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Estructuras algebraicas
Línea 346:
'''Definición 3.2. Cerradura.''' Una operación binaria es cerrada, lo cual significa que <math>\forall a, b \in A \rightarrow a*b = c \in A, </math> es decir, que la aplicación de la operación sobre dos elementos cualesquiera de <math>A</math> siempre nos dará otro elemento de <math>A,</math> i.e. la operación siempre está definida en <math>A</math> para cualesquiera dos elementos dados en <math>A</math>.
 
'''Ejemplo 3.1.''' Sea <math>\mathbb{N} = \{1,2,3,4,5,\ldots\},</math> el conjunto de los números naturales, la operación de adición "<math>+</math>" es una operación binaria y por ende cumple con la propiedad de cerradura (la suma de dos números naturales siempre nos resulta en otro número natural), por ejemplo: <math>1+2 = 3.</math>
 
'''Ejemplo 3.2.''' Sea <math>\mathbb{N}</math> dotado con la operación de sustracción "<math>-</math>", dicha operación no es cerrada, pues por ejemplo <math>1-2</math> no está definido en <math>\mathbb{N}</math>, ya que <math>1-2 = -1 \notin \mathbb{N}.</math>
'''Definición 3.3. Estructura algebraica.''' Una estructura algebraica es un par ordenado <math>(A, *),</math> siendo <math>A</math> un conjunto y <math>*</math> una operación binaria definida sobre <math>A</math> que cumple con una lista de propiedades. Las propiedades partículares que se cumplan determinará el tipo de estructura algebraica.[[File:Plano Cartesiano3.jpg|thumb|Figura 1. Plano Cartesiano]]
 
'''Definición 3.3. Estructura algebraica.''' Una estructura algebraica es un par ordenado <math>(A, *),</math> siendo <math>A</math> un conjunto y <math>*</math> una operación binaria definida sobre <math>A</math> que cumple con una lista de propiedades. Las propiedades partículares que se cumplan determinará el tipo de estructura algebraica.[[File:Plano Cartesiano3.jpg|thumb|Figura 1. Plano Cartesiano]]
 
'''Definición 3.4. Grupo.''' Un ejemplo de estructura algebraica es el grupo <ref>Números, grupos y anillos. José Dorronsoro. Eugenio Hernández. Addison-Wesley/Universidad Autónoma de Madrid. España. 1996</ref>, el cual se define como el par <math>(G, *),</math> donde <math>G</math> es un conjunto y <math>*</math> una operación binaria definida en <math>G</math> que cumple con las siguientes propiedades:
# Asociatividad: <math>\forall a,b,c \in G, (a*b)*c = a*(b*c)</math>i.e. podemos escribir simplemente <math>a*b*c</math>, omitiendo el uso de paréntesis innecesarios.
# Existencia del elemento neutro: <math>\exist e \in G \ t.q. \forall a \in G, \ a+e = e+a = a.</math>Al elemento <math>e</math> se le llama elemento neutro o elemento identidad.
# Existencia del elemento inverso: <math>\forall a \in G \ \exist b \in G, t.q. a*b = b*a = e.</math>El elemento inverso se suele representar como <math>a^{-1}.</math>
'''Definición 3.5. Grupo abeliano.''' Un grupo abeliano o grupo conmutativo es un grupo que también cumple con la siguiente propiedad:
* Conmutatividad: <math>\forall a, b \in G, a*b = b*a.</math>
'''Ejemplo 3.3.''' La estructura algebraica <math>(\mathbb{N}, +)</math> no es un grupo, pues aunque en <math>\mathbb{N}</math> sí se cumple la propiedad 1. de los grupos así como la conmutatividad, ahí no existen ni el elemento identidad ni el elemento inverso de ningún número natural.
 
'''Ejemplo 3.4.''' La estructura algebraica <math>(\mathbb{Z},+)</math>, donde <math>\mathbb{Z} = \{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots \}</math> es el conjunto de los números enteros, y <math>+</math> es la operación de adición usual, es un grupo abeliano, ya que la operación es cerrada, por ejemplo <math>-2+1 = 1 \in \mathbb{Z}</math>, y además:
# <math>\forall l, m, n \in \mathbb{Z}, (l+m)+n = l+(m+n)=l+m+n.</math>
# <math>\exist 0 \in \mathbb{Z} \ t.q. \forall m \in \mathbb{Z}, 0+m = m+0 = m.</math>Por ejemplo, <math>3+0 = 0+3 = 3.</math>
# <math>\forall m \in \mathbb{Z} \ \exist -m \in \mathbb{Z}, t.q. m + -m = -m + m = 0.</math>Por ejemplo, <math>-2 + 2 = 2 + -2 = 0.</math>
# <math>\forall m, n \in \mathbb{Z}, m+n = n+m.</math>
'''Ejemplo 3.5.''' La estructura algebraica <math>(\mathbb{Z},*)</math>, donde <math>*</math> se define de la siguiente forma: <math>m*n = 2 + (m + n),</math> siendo la operación "<math>+</math>" la operación binaria de adición usual, es evidentemente cerrada para <math>*</math>; además:
# <math>\forall l, m, n \in \mathbb{Z}, (l*m)*n = 2 + (2 + l + m) + n = 2 + 2 + l + m + n = 2 + l + 2 + m + n = 2 + l + (2 + m + n) = l*(m*n),</math>donde hemos usado las propiedades asociativa y conmutativa de la operación adición "<math>+</math>".
# <math>\exist -2 \in \mathbb{Z} \ t.q. \forall m \in \mathbb{Z}, -2*m = 2 + (-2+m) = (2+ -2) + m = m = 2 + -2 + m =2 +m +-2 = 2 + (m+-2) = m*(-2),</math>donde utilizamos nuevamente las propiedades asociativa y conmutativa de la adición.
# <math>\forall m \in \mathbb{Z} \ \exist -(m+4) \in \mathbb{Z}, t.q. m * -(m+4) = 2+m+ -(m+4) = 2 + m + -m +-4 = 2+(m+-m)+-4 = 2+-4 = -2,</math>donde una vez más se han utilizado las propiedades asociativa y conmutativa, además de la existencia del elemento inverso en <math>\mathbb{Z}</math>, así como la propiedad <math>-(m+n) = -m+-n,</math>la cual se demostrará más adelante (siendo en este caso <math>n = 4</math>). Solo falta demostrar la otra igualdad, es decir, que <math>-(m+4)*m = -2,</math> lo cual se deja como ejercicio en la sección de problemas.
# <math>\forall m, n \in \mathbb{Z}, m*n = 2+(m+n) =2+(n+m) = n*m,</math>en donde otra vez hemos utilizado la propiedad conmutativa.
Por lo tanto, al ser "<math>*</math>" cerrada y cumplirse las cuatro propiedades anteriores, vemos que la estructura <math>(\mathbb{Z},*)</math> de hecho es un grupo abeliano.
 
[[File:Plano Cartesiano3.jpg|thumb|Figura 1. Plano Cartesiano]]
 
== Construcción de los conjuntos de números y sus propiedades. ==
 
=== Construcción de los conjuntos numéricos. (Capítulo en construcción) ===
'''Definición 3.1. Sucesión fundamental de conjuntos.''' La sucesión de conjuntos finitos: <math>\{ \}, \{a\}, \{a, b\}, \{a, b, c\}, \{a, b, c, d\}, \ldots</math>, en la cual comenzamos con el conjunto vacío y cada conjunto posterior al conjunto vacío tiene un elemento más que el inmediatamente anterior, representa la sucesión fundamental de los conjuntos finitos <ref>Aritmética Teórico Práctica. Aurelio Baldor. Cultural Centroamericana, S.A. Guatemala. 1974</ref>. Es claro que en esta sucesión no existen dos conjuntos distintos que sean equipotentes, por lo que dado un conjunto finito cualquiera, éste es coordinable con uno y solo un conjunto de la sucesión.
 
'''Definición 3.2. Números naturales.''' El conjuto vacío es equipotente con sigo mismo. Además, todo conjunto de un elemento ha de ser equipotente con el segundo elemento de la sucesión. De la mismam forma todo conjunto de dos elementos es equipotente con el tercer elemento de la sucesión. Y así sucesivamente. Por lo tanto, los conceptos abstractos de uno, dos, tres, ..., representan la propiedad común a todos los conjuntos coordinables con algún elemento de la sucesión fundamental (a partir de su segundo elemento) y por lo tanto coordinables entre sí. Así pues, un número natural es un concepto abstracto que representa cierta propiedad común a todos los conjuntos coordinables entre sí que y que no son el conjunto vacío. A los números naturales los denotamos como <math>\mathbb{N} := \{ 1, 2, 3 , 4, 5, \ldots \},</math> donde el elemento <math>i</math>-ésimo representa a todos los conjuntos equipotentes con el elemento <math>(i+1)</math>-ésimo de la sucesión, es decir, los números naturales son una medida de la cantidad de elementos de un conjunto finito dado, al compararlo con su respectivo conjunto equipotente de la sucesión fundamental. También podemos definir una extensión de los números naturales, dada por <math>\mathbb{N}_0 := \{0,1,2,3,4,5,\ldots\} = \mathbb{N} \cup \{0\},</math>donde el número cero, representado como <math>0</math>, representa al conjunto vacío, i.e. es una medida del conjunto sin elemetos, una medida de la "nada".