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Línea 170: '''Definición 2.7. Subconjuntos y superconjuntos:''' Se dice que un conjunto <math>A</math> es subconjunto de un conjunto <math>B</math> si todo elemento de <math>A</math> pertenece a <math>B</math>, o en notación matemática: <math>A \subset B \leftrightarrow \forall x \in A \rightarrow x \in B</math> y se leé (A es subconjunto de B ó A está contenido en B). '''~~Nota~~Definición 2.28. Familias o clases.''' A los conjuntos ~~compuestos~~cuyos elementos son a su vez de conjuntos los llamaremos familias o clases, lo cual se expresa como <math>A = \{ B_i \},</math> donde <math>A</math> es un conjunto cuyos elementos son los conjuntos <math>B_i</math>. '''Ejemplo 2.3.''' Sea el conjunto de todos los puntos del plano, cada recta del plano es a su vez un subconjunto de puntos por lo que el conjunto de todas las rectas del plano es la familia o clase de las rectas del plano en este contexto. '''Definición 2.89. Conjuntos universal y vacío.''' En las aplicaciones particulares de la teoría de conjuntos podemos trabajar con una familia de conjuntos de la cual un conjunto sea superconjunto de todos los demás; dicho conjunto se llama '''conjunto universal''' o '''universo del discurso''' y se denota por <math>U</math>. Además, el conjunto vacío se define como el conjunto que no posee elementos, y se simboliza como <math>\phi \equiv \{ \}</math>; este conjunto se considera finito y subconjunto de cualquier otro conjunto, ya que no contradice a la definición de subconjuntos. Así, para todo conjunto <math>A</math>, <math>\phi \subset A \subset U</math>. '''Ejemplo 2.4.''' Línea 208: === Operaciones con conjutos. === '''Definición 2.910. Unión de conjuntos.''' La unión de dos conjuntos <math>A</math> y <math>B</math>, denotada como <math>A \cup B</math> es el conjunto compuesto de todos los elementos que pertenecen a <math>A</math> ó a <math>B</math>, es decir: <math>A \cup B = \{ x : x \in A \ \or \ x \in B \}</math>. La unión de varios conjuntos (cero, uno, dos o más), representada como <math>\cup_i A_i</math>, es el conjunto conformado por todos los elemento que pertenecen a por lo menos uno de los conjuntos <math>A_i.</math> '''Definición 2.1011. Intersección de conjuntos.''' La intersección de dos conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> es el conjunto de todos los elementos que pertenecen simultaneamente a <math>A</math> y a <math>B</math>: <math>A \cap B = \{ x : x \in A \ \and \ x \in B \}</math>. La intersección de varios conjuntos (cero, uno, dos o más), simbolizada como <math>\cap_i A_i,</math> es el conjunto conformado por todos los elementos que pertenecen simultaneamente a cada conjunto <math>A_i.</math> '''Definición 2.1112. Conjuntos disjuntos.''' Se dice que dos conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> son disjuntos si no poseen elementos en común, i.e. <math>A \cap B = \phi</math>. '''Definición 2.1213. Diferencia de conjuntos.''' La diferencia de <math>A</math> y <math>B</math>, representada como <math>A \setminus B</math>, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a <math>A</math> y no pertenencen a <math>B</math>: <math>A \setminus B = \{ x : x \in A \and x \not \in B \}</math>. '''Definición 2.1314. Complemento de un conjunto.''' El complemento de un conjuto <math>A</math>, representado como <math>A^c</math>, es el conjuto conformado por todos los elementos que no pertenecen a <math>A</math>, respecto al conjunto universal: <math>A^c = \{ x : x \not \in A \} = U \setminus A</math>. Línea 252: \|} '''Demostración de las leyes conmutativas.''' # De la '''definición 2.910''' y la ley lógica conmutativa de la disyunción, tenemos que <math>A \cup B = \{ x : x \in A \ \or \ x \in B \} = \{ x : x \in B \ \or \ x \in A \} = B \cup A</math>. # De la '''definición 2.1011''' y la ley lógica conmutativa de la conjunción, tenemos que <math>A \cap B = \{ x : x \in A \ \and \ x \in B \} = \{ x : x \in B \ \and \ x \in A \} = B \cap A</math>.<math>\blacksquare</math> '''Definición 2.1415. Conjuntos producto.''' Dados dos conjuntos ''A'' y ''B'', el '''conjunto producto''' ó '''producto cartesiano''' de ''A'' y ''B'', denotado como <math>A \times B</math>, se define como el conjunto de todos los pares ordenados de elementos de ''A'' y ''B'' respectivamente, es decir: <math>A \times B = \{ (a, b) : a \in A, b \in B \}</math>, Línea 262: '''Ejemplo 2.6. El plano cartesiano.''' Cuando <math>A = B = \mathbb{R}</math> los pares ordenados <math>(a,b)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R}</math> se representan gráficamente como puntos o coordenadas en el plano cartesiano (ver Figura 1). '''Definición 2.1516. Conjuntos producto generalizados.''' El concepto de conjunto producto puede generalizarse de manera natural para cualquier número finito de conjuntos. El conjunto producto de los conjuntos <math>A_1, A_2 \ldots , A_n</math>, representado como <math>A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n</math>, es el conjuto de todas las '''n-adas''' ó '''n-uplas''' de elementos de cada conjunto respectivo, i.e. <math>A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n = (a_1, a_2, \ldots , a_n) : a_i \in A_i \ \forall i = 1, \ldots , n</math>. === Funciones === '''Definición 2.1617. Función.''' Una '''función''' ó '''aplicación''' es una relación o regla entre dos conjuntos ''A'' y ''B'' que asocia a cada elemento del conjuto ''A'' un "<u>único</u>" elemento del conjuto ''B, y se denota por'' <math>f : A \rightarrow B</math>, Si a <math>a \in A</math> le corresponde el elemento <math>b \in B</math>, entonces podemos expresar dicha correspondencia como <math>b = f(a),</math> donde <math>f(a)</math> es la evaluación de <math>f</math> en <math>a</math>, por lo que otra forma de denotar a <math>f</math> es <math>a \mapsto f(a).</math> Línea 273: '''Nota 2.3.''' De la definición '''2.16''' vemos que no es posible que existan dos elementos <math>b, c \in B</math> (<math>b \neq c</math>) tales que <math>f(a) = b</math> y <math>f(a) = c</math>, <math>\forall a \in A</math>. Por el contrario, sí es posible (está permitido) que para dos elementos <math>a, b \in A</math> exista un mismo elemento <math>c \in B</math> de tal manera que <math>f(a) = c</math> y <math>f(b) = c</math> (ver Figura 2). '''Definición 2.1718. Dominio y codominio.''' Sea <math>f : A \rightarrow B</math> una función, al conjunto ''A'' se le llama dominio de ''f'' y al conjuto ''B'' se le llama codominio de ''f''. Si <math>b = f(a),</math> se dice que <math>b</math> es el valor de <math>f</math> en <math>a</math> ó que <math>b</math> es la imagen de <math>a</math> por <math>f</math>. '''Definición 2.1819. Imagen o rango.''' La imagen o rango de <math>f: A \rightarrow B</math>, definido como <math>f[A] = \{ f(a) : a \in A \},</math>es el conjunto de todas las imágenes de elementos de <math>A</math>. '''Nota 2.4.''' Debe observarse que algunos elementos de <math>B</math> pudieran no pertenecer a <math>f[A]</math>, i.e. <math>f[A] \subset B</math> (ver Figura 2). '''Definición 2.1920. Gráfica de f:''' De las definiciones '''2.1617''' y '''2.1718''' concluimos que una función <math>f</math> se puede poner en correspondencia con un subconjunto del conjunto de todos los pares ordenados de su dominio ''A'' y de su codominio ''B'': <math>( f : A \rightarrow B ) \leftrightarrow \{ (a, f(a)) : a \in A \},</math> es decir, <math>f</math> queda perfectamente determinada por un único subconjunto de <math>A \times B</math>. Al conjunto <math>\{ (a, f(a)) : a \in A \}</math>se le llama '''gráfica de f'''. '''Ejemplo 2.7. Función cuadrática.''' La función <math>f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ x \mapsto f(x) = x^2</math>que asigna a cada número real su cuadrado, es decir, <math>y = f(x) = x^2,</math> tiene como dominio y codominio a <math>\mathbb{R}</math>, sin embargo posee como imagen o rango a los reales positivos mas el cero, es decir: <math>\mathbb{R}^+ \cup \{0\}</math>. Además se ´presenta a continuación una tabla donde se evalúa a <math>f</math> en algunos valores y se muestra su gráfica (ver Figura 3). Línea 301: \|'''6.25''' \|} '''Definición 2.2021. Igualdad de funciones.''' Dos funciones <math>f,g:A \rightarrow B</math> son iguales, lo que se expresa como <math>f = g</math>, si <math>f(a) = g(a), \forall a \in A;</math>en caso contrario se dice que <math>f</math> y <math>g</math> son distintas, es decir si <math>\exist a \in A \ t.q. \ f(a) \neq f(b),</math>lo cual se representa como <math>f \neq g</math> (ver figura 4). '''Definición 2.2122. Función constante.''' Una función <math>f: A\rightarrow B</math> es constante si para algún <math>b_0</math> fijo, <math>b_0 \in B</math>, se tiene que<math>f(a) = b_0, \forall a \in A.</math> '''Ejemplo 2.8. Función constante.''' La función de variable real <math>f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},</math> definida como <math>x \mapsto f(x) = 1,</math>es una función constante (ver Figura 5). '''Definición 2.2223. Función composición.''' Dadas dos funciones <math>f: A \rightarrow B,\ g: B \rightarrow C, </math> una función <math>h : A \rightarrow C</math> se llamará función composición de <math>f</math> y <math>g</math> (en ese orden), lo cual se denota como <math>g \circ f</math>, si <math>\forall a \in A, h(a) = (g \circ f)(a) := g(f(a))</math>(ver Figura 6). '''Definición 2.2324. Restricción y prolongación de''' <math>f</math>. Sean <math>f: A \rightarrow B</math> y <math>C \subset A</math>. La restricción de <math>f</math> a <math>C,</math> simbolizada como <math>f\|_C</math>, es la función definida como <math>f\|_C : (C \subset A) \rightarrow B,</math> i.e. el dominio de <math>f\|_C</math> queda restringido al subconjunto <math>C</math> de <math>A.</math> De igual forma, dada una función <math>g: C \rightarrow B</math> y definimos alguna <math>f : A \rightarrow B</math>, con <math>A \supset C</math>, tal que <math>f\|_C = g,</math> entonces se dice que <math>f</math> es una prolongación de <math>g.</math> '''Nota 2.5.''' Dada la función composición <math>h = g \circ f,</math> con <math>f : A \rightarrow B</math> y <math>g : B \rightarrow C,</math> en general el dominio de <math>g</math> se restringe a un subconjunto <math>D \subset B</math> dado por la imagen de <math>f;</math> es decir <math>f[A] = D \subset B</math> será el dominio restringido de <math>g</math> (ver Figura 6). '''Definición 2.2425. Función inyectiva.''' Una función <math>f : A \rightarrow B</math> es inyectiva si a elementos distintos del dominio les corresponden imágenes distintas i.e. <math>f(a) = f(b)</math> implica que <math>a = b</math>. También se dice que es una función 1-1 (uo a uno) (ver Figura 7). '''Definición 2.2526. Función sobreyectiva.''' Una función <math>f : A \rightarrow B</math> es sobreyectiva si para todo elemento <math>b</math> del codominio existe un elemento <math>a</math> del dominio cuya imagen es <math>b</math>, es decir, si <math>\forall b \in B \ \exist a \in A \ t.q. f(a) = b</math> (ver Figura 8) '''Definición 2.2627. Función biyectiva.''' Una función <math>f : A \rightarrow B</math> es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva, lo que significa que a todo elemento del dominio le corresponde un único elemento del codominio y viceversa, o lo que es lo mismo, <math>f</math> define una relación biunívoca entre <math>A</math> y <math>B</math> (ver Figura 9). '''Definición 2.2728. Función inversa.''' Sea <math>f : A \rightarrow B</math> una función biyectiva, y sea <math>g : B \rightarrow A</math> otra función biyectiva, tal que <math>\forall b \in B, \ g(b) = a \in A \ t.q. f(a) = b,</math>entonces <math>g</math> se define como la función inversa de <math>f</math> y se denota por <math>g := f^{-1}</math> (ver figura 10). '''Definición 2.2829. Función idéntica.''' Dada una función <math>f : A \rightarrow A</math>, tal que la imagen de un elemento es él mismo, i.e. <math>\forall a \in A \ f(a) = a</math>, dicha función se llama función identidad o función idéntica y se denota como <math>f := 1_A .</math> '''Proposición 2.5.''' Dadas <math>f : A \rightarrow B</math> y <math>f^{-1} : B \rightarrow A,</math>entonces <math>f^{-1} \circ f = 1_A</math> y <math>f \circ f^{-1} = 1_B</math> (ver Figura 11). Línea 327: '''Proposición 2.6.''' Sean <math>f : A \rightarrow B, \ 1_A : A \rightarrow A</math> y <math>1_B : B \rightarrow B,</math>entonces se cumple que <math>f \circ 1_A = f</math> y <math>1_B \circ f = f</math>. '''Definición. 2.30. Conjuntos equipotentes.''' Se dice que dos conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> son coordinables o equipotentes si existe una función biyectiva o relación biunívoca entre ellos, es decir, que a cada elemento del conjunto <math>A</math> le corresponde un único elemento del conjunto <math>B</math> y viceversa~~.[[File:Plano~~ ~~Cartesiano3.jpg\|thumb\|~~(ver Figura 112). ~~Plano Cartesiano]]~~ '''Definición 2.31. Función de dos variables.''' Una función <math>f</math> de dos variables, es una regla que asocia a cada par ordenado <math>(a,b), a \in A, b \in B,</math>uno y solamente un elemento <math>c \in C.</math> El conjunto <math>A \times B</math> es el dominio de <math>f</math> y <math>C</math> es el codominio de <math>f</math>. Además expresamos dicha función como <math>f : A \times B \rightarrow C.</math> '''Definición 2.32. Función multivariable.''' De manera análoga, definimos en general a una función multivariable <math>f : A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n \rightarrow B</math> como una regla que asocia a cada <math>n</math>-ada ordenada <math>(a_1, a_2, \ldots, a_n), a_1 \in A_1, a_2 \in A_2, \ldots, a_n \in A_n,</math>uno y solamente un elemento <math>b \in B.</math> El conjunto <math>A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n</math> es el dominio de <math>f</math> y <math>C</math> su codominio. === Particiones y clases === '''Definición 2.31. Partición de un conjunto.''' Una familia no vacía <math>\{B_i\}</math> de subconjuntos de un conjunto <math>A</math>, forma una partición de <math>A</math> si # La unión de todos los subconjuntos <math>B_i</math> es el conjunto <math>A</math>, Lo cual, en símbolos matemáticos se expresa como <math>\cup_i B_i = A.</math> # Todos los conjuntos <math>B_i</math> son mutuamente disjuntos, i.e. <math>B_m \cap B_n = \phi, \forall B_m, B_n \in \{ B_i \}</math>(ver figura 13). '''Definición 2.32. Clases de equivalencia.''' Dada una partición <math>\{B_i\}</math> de un conjunto <math>A</math>, a los elementos <math>B_n \in \{ B_i \}</math> se les llama clases de equivalencia. '''Definición 2.33. Representantes de clase.''' Sea <math>A</math> un conjunto, <math>\{ B_i \}</math> una partición de <math>A</math>, y <math>B_n \in \{ B_i \}</math> un elemento de la partición. Dado un elemento <math>b_n \in B_n,</math> se dice que <math>b_n</math> es un representante de la clase de equivalencia <math>B_n,</math> además podemos denotar a dicha clase mediante un representante a través de la expresión <math>[b_n] = B_n.</math> == Estructuras algebraicas. == '''Definición 3.1. Operación binaria.''' Dado un conjunto <math>A</math>, una operación binaria <math></math> sobre <math>A</math> es una función '''Definición 3.1. Estructura algebraica.''' Una estructura algebraica es un par ordenado (<math>(A, ),</math> donde <math>A</math> es un conjunto[[File:Plano Cartesiano3.jpg\|thumb\|Figura 1. Plano Cartesiano]] == Construcción de los conjuntos de números y sus propiedades. == === Construcción de los conjuntos numéricos. (Capítulo en construcción) === '''Definición 3.1. Sucesión fundamental de conjuntos.''' La sucesión de conjuntos finitos: <math>\{ \}, \{a\}, \{a, b\}, \{a, b, c\}, \{a, b, c, d\}, \ldots</math>, en la cual comenzamos con el conjunto vacío y cada conjunto posterior al conjunto vacío tiene un elemento más que el inmediatamente anterior, representa la sucesión fundamental de los conjuntos finitos. Es claro que en esta sucesión no existen dos conjuntos distintos que sean equipotentes, por lo que dado un conjunto finito cualquiera, éste es coordinable con uno y solo un conjunto de la sucesión. '''Definición 3.2. Números naturales.''' El conjuto vacío es equipotente con sigo mismo. Además, todo conjunto de un elemento ha de ser equipotente con el segundo elemento de la sucesión. De la mismam forma todo conjunto de dos elementos es equipotente con el tercer elemento de la sucesión. Y así sucesivamente. Por lo tanto, los conceptos abstractos de uno, dos, tres, ..., representan la propiedad común a todos los conjuntos coordinables con algún elemento de la sucesión fundamental (a partir de su segundo elemento) y por lo tanto coordinables entre sí. Así pues, un número natural es un concepto abstracto que representa cierta propiedad común a todos los conjuntos coordinables entre sí que y que no son el conjunto vacío. A los números naturales los denotamos como <math>\mathbb{N} := \{ 1, 2, 3 , 4, 5, \ldots \},</math> donde el elemento <math>i</math>-ésimo representa a todos los conjuntos equipotentes con el elemento <math>(i+1)</math>-ésimo de la sucesión, es decir, los números naturales son una medida de la cantidad de elementos de un conjunto finito dado, al compararlo con su respectivo conjunto equipotente de la sucesión fundamental. También podemos definir una extensión de los números naturales, dada por <math>\mathbb{N}_0 := \{0,1,2,3,4,5,\ldots\} = \mathbb{N} \cup \{0\},</math>donde el número cero, representado como <math>0</math>, representa al conjunto vacío, i.e. es una medida del conjunto sin elemetos, una medida de la "nada". El conjunto de los números naturales se define como <math>\mathbb{N} = \{ 1, 2, 3 , 4, 5, \ldots \}</math>. También se le conoce como el conjunto de los enteros positivos: <math>\mathbb{N} \equiv \mathbb{Z}^+</math>. El conjunto de los naturales mas el número cero: <math>\mathbb{N}_0 \equiv \mathbb{N} \cup \{0\} = \{ 0,1,2,3,4,5, \ldots , \}</math> dotado de la operación binaria de la adición se representa como el par ordenado <math>( \mathbb{N}_0 , + )</math> y poseé las siguientes propiedades:

Diferencia entre revisiones de «Precálculo/Introducción»