Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 071b»

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Línea 1369:
:'''SATZ:''' Wenn a ein Teiler sowohl von b als auch von c ist, so ist a auch ein Teiler der Summe „b + c“.
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:Umgekehrt gilt dieser SAtzSatz nicht: Ist a ein Teiler der Summe „b + c“, so ist a nicht umbedingt auch Teiler von b und Teiler von c.
:Beispielsweise ist 13 ein Teiler von „12 + 14 = 26“, aber weder ein Teiler von 12 noch ein Teiler von 14.
 
Línea 1439:
:'''SATZ:''' Alle zahlen, deren Ziffern auf „0“ enden, sind durch 10 teilbar. Alle anderen Zahlen sind nicht durch 10 teilbar.
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:Alle '''durch 5 teilbareteilbaren ZahlnZahlen b''' lassen sich in der Form „5 * x = b“ darstellen.
:'''Satz:''' Alle zahlen, deren Ziffer auf „0“ oder „5“ enden, sind durch 5 teilbar. Alle anderen Zahlen sind nicht durch 5 teilbar.
 
 
BM1046
???
:Teilbarkeit durch 2, 4 und 8
:Wir können leicht nachprüfen, dass die Zahlen 0, 2, 4, 6, 8 und 10 durch 2 teilbar sind.
:Außerdem ist jedes Vielfache von 10 durch 2 teilbar, denn jedes Vielfache von 10 ist ein Produkt „10 * x“. Da der Faktor 10 durch 2 teilbar ist, ist nach dem Satz aus Übung BM1044 ('''SATZ:''' Wenn a entweder ein Teiler von b oder ein Teiler von c oder eine Teiler von beiden ist, so ist a auch ein Teiler des Produktes „b * c“.) auch das ganze Produkt durch 2 teilbar.
:Da nun jede zahl als Summe eines Vielfachen von 10 und einer der Zahl 0, 1, ..., 9 dargestellt werden kann, brauchen wir nur die Teilbarkeit der Einer zu unteruschen.
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:a)
:96 ist durch 2 teilbar
:96 = 90 + 6
:90 ist als Vielfaches von 10 durch 2 teilbar.
:6 ist nach unserer Überprüfung auch durch 2 teilbar, also ist nach dem Satz aus Übung BM1042 ('''SATZ:''' Wenn a ein Teiler sowohl von b als auch von c ist, so ist a auch ein Teiler der Summe „b + c“.) auch 90 + 6 durch 2 teilbar.
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:b)
:1.035 ist ''nicht'' durch 2 teilbar.
:1.035 = 1.030 + 5
:1.030 ist als Vielfaches von 10 druch 2 teilbar.
:Wäre 1.035 auch durch 2 teilbar, so müsste nach dem Satz aus Übung BM1043 ('''SATZ:''' Wenn a ein Teiler sowohl von b als auch von c ist, so ist a auch ein Teiler der Differenz „b - c“.) auch 1.035 - 1.030 = 5 durch 2 teilbar sein. Das ist aber nicht der Fall, also ist 1.035 ''nicht'' durch 2 teilbar.
 
 
BM1047
:'''Satz:''' Alle Zahlen, deren Ziffern auf „0“, „2“, „4“, „6“ oder „8“ enden, sind durch 2 teilbar. Alle anderen Zahlen sidn nicht durch 2 teilbar.
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:Da wir die durch 2 teilbaren Zahlen gerade Zahlen genannt haben, besagt dieser SAtz, dass die geraden Zaheln stets eine der Endziffern „0“, „2“, „4“, „6“ oder „8“ besitzen.
 
 
BM1048
:Teilbarkeit durch 4
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:Ist a eine durch 4 teilbare Zahl, so endet die Ziffer von a auf „0“, „2“, „4“, „6“ oder „8“. Es sind aber nicht alle geraden Zahlen durch 4 teilbar. So ist z. B. 36 durch 4 teilbar, aber nicht 26 oder 86. Ebenso ist 20 durch 4 teilbar, aber nicht 70 oder 90.
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:jedes Vielfache von 100 ist durch 4 teilbar. Es ist nämlich 4 ein Teiler von 100 und damit nach dem Satz aus Übung BM1044 ('''SATZ:''' Wenn a entweder ein Teiler von b oder ein Teiler von c oder eine Teiler von beiden ist, so ist a auch ein Teiler des Produktes „b * c“.) auch ein Teiler aller Vielfachen von 100.
:Wir brauchen also bei eienr Zahl, die größer als 100 ist, nur die aus den letzten beiden Ziffern dargestellte Zahl auf Teilbarkeit durch 4 zu untersuchen.
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:Die Zahl 87.748 ist durch 4 teilbar, weil 87.700 als Vielfaches von 100 und auch 48 durch 4 teilbar sind. Daher ist nach dem Satz aus Übung BM1042 ('''SATZ:''' Wenn a ein Teiler sowohl von b als auch von c ist, so ist a auch ein Teiler der Summe „b + c“.) auch ihre Summe 87.748 durch 4 teilbar.
:Die Zahl 87.778 ist ''nicht'' durch 4 teilbar, weil zwar 87.770 durch 4 teilbar ist, nicht aber 78.
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:'''Satz:''' Alle Zahlen, bei denen die letzten beiden Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl darstellen, sind durch 4 teilbar. Alle anderen Zahlen sind nicht druch 4 teilbar.
 
 
BM1049
:Teilbarkeit durch 4
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:Analog zur Teilbarkeit durch 4 aus der vorhergehenden Übung ergibt sich der Satz für die Teilbarkeit durch 8
:'''Satz:''' Alle Zahlen, bei denen die letzten drei Grundziffern eine durch 8 teilbare Zahl darstellen, sind durch 8 teilbar. Alle anderen Zahlen sind nicht durch 8 teilbar.
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:1.000 ist durch 8 teilbar
:1.000 : 8 = 125
 
 
BM1050
:Teilbarkeit durch 9, 3 und 6
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:Bei der Division durch 9 mit Rest lassen die zahlen 10; 100; 1.000; 10.000 usw. den REest 1.
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:10 = 9 * 1 + 1
:100 = 9 * 11 + 1
:1000 = 9 * 111 + 1
:10000 = 9 * 1111 + 1
:usw.
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:Dividieren wir nur Vielfache von 10; 100; 1.000 usw. mit Rest durch 9, so bleiben die gleichen Vielfachen von 1 als Rest.
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:Wir wollen feststellen, die Zahl 7.146 durch 9 teilbar ist. Um diese Frage zu beantworten, zerlegen wir die gegebenen Zahlen folgendermaßen:
:7146 = 7000 + 100 + 40 + 6
:7000 = 9 * 777 + 7
:100 = 9 * 11 + 1
:40 = 9 * 4 + 4
:6 = 9 * 0 + 6
:+ + + + (Nun bilden wir auf beiden Seiten die Summen.)
:7146 = 9 * 792 + 18
:Die Summe 18 der Reste ist eine durch 9 teilbare Zahl.
:Ebenso ist 9 * 792 durch 9 teilbar.
:Diese Reste werden aber auch durch die Grundziffern der gegebenen zahl dargestellt, ihre Summe nennen wir '''Quersumme'''
:Die Quersumme von 7.146 ist also 7+1+4+6=18
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:'''Satz:''' Alle Zahlen, deren Quersumme durch 9 teilbar ist, sind durch 9 teilbar. Alle anderen Zahlen sind nicht durch 9 teilbar.
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:Was für die Teilbarkeit durch 9 gilt, gilt analog auch für die Teilbarkeit durch 3.
:Ebenso wie bei der Division mit Rest durch 9 lassen die Zahlen 10; 100; 1000 usw. auch bei der Division mit Rest durch 3 den Rest 1.
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:10 = 3 * 3 + 1
:100 = 3 * 33 + 1
:1000 = 3 * 333 + 1
:10000 = 3 * 3333 + 1
:usw.
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:Durch die gleiche Überlegung, wie sie für die Teilbarkeit durch 9 (s. o.) durchgeführt wurde, finden wir einen Satz für die Teilbarkeit einer Zahl durch 3.
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:'''Satz:''' Alle zahlen, deren Quersumme durch 3 teilbar ist, sind druch 3 teilbar. Alle anderen Zahlen sind nicht durch 3 teilbar.
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:Teilbarkeit durch 6
:Alle durch 6 teilbaren Zahlen b lassen sich in der Form 6 * x = b darstellen.
:Das ist dasselbe wie 2 * 3 * x = b.
:Diese Zahlen sind also sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar.
:Umgekehr lässt sich aber auch jede natürliche Zahl b, die durch 2 '''und''' durch 3 teilbar ist, in der Form
:2 * 3 * x = b darstellen.
:Es gibt also dann eine natürliche Zahl x, so dass gilt:
:6 * x = b.
:Durch Zusammenfassen der Sätze für die Teilbarkeit durch 2 und druch 3 ergibt sich ein SAtz für die Teilbarkeit einer Zahl durch 6.
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:'''Satz:''' Alle Zahlen, die gerade sind und deren Quersumme durch 3 teilbar ist, sind durch 6 teilbar. Alle anderen Zahlen sind nciht durch 6 teilbar.