,</math>la cual se demostrará más adelante (siendo en este caso <math>n = 4</math>). Solo falta demostrar la otra igualdad, es decir, que <math>-(m+4)*m = -2,</math> lo cual se deja como ejercicio en la sección de problemas.
# <u>Conmutatividad</u>:<math>\forall m, n \in \mathbb{Z}, m*n = 2+(m+n) =2+(n+m) = n*m,</math>en donde otra vez hemos utilizado la propiedad conmutativa.
Por lo tanto, al ser "<math>*</math>" cerrada y cumplirse las cuatro propiedades anteriores, vemos que la estructura <math>(\mathbb{Z},*)</math> de hecho es un grupo abeliano.
 
'''Definición 3.6. Campo.''' Un campo (o cuerpo) es una terna <math>(F,+,\cdot)</math>, donde <math>F</math> es un conjunto, y <math>+</math> y <math>\cdot</math> son dos operaciones binarias abstractas sobre <math>F</math> llamadas adición y multiplicación, respectivamente, que cumplen con las siguientes propiedades (además de las obvias cerraduras):
* Para la adición: <math>(F,+)</math> es un grupo abeliano, es decir, se cumplen las propiedades siguientes:
# Asociatividad.
# Existencia del elemento identidad o neutro.
# Existencia del elemento inverso.
# Conmutatividad.
* Para la multiplicación: <math>(F,\cdot)</math> es también un grupo abeliano, es decir, tendremos las siguientes propiedades:
# Asociatividad.
# Existencia del elemento identidad o neutro.
# Existencia del elemento inverso.
# Conmutatividad.
* Además, para las operaciones <math>+</math> y <math>\cdot</math> combinadas tendremos una propieadad más: <math>(F,+,\cdot)</math> satisface la propiedad distributiva:
# <math>\forall a, b , c \in F, \ a\cdot(b+c) = a\cdot b + a \cdot c</math> (distributividad por izquierda) y <math>(b+c)\cdot a = b \cdot a + c\cdot a</math> (distributividad por derecha).
[[File:Plano Cartesiano3.jpg|thumb|Figura 1. Plano Cartesiano]]
 
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'''Definición 3.1. Sucesión fundamental de conjuntos.''' La sucesión de conjuntos finitos: <math>\{ \}, \{a\}, \{a, b\}, \{a, b, c\}, \{a, b, c, d\}, \ldots</math>, en la cual comenzamos con el conjunto vacío y cada conjunto posterior al conjunto vacío tiene un elemento más que el inmediatamente anterior, representa la sucesión fundamental de los conjuntos finitos <ref>Aritmética Teórico Práctica. Aurelio Baldor. Cultural Centroamericana, S.A. Guatemala. 1974</ref>. Es claro que en esta sucesión no existen dos conjuntos distintos que sean equipotentes, por lo que dado un conjunto finito cualquiera, éste es coordinable con uno y solo un conjunto de la sucesión.
 
'''Definición 3.2. NúmerosConstrucción de los números naturales.''' El conjuto vacío es equipotente con sigo mismo. Además, todo conjunto de un elemento ha de ser equipotente con el segundo elemento de la sucesión. De la mismammisma forma todo conjunto de dos elementos es equipotente con el tercer elemento de la sucesión. Y así sucesivamente. Por lo tanto, los conceptos abstractos de uno, dos, tres, ..., representan la propiedad común a todos los conjuntos coordinables con algún elemento de la sucesión fundamental (a partir de su segundo elemento) y por lo tanto coordinables entre sí. Así pues, un número natural es un concepto abstracto que representa cierta propiedad común a todos los conjuntos coordinables entre sí que y que no son el conjunto vacío. A los números naturales los denotamos como <math>\mathbb{N} := \{ 1, 2, 3 , 4, 5, \ldots \},</math> donde el elemento <math>i</math>-ésimo representa a todos los conjuntos equipotentes con el elemento <math>(i+1)</math>-ésimo de la sucesión, es decir, los números naturales son una medida de la cantidad de elementos de un conjunto finito dado, al compararlo con su respectivo conjunto equipotente de la sucesión fundamental. También podemos definir una extensión de los números naturales, dada por <math>\mathbb{N}_0 := \{0,1,2,3,4,5,\ldots\} = \mathbb{N} \cup \{0\},</math>donde el número cero, representado como <math>0</math>, representa al conjunto vacío, i.e. es una medida del conjunto sin elemetos, una medida de la "nada".
 
El conjunto de los números naturales se define como <math>\mathbb{N} = \{ 1, 2, 3 , 4, 5, \ldots \}</math>. También se le conoce como el conjunto de los enteros positivos: <math>\mathbb{N} \equiv \mathbb{Z}^+</math>. El conjunto de los naturales mas el número cero: <math>\mathbb{N}_0 \equiv \mathbb{N} \cup \{0\} = \{ 0,1,2,3,4,5, \ldots , \}</math> dotado de la operación binaria de la adición se representa como el par ordenado <math>( \mathbb{N}_0 , + )</math> y poseé las siguientes propiedades:
# '''Asociatividad:''' <math>\forall m,n,p \in \mathbb{N}_0</math> se tiene que <math>(m+n)+p = m+(n+p)</math>.
# '''Conmutatividad:''' <math>\forall m,n \in \mathbb{N}_0</math> resulta que <math>m+n=n+m</math> (el orden de los sumandos no altera la suma).
# '''Existencia del elemento neutro o identidad''' (bajo la adición): <math>\forall m \in \mathbb{N}_0 \ \exists \ 0 \in \mathbb{N}_0 : m + 0 = 0 + m = m</math>.
 
'''Definición 3.3. Cardinalidad de conjuntos.''' La cardinalidad de un conjunto <math>A </math> es la cantidad de elementos que contiene dicho conjunto, donde, si es un conjunto finito, se define formalmente como el número perteneciente a <math>\mathbb{N}_0</math> que asociamos con el elemento de la sucesión fundamental que es coordinable con dicho conjunto <math>A</math>; y se simboliza como #<math>A </math>. SiAsí pues, si <math>A </math> es finito y posee <math>n </math> elementos (con <math>n \in \mathbb{N}_0 </math>), entonces #<math>A=n </math>, y si <math>A </math> posee infinitos elementos, lo que significa que no es coordinable con ningún elemento de la sucesión fundamental, entonces se dice que #<math>A </math> es infinita.
 
'''Ejemplo 3.1.'''
# El conjunto de animales de Villa Fantasía del ejemplo '''2.1''' es finito y consta <math>5 </math> animales: #<math>A = 5 </math>.
# El conjunto de todos los leones de Villa Fantasía (<math>L </math>) es vacío, ya que en Villa Fantasía no tiene leones: <math>L = \{ \} \equiv \phi \rightarrow </math>#<math>L = 0 </math>.
# La cardinalidad del conjunto de los números naturales es infinita: #<math>\mathbb{N} </math> es infinita.
'''Construcción de los números enteros.'''
 
== Referencias Bibliográficas. ==