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Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 071b»

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Línea 1307:
:M<sub>2</sub> = Die Menge aller geraden Zahlen zwischen 67 und 75.
:M<sub>2</sub> = {68, 70, 72} (Diese Menge enthält drei Elemente.)
:M<sub>4</sub> = Die Menge aller geraden Primzahlen. (Diese Menge enthält ein einziges Element.)
:M<sub>4</sub> = {2}
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Línea 1324:
:Teilbarkeit von Summen und Differenzen
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:Wenn wir die Teiler zweier gegebenerngegebener natürlicher Zahlen b und c kennnekennen, so könnnekönnen wir auch etwas über die Teilbarkeit der Summe „b + c“ aussagen.
:Eine Zahl a, die sowohl Teiler von b als auch Teiler von c ist, ist auch Teiler von „b + c“.
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Línea 1374:
 
BM1043
:Ist die Subtraktion „b - c“ ausfürhbarausführbar, so gilt ein entsprechender SAtzSatz auch für die Differenz zweier Zahlen b und c.
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:'''SATZ:''' Wenn a ein Teiler sowohl von b als auch von c ist, so ist a auch ein Teiler der Differenz „b - c“.
Línea 1431:
:Teilbarkeit durch 10 und 5
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:Wenn wir die Frage beantworten wollen, ob eine natürlcihenatürliche Zahl a Teiler einer natürlichen Zahl b ist, müssen wir untesuchenuntersuchen, ob es eine natrülichenatürliche Zahl x gibt, für die „a * x = b“ biltgilt.
:Dazu versuchen wir, diese Zahl x zu ermitteln, indem wir die Division „b : c“ (a≠0) auf AusfürhbarkeitAusführbarkeit prüfen. Erhalten wir einen Quotienten, so wissen wir, dass es eine solche Zahl x gibt, sie ist nämlich gleich diesem Quotienten.
:Wir können aber auch oftmals feststellen, ob es eine solche Zahl x gibt, ohne dass wir sie ausrechnen. Dazu dienen uns besonders bei größeren Zahlen '''Sätze über die Teilbarkeit'''.
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:Alle '''durch 10 teilbaren Zahlen b''' lassen sich in der Form „10 * x = b“ darstellen.
:Der folgende Satz gilt für alle natürliche Zahlen:
:'''SATZ:''' Alle zahlenZahlen, deren Ziffern auf „0“ enden, sind durch 10 teilbar. Alle anderen Zahlen sind nicht durch 10 teilbar.
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:Alle '''durch 5 teilbaren Zahlen b''' lassen sich in der Form „5 * x = b“ darstellen.
:'''Satz:''' Alle zahlenZahlen, deren Ziffer auf „0“ oder „5“ enden, sind durch 5 teilbar. Alle anderen Zahlen sind nicht durch 5 teilbar.
 
 
Línea 1447:
:Wir können leicht nachprüfen, dass die Zahlen 0, 2, 4, 6, 8 und 10 durch 2 teilbar sind.
:Außerdem ist jedes Vielfache von 10 durch 2 teilbar, denn jedes Vielfache von 10 ist ein Produkt „10 * x“. Da der Faktor 10 durch 2 teilbar ist, ist nach dem Satz aus Übung BM1044 ('''SATZ:''' Wenn a entweder ein Teiler von b oder ein Teiler von c oder eine Teiler von beiden ist, so ist a auch ein Teiler des Produktes „b * c“.) auch das ganze Produkt durch 2 teilbar.
:Da nun jede zahlZahl als Summe eines Vielfachen von 10 und einer der Zahl 0, 1, ..., 9 dargestellt werden kann, brauchen wir nur die Teilbarkeit der Einer zu unteruschenuntersuchen.
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:a)
Línea 1458:
:1.035 ist ''nicht'' durch 2 teilbar.
:1.035 = 1.030 + 5
:1.030 ist als Vielfaches von 10 druchdurch 2 teilbar.
:Wäre 1.035 auch durch 2 teilbar, so müsste nach dem Satz aus Übung BM1043 ('''SATZ:''' Wenn a ein Teiler sowohl von b als auch von c ist, so ist a auch ein Teiler der Differenz „b - c“.) auch 1.035 - 1.030 = 5 durch 2 teilbar sein. Das ist aber nicht der Fall, also ist 1.035 ''nicht'' durch 2 teilbar.
 
 
BM1047
:'''Satz:''' Alle Zahlen, deren Ziffern auf „0“, „2“, „4“, „6“ oder „8“ enden, sind durch 2 teilbar. Alle anderen Zahlen sidnsind nicht durch 2 teilbar.
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:Da wir die durch 2 teilbaren Zahlen gerade Zahlen genannt haben, besagt dieser SAtzSatz, dass die geraden ZahelnZahlen stets eine der Endziffern „0“, „2“, „4“, „6“ oder „8“ besitzen.
 
 
Línea 1473:
:Ist a eine durch 4 teilbare Zahl, so endet die Ziffer von a auf „0“, „2“, „4“, „6“ oder „8“. Es sind aber nicht alle geraden Zahlen durch 4 teilbar. So ist z.&nbsp;B. 36 durch 4 teilbar, aber nicht 26 oder 86. Ebenso ist 20 durch 4 teilbar, aber nicht 70 oder 90.
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:jedesJedes Vielfache von 100 ist durch 4 teilbar. Es ist nämlich 4 ein Teiler von 100 und damit nach dem Satz aus Übung BM1044 ('''SATZ:''' Wenn a entweder ein Teiler von b oder ein Teiler von c oder eine Teiler von beiden ist, so ist a auch ein Teiler des Produktes „b * c“.) auch ein Teiler aller Vielfachen von 100.
:Wir brauchen also bei eienreiner Zahl, die größer als 100 ist, nur die aus den letzten beiden Ziffern dargestellte Zahl auf Teilbarkeit durch 4 zu untersuchen.
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:Die Zahl 87.748 ist durch 4 teilbar, weil 87.700 als Vielfaches von 100 und auch 48 durch 4 teilbar sind. Daher ist nach dem Satz aus Übung BM1042 ('''SATZ:''' Wenn a ein Teiler sowohl von b als auch von c ist, so ist a auch ein Teiler der Summe „b + c“.) auch ihre Summe 87.748 durch 4 teilbar.
:Die Zahl 87.778 ist ''nicht'' durch 4 teilbar, weil zwar 87.770 durch 4 teilbar ist, nicht aber 78.
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:'''Satz:''' Alle Zahlen, bei denen die letzten beiden Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl darstellen, sind durch 4 teilbar. Alle anderen Zahlen sind nicht druchdurch 4 teilbar.
 
 
Línea 1531:
:Durch die gleiche Überlegung, wie sie für die Teilbarkeit durch 9 (s.&nbsp;o.) durchgeführt wurde, finden wir einen Satz für die Teilbarkeit einer Zahl durch 3.
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:'''Satz:''' Alle zahlen, deren Quersumme durch 3 teilbar ist, sind druchdurch 3 teilbar. Alle anderen Zahlen sind nicht durch 3 teilbar.
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:Teilbarkeit durch 6
Línea 1541:
:Es gibt also dann eine natürliche Zahl x, so dass gilt:
:6 * x = b.
:Durch Zusammenfassen der Sätze für die Teilbarkeit durch 2 und druchdurch 3 ergibt sich ein SAtzSatz für die Teilbarkeit einer Zahl durch 6.
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:'''Satz:''' Alle Zahlen, die gerade sind und deren Quersumme durch 3 teilbar ist, sind durch 6 teilbar. Alle anderen Zahlen sind nicht durch 6 teilbar.
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