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[[Precálculo]]
== <big>'''Introducción =='''</big>
En el mercado de los libros universitarios abundan los libros referentes a precálculo. No obstante, la gran mayoría de ellos son volúmenes enormes con una gran cantidad de material teórico, de tal forma que si un estudiante deseara estudiar alguno de esos textos de manera completa batallaría mucho para poder leer y procesar todo ese contenido. Además, en general dichos textos están escritos con un enfoque para ingenieros, evitando con ello la formalidad matemática para centrarse más en la parte práctica operativa de aplicación de métodos a la solución de problemas. Sin embargo, la experiencia me ha enseñado que indudablemente un buen ingeniero necesita tener buenas bases matemáticas con algo de formalismo y análisis.
Carlos Oscar Rodríguez Leal.
== Capítulo 0. Breve Definición Informal de los Sistemas Axiomáticos ==
Artículo principal: [[Sistemas axiomáticos]]
'''Definición 01.1. Sistema axiomático.''' Un sistema axiomático <ref name=":0" /><ref>Lógica simbólica. Irving M. Copi. Cecsa. México. 2002</ref> es la construcción rigurosa (lógicamente hablando) de una teoría deductiva. Podemos decir de manera informal que un sistema axiomático consta, a groso modo, de:
# '''Conceptos no definidos:''' En matemáticas como en cualquier quehacer intelectual, hay conceptos que necesitan definirse con precisión, pero para ello se requieren de otros conceptos más generales que los incluyan, los cuales a su vez se necesitan definir mediante otros conceptos más generales y así sucesivamente. Por ello, como no podemos continuar con ese proceso infinitamente, hay algunos conceptos base de los que partimos y que aunque no los definamos con rigor, podemos entender intuitivamente de una manera clara a lo que se refieren. Por ejemplo, tenemos los conceptos de conjunto y elemento, en la teoría de conjuntos, o los conceptos de punto y recta en geometría euclidiana.
# '''Proposiciones no demostradas:''' Son los axiomas, o enunciados cuya afirmación es evidente u obvia, y por ende no necesitan ser demostrados. Por ejemplo, en geometría euclidiana, en la teoría axiomática de Hilbert tenemos el siguiente axioma: "Para cada punto <math>P</math> y cada punto <math>Q</math> distinto de <math>P</math>, existe una única recta <math>l</math> en la cual inciden <math>P</math> y <math>Q</math>". Y en teoría axiomática de conjuntos, en el sistema axiomático de Zermelo-Fraenkel tenemos el axioma de extensión <ref name=":0" />: "Dos conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> son iguales si, y solo si, todo elemento de <math>A</math> es un elemento de <math>B</math> y todo elemento de <math>B</math> es un elemento de <math>A</math>".
Una vez definidos los sistemas axiomáticos, ya estamos listos para comenzar con nuestra introducción al apasionante mundo de la teoría de conjuntos.
== Capítulo 1. Teoría de Conjuntos Elemental. <ref name=":0">Teoría de Conjuntos. Gustavo Villalobos Hernández, Elena Gósteva. amate editorial.
</ref><ref>Topología General. Seymour Lipschutz. Serie Schaum.</ref> ==
Artículo principal: [[Matemáticas/Teoría de conjuntos]]
=== Conjuntos, definiciones y propiedades generales. ===
'''Definición 12.1. Conjunto.''' Colección de objetos bien definidos.
'''Definición 12.2. Elementos.''' Son los objetos que pertenecen a un conjunto.
Los conjuntos se simbolizan con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas. Si un elemento <math>a</math> pertenece a un conjunto <math>A</math>, lo representamos matemáticamente como <math>a \in A</math>, lo cual se leé: "a pertenece a A"; y si un elemento <math>b</math> no pertenece a un conjunto <math>A</math>, lo expresamos como <math>b \not\in A</math> y lo leemos como: "b no pertenece a A".
Un conjunto se puede especificar ya sea por extensión (o enumeración) o por descripción.
'''Definición 12.3. Especificación por extensión o enumeración.''' Cuando un conjunto es finito y consta de los <math>n</math> elementos <math>a_1 , a_2 , \ldots a_n</math>, entonces se puede expresar por la enumeración de todos sus elementos separados por comas y encerrados entre llaves: <math>A = \{ a_1 , a_2 , \ldots , a_n \}</math>.
'''Definición 12.4. Especificación por descripción.''' Si <math>P</math> es una propiedad y <math>a</math> un objeto, entonces <math>A = \{ x | P(x) \}</math> denota el conjunto de objetos que poseen la propiedad <math>P</math> (los elementos de <math>A</math>), donde los símbolos <math>|</math> ó <math>:</math> se leen como "''tal que''". Otra forma de denotar los elementos infinitos de un conjunto es expresando explícitamente sus primeros elementos y luego poner puntos suspensivos, siendo que queda entendida de manera implícita la sucesión infinita.
'''Ejemplo 12.1.'''
# El conjunto de todas las vocales minúsculas del alfabeto español se puede especificar por extensión como: <math>V = \{ a, e ,i ,o ,u \}</math>. Y por descripción como: <math>V = \{ x | x </math> es una vocal minúscula del alfabeto español <math> \}</math>
# El conjunto de todos los animales de Villa Fantasía se puede determinar por enumeración así: <math>A = \{ chango_1, chango_2, caballo, tigre, guacamaya \} </math>.
# El conjunto de todos los números pares se puede expresar por descripción como: <math>P = \{ n \ | </math> n es múltiplo de 2 <math>\}</math>.
# El conjunto de los números impares: <math>I = \{ n \ : \ n \in \mathbb{N}, n </math> no es múltiplo de 2 <math>\}</math>.
'''Definición 12.5.''' '''Igualdad de conjuntos.''' Dos conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> son iguales solo si poseen exactamente los mismos elementos, i.e. son el mismo conjunto, lo que implica que <math>\forall x \in A \rightarrow x \in B</math> y que <math>\forall x \in B \rightarrow x \in A</math>. Lo anterior se representa como <math>A = B</math>, y se leé: "A es igual a B". En caso contrario se dice que los conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> son distintos, lo que se simboliza como <math>A \neq B</math>, y se leé: A es distinto de B"; y significa que "<math>\exists x \in A : x \not\in B</math> ó <math>\exist x \in B : x \not \in A</math>
'''Nota 2.1.''' Dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos sin importar que estén ordenados de diferentes maneras en su especificación por extensión.
'''Ejemplo 12.2.''' <math>A = \{ chango_1, chango_2, caballo, tigre, guacamaya \} = \{ chango_2 , caballo, guacamaya, tigre, chango_1 \} \neq \{ chango_1, chango_2, caballo, tigre \} = \{ x \ | \ x </math> es un mamífero de Villa Fantasía<math>\} </math>.
'''Definición 12.6. Conjuntos finitos e infinitos.''' Un conjunto es finito cuando consta de <math>n</math> elementos diferentes, siendo <math>n</math> un número natural o el cero: <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. En cas contrario se dice que dicho conjunto es infinito.
'''Definición 12.7. CardinalidadSubconjuntos dey conjuntos.superconjuntos:''' LaSe cardinalidaddice deque un conjunto <math>A </math> es la cantidadsubconjunto de elementos que contiene dichoun conjunto, y se simboliza como #<math>A B</math>. Sisi todo elemento de <math>A </math> es finito ypertenece poseea <math>n B</math>, elementoso (conen notación matemática: <math>nA \insubset B \mathbb{N}_0leftrightarrow </math>),\forall entoncesx \in #<math>A=n \rightarrow x \in B</math>, y sise <math>leé (A </math>es poseesubconjunto infinitosde elementosB entoncesó seA diceestá quecontenido #<math>Aen </math> es infinitaB).
'''Nota 2.2.''' A los conjuntos compuestos a su vez de conjuntos los llamaremos familias o clases. ▼# El conjunto de animales de Villa Fantasía del ejemplo '''1.1''' es finito y consta <math>5 </math> animales: #<math>A = 5 </math>. ▼# El conjunto de todos los leones de Villa Fantasía (<math>L </math>) es vacío, ya que en Villa Fantasía no tiene leones: <math>L = \{ \} \equiv \phi \rightarrow </math>#<math>L = 0 </math>. ▼# La cardinalidad del conjunto de los números naturales es infinita: #<math>\mathbb{N} </math> es infinita. ▼'''Definición 1.8. Subconjuntos y superconjuntos:''' Se dice que un conjunto <math>A</math> es subconjunto de un conjunto <math>B</math> si todo elemento de <math>A</math> pertenece a <math>B</math>, o en notación matemática: <math>A \subset B</math> y se leé (A es subconjunto de B ó A está contenido en B).
▲'''Nota 2.''' A los conjuntos compuestos a su vez de conjuntos los llamaremos familias o clases.
'''Ejemplo 12.43.''' Sea el conjunto de todos los puntos del plano, cada recta del plano es a su vez un subconjunto de puntos por lo que el conjunto de todas las rectas del plano es la familia o clase de las rectas del plano en este contexto.
'''Definición 12.98. Conjuntos universal y vacío.''' En las aplicaciones particulares de la teoría de conjuntos podemos trabajar con una familia de conjuntos de la cual un conjunto sea superconjunto de todos los demás; dicho conjunto se llama '''conjunto universal''' o '''universo del discurso''' y se denota por <math>U</math>. Además, el conjunto vacío se define como el conjunto que no posee elementos, y se simboliza como <math>\phi \equiv \{ \}</math>; este conjunto se considera finito y subconjunto de cualquier otro conjunto, ya que no contradice a la definición de subconjuntos. Así, para todo conjunto <math>A</math>, <math>\phi \subset A \subset U</math>.
'''Ejemplo 12.54.'''
# El conjunto de los changos de Villa Fantasía del ejemplo '''12.1''' es un subconjunto del conjunto de animales de Villa Fantasía: <math>C = \{ chango_1, chango_2 \} \subset A = \{ chango_1, chango_2, caballo, tigre, guacamaya \} </math>. Otros conjuntos son el conjunto de mamíferos de Villa Fantasía: <math>M = \{ chango_1 , changa_2, tigre, caballo \} </math>, y el conjunto de aves de ese mismo lugar: <math>V = \{guacamaya\}</math>; siendo que en ese contexto el conjunto universal es el conjunto de los animales de Villa Fantasía: <math>A = \{ chango_1 , changa_2, tigre, caballo, guacamaya \}</math>.
# El conjunto de todos los puntos del plano será nuestro universo, y la familia de las rectas del plano será una familia de subconjuntos de dicho universo, al igual que la familia de los triángulos.
'''Ejemplo 12.65.''' <math>\{\phi\} \neq \phi \equiv \{ \}</math>, ya que <math>\{ \phi \}</math> tiene un elemento, el conjunto vacío, mientras que el conjunto vacío mismo no contiene elemento alguno.
'''Proposición 12.1.''' Todo conjunto es subconjunto de sí mismo: <math>A \subset A</math>
<u>Demostración:</u>
Aplicaremos las leyes de la lógica-matemática como reglas lógicas de inferencia. Por lo tanto:
# <math>\forall x \in A \rightarrow x \in A</math> (principio lógico de identidad)
# <math>A \subset A</math>, donde hemos aplicado la '''definición 12.87''' a 1. <math>\blacksquare</math>
'''Proposición 12.2. Definición equivalente de igualdad de conjuntos.''' Una vez definidos los subconjuntos podemos establecer una definición equivalente para la igualdad de conjuntos como <math>A = B</math> solo si <math>A \subset B</math> y <math>B \subset A</math>.
'''Demostración:''' Como la proposición implica una bicondicional (<math>A = B \leftrightarrow A \subset B \and B \subset A</math>), tenemos que demostrar primero en un sentido y después en el otro, es decir, primero demostraremos que
<u>Demostración:</u>
# Como <math>A = B</math>, tenemos debido a la '''proposición 2.1''' que <math>A \subset B</math> y <math>B \subset A</math>
Segunda parte: Hipótesis: <math>A \subset B \and B \subset A</math>. Por demostrar: <math>A = B</math>
<u>Demostración:</u>
# Como <math>A \subset B</math> (por hipótesis), tenemos que <math>\forall a \in A \rightarrow a \in B</math> (debido a la '''definición 72.5''').
# De igual forma, como <math>B \subset A</math>, entonces <math>\forall a \in B \rightarrow a \in A</math>.
# Por lo tanto, de 1. y 2. debido a la '''definición 2.5.''' vemos que <math>A = B</math>. <math>\blacksquare</math>
'''Proposición 12.3.''' Si <math>A \subset B</math> y <math>B \subset C</math> entonces <math>A \subset C</math>.
=== Operaciones con conjutos. ===
'''Definición 12.109. Unión de conjuntos.''' La unión de dos conjuntos <math>A</math> y <math>B</math>, denotada como <math>A \cup B</math> es el conjunto compuesto de todos los elementos que pertenecen a <math>A</math> ó a <math>B</math>, es decir:
<math>A \cup B = \{ x : x \in A \ \or \ x \in B \}</math>.
'''Definición 12.1110. Intersección de conjuntos.''' La intersección de dos conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> es el conjunto de todos los elementos que pertenecen simultaneamente a <math>A</math> y a <math>B</math>:
<math>A \cap B = \{ x : x \in A \ \and \ x \in B \}</math>.
'''Definición 12.1211. Conjuntos disjuntos.''' Se dice que dos conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> son disjuntos si no poseen elementos en común, i.e. <math>A \cap B = \phi</math>.
'''Definición 12.1312. Diferencia de conjuntos.''' La diferencia de <math>A</math> y <math>B</math>, representada como <math>A \setminus B</math>, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a <math>A</math> y no pertenencen a <math>B</math>:
<math>A \setminus B = \{ x : x \in A \and x \not \in B \}</math>.
'''Definición 12.1413. Complemento de un conjunto.''' El complemento de un conjuto <math>A</math>, representado como <math>A^c</math>, es el conjuto conformado por todos los elementos que no pertenecen a <math>A</math>, respecto al conjunto universal:
<math>A^c = \{ x : x \not \in A \} = U \setminus A</math>.
|}
'''Demostración de las leyes conmutativas.'''
# De la '''definición 12.109''' y la ley lógica conmutativa de la disyunción, tenemos que <math>A \cup B = \{ x : x \in A \ \or \ x \in B \} = \{ x : x \in B \ \or \ x \in A \} = B \cup A</math>.
# De la '''definición 12.1110''' y la ley lógica conmutativa de la conjunción, tenemos que <math>A \cap B = \{ x : x \in A \ \and \ x \in B \} = \{ x : x \in B \ \and \ x \in A \} = B \cap A</math>.<math>\blacksquare</math>
'''Definición 12.1514. Conjuntos producto.''' Dados dos conjuntos ''A'' y ''B'', el '''conjunto producto''' ó '''producto cartesiano''' de ''A'' y ''B'', denotado como <math>A \times B</math>, se define como el conjunto de todos los pares ordenados de elementos de ''A'' y ''B'' respectivamente, es decir:
<math>A \times B = \{ (a, b) : a \in A, b \in B \}</math>,
donde el orden de los elementos del par sí importa, i.e. en general <math>(a,b) \not = (b,a)</math>.
'''Ejemplo 12.76. El plano cartesiano.''' Cuando <math>A = B = \mathbb{R}</math> los pares ordenados <math>(a,b)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R}</math> se representan gráficamente como puntos o coordenadas en el plano cartesiano (ver Figura 1).
'''Definición 12.1615. Conjuntos producto generalizados.''' El concepto de conjunto producto puede generalizarse de manera natural para cualquier número finito de conjuntos. El conjunto producto de los conjuntos <math>A_1, A_2 \ldots , A_n</math>, representado como <math>A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n</math>, es el conjuto de todas las '''n-adas''' ó '''n-uplas''' de elementos de cada conjunto respectivo, i.e.
<math>A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n = (a_1, a_2, \ldots , a_n) : a_i \in A_i \ \forall i = 1, \ldots , n</math>.
=== Funciones ===
'''Definición 12.1716. Función.''' Una '''función''' ó '''aplicación''' es una relación o regla entre dos conjuntos ''A'' y ''B'' que asocia a cada elemento del conjuto ''A'' un "<u>único</u>" elemento del conjuto ''B, y se denota por''
<math>f : A \rightarrow B</math>, Si a <math>a \in A</math> le corresponde el elemento <math>b \in B</math>, entonces podemos expresar dicha correspondencia como <math>b = f(a),</math> donde <math>f(a)</math> es la evaluación de <math>f</math> en <math>a</math>, por lo que otra forma de denotar a <math>f</math> es <math>a \mapsto f(a).</math>
'''Nota: 2.3.''' De la definición '''12.1716''' vemos que no es posible que existan dos elementos <math>b, c \in B</math> (<math>b \neq c</math>) tales que <math>f(a) = b</math> y <math>f(a) = c</math>, <math>\forall a \in A</math>. Por el contrario, sí es posible (está permitido) que para dos elementos <math>a, b \in A</math> exista un mismo elemento <math>c \in B</math> de tal manera que <math>f(a) = c</math> y <math>f(b) = c</math> (ver Figura 2).
'''Definición 12.1817. Dominio y codominio.''' Sea <math>f : A \rightarrow B</math> una función, al conjunto ''A'' se le llama dominio de ''f'' y al conjuto ''B'' se le llama codominio de ''f''. Si <math>b = f(a),</math> se dice que <math>b</math> es el valor de <math>f</math> en <math>a</math> ó que <math>b</math> es la imagen de <math>a</math> por <math>f</math>.
'''Definición 12.1918. Imagen o rango.''' La imagen o rango de <math>f: A \rightarrow B</math>, definido como <math>f[A] = \{ f(a) : a \in A \},</math>es el conjunto de todas las imágenes de elementos de <math>A</math>.
'''Nota: 2.4.''' Debe observarse que algunos elementos de <math>B</math> pudieran no pertenecer a <math>f[A]</math>, i.e. <math>f[A] \subset B</math> (ver Figura 2).
'''Definición 12.2019. Gráfica de f:''' De las definiciones '''12.1716''' y '''12.1817''' concluimos que una función <math>f</math> se puede poner en correspondencia con un subconjunto del conjunto de todos los pares ordenados de su dominio ''A'' y de su codominio ''B'': <math>( f : A \rightarrow B ) \leftrightarrow \{ (a, f(a)) : a \in A \},</math> es decir, <math>f</math> queda perfectamente determinada por un único subconjunto de <math>A \times B</math>. Al conjunto <math>\{ (a, f(a)) : a \in A \}</math>se le llama '''gráfica de f'''.
'''Ejemplo 12.87. Función cuadrática.''' La función <math>f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ x \mapsto f(x) = x^2</math>que asigna a cada número real su cuadrado, es decir, <math>y = f(x) = x^2,</math> tiene como dominio y codominio a <math>\mathbb{R}</math>, sin embargo posee como imagen o rango a los reales positivos mas el cero, es decir: <math>\mathbb{R}^+ \cup \{0\}</math>. Además se ´presenta a continuación una tabla donde se evalúa a <math>f</math> en algunos valores y se muestra su gráfica (ver Figura 3).
{| class="wikitable"
!<math>x</math>
|'''6.25'''
|}
'''Definición 12.2120. Igualdad de funciones.''' Dos funciones <math>f,g:A \rightarrow B</math> son iguales, lo que se expresa como <math>f = g</math>, si <math>f(a) = g(a), \forall a \in A;</math>en caso contrario se dice que <math>f</math> y <math>g</math> son distintas, es decir si <math>\exist a \in A \ t.q. \ f(a) \neq f(b),</math>lo cual se representa como <math>f \neq g</math> (ver figura 4).
'''Definición 12.2221. Función constante.''' Una función <math>f: A\rightarrow B</math> es constante si para algún <math>b_0</math> fijo, <math>b_0 \in B</math>, se tiene que<math>f(a) = b_0, \forall a \in A.</math>
'''Ejemplo 12.98. Función constante.''' La función de variable real <math>f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},</math> definida como <math>x \mapsto f(x) = 1,</math>es una función constante (ver Figura 5).
'''Definición 12.2322. Función composición.''' Dadas dos funciones <math>f: A \rightarrow B,\ g: B \rightarrow C, </math> una función <math>h : A \rightarrow C</math> se llamará función composición de <math>f</math> y <math>g</math> (en ese orden), lo cual se denota como <math>g \circ f</math>, si <math>\forall a \in A, h(a) = (g \circ f)(a) := g(f(a))</math>(ver Figura 6).
'''Definición 12.2423. Restricción y prolongación de''' <math>f</math>. Sean <math>f: A \rightarrow B</math> y <math>C \subset A</math>. La restricción de <math>f</math> a <math>C,</math> simbolizada como <math>f|_C</math>, es la función definida como <math>f|_C : (C \subset A) \rightarrow B,</math> i.e. el dominio de <math>f|_C</math> queda restringido al subconjunto <math>C</math> de <math>A.</math> De igual forma, dada una función <math>g: C \rightarrow B</math> y definimos alguna <math>f : A \rightarrow B</math>, con <math>A \supset C</math>, tal que <math>f|_C = g,</math> entonces se dice que <math>f</math> es una prolongación de <math>g.</math>
'''Nota: 2.5.''' Dada la función composición <math>h = g \circ f,</math> con <math>f : A \rightarrow B</math> y <math>g : B \rightarrow C,</math> en general el dominio de <math>g</math> se restringe a un subconjunto <math>D \subset B</math> dado por la imagen de <math>f;</math> es decir <math>f[A] = D \subset B</math> será el dominio restringido de <math>g</math> (ver FuguraFigura 6).[[File:Plano Cartesiano3.jpg|thumb|Figura 1. Plano Cartesiano]]
'''Definición 2.24. Función inyectiva.''' Una función <math>f : A \rightarrow B</math> es inyectiva si a elementos distintos del dominio les corresponden imágenes distintas i.e. <math>f(a) = f(b)</math> implica que <math>a = b</math>. También se dice que es una función 1-1 (uo a uno) (ver Figura 7).
'''Definición 2.25. Función sobreyectiva.''' Una función <math>f : A \rightarrow B</math> es sobreyectiva si para todo elemento <math>b</math> del codominio existe un elemento <math>a</math> del dominio cuya imagen es <math>b</math>, es decir, si <math>\forall b \in B \ \exist a \in A \ t.q. f(a) = b</math> (ver Figura 8)
'''Definición 2.26. Función biyectiva.''' Una función <math>f : A \rightarrow B</math> es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva, lo que significa que a todo elemento del dominio le corresponde un único elemento del codominio y viceversa, o lo que es lo mismo, <math>f</math> define una relación biunívoca entre <math>A</math> y <math>B</math> (ver Figura 9).
'''Definición 2.27. Función inversa.''' Sea <math>f : A \rightarrow B</math> una función biyectiva, y sea <math>g : B \rightarrow A</math> otra función biyectiva, tal que <math>\forall b \in B, \ g(b) = a \in A \ t.q. f(a) = b,</math>entonces <math>g</math> se define como la función inversa de <math>f</math> y se denota por <math>g := f^{-1}</math> (ver figura 10).
'''Definición 2.28. Función idéntica.''' Dada una función <math>f : A \rightarrow A</math>, tal que la imagen de un elemento es él mismo, i.e. <math>\forall a \in A \ f(a) = a</math>, dicha función se llama función identidad o función idéntica y se denota como <math>f := 1_A .</math>
'''Proposición 2.5.''' Dadas <math>f : A \rightarrow B</math> y <math>f^{-1} : B \rightarrow A,</math>entonces <math>f^{-1} \circ f = 1_A</math> y <math>f \circ f^{-1} = 1_B</math> (ver Figura 11).
'''Proposición 2.6.''' Sean <math>f : A \rightarrow B, \ 1_A : A \rightarrow A</math> y <math>1_B : B \rightarrow B,</math>entonces se cumple que <math>f \circ 1_A = f</math> y <math>1_B \circ f = f</math>.
'''Definición. Conjuntos coordinables.''' Se dice que dos conjuntos son coordinables si existe una función biyectiva o relación biunívoca entre ellos, es decir, que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto y viceversa.
'''Definición . Cardinalidad de conjuntos.''' La cardinalidad de un conjunto <math>A </math> es la cantidad de elementos que contiene dicho conjunto, y se simboliza como #<math>A </math>. Si <math>A </math> es finito y posee <math>n </math> elementos (con <math>n \in \mathbb{N}_0 </math>), entonces #<math>A=n </math>, y si <math>A </math> posee infinitos elementos entonces se dice que #<math>A </math> es infinita.
▲# El conjunto de animales de Villa Fantasía del ejemplo '''1.1''' es finito y consta <math>5 </math> animales: #<math>A = 5 </math>.
▲# El conjunto de todos los leones de Villa Fantasía (<math>L </math>) es vacío, ya que en Villa Fantasía no tiene leones: <math>L = \{ \} \equiv \phi \rightarrow </math>#<math>L = 0 </math>.
▲# La cardinalidad del conjunto de los números naturales es infinita: #<math>\mathbb{N} </math> es infinita.
[[File:Plano Cartesiano3.jpg|thumb|Figura 1. Plano Cartesiano]]
== Capítulo 2. Construcción de los conjuntos de números y sus propiedades. ==
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