Diferencia entre revisiones de «Precálculo/Introducción»
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Conjuntos producto generalizados y funciones |
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# De la '''definición 1.10''' y la ley lógica conmutativa de la disyunción, tenemos que <math>A \cup B = \{ x : x \in A \ \or \ x \in B \} = \{ x : x \in B \ \or \ x \in A \} = B \cup A</math>.
# De la '''definición 1.11''' y la ley lógica conmutativa de la conjunción, tenemos que <math>A \cap B = \{ x : x \in A \ \and \ x \in B \} = \{ x : x \in B \ \and \ x \in A \} = B \cap A</math>.<math>\blacksquare</math>
'''Definición 1.15. Conjuntos producto.''' Dados dos conjuntos ''A'' y ''B'', el '''conjunto producto''' ó '''producto cartesiano''' de ''A'' y ''B'', denotado como <math>A \times B</math>, se
<math>A \times B = \{ (a, b) : a \in A, b \in B \}</math>,
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'''Ejemplo 1.7. El plano cartesiano.''' Cuando <math>A = B = \mathbb{R}</math> los pares ordenados <math>(a,b)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R}</math> se representan gráficamente como puntos o coordenadas en el plano cartesiano (ver Figura 1).
'''Definición 1.16. Conjuntos producto generalizados.''' El concepto de conjunto producto puede generalizarse de manera natural para cualquier número finito de conjuntos. El conjunto producto de los conjuntos <math>A_1, \ldots , A_n</math>, representado como <math>A_1 \times \ldots \times A_n</math>, es el conjuto de todas las '''n-adas''' ó '''n-uplas''' de elementos de cada conjunto respectivo, i.e.
<math>A_1 \times A_n = (a_1, a_2, \ldots , a_n) : a_i \in A_i \ \forall i = 1, \ldots , n</math>.
=== Funciones ===
'''Definición 1.17. Función.''' Una '''función''' ó '''aplicación''' es una relación o regla entre dos conjuntos ''A'' y ''B'' que asocia a cada elemento del conjuto ''A'' un "<u>único</u>" elemento del conjuto ''B, y se denota por''
<math>f : A \rightarrow B</math>.
'''Definición 1.18. Dominio y codominio.''' Sea <math>f : A \rightarrow B</math> una función, al conjunto ''A'' se le llama dominio de ''f'' y al conjuto ''B'' se le llama codominio de ''f''. Si a <math>a \in A</math> le corresponde el elemento <math>b \in B</math>, entonces podemos expresar dicha correspondencia como <math>b = f(a)</math>.
'''Nota:''' De las definiciones '''1.17''' y '''1.18''' concluimos que una función se puede poner en correspondencia con un subconjunto del conjunto de todos los pares ordenados de ''A'' y ''B'': <math>\{ f : A \rightarrow B \} \leftrightarrow \{ (a, f(a)) : a \in A \}</math> (ver Figura 2).
'''Nota:''' De la definición '''1.17''' vemos que no es posible que existan dos elementos <math>b, c \in B</math> (<math>b \neq c</math>) tales que <math>f(a) = b</math> y <math>f(a) = c</math>, <math>\forall a \in A</math> (ver Figura 3). Por el contrario, sí es posible (está permitido) que para dos elementos <math>a, b \in A</math> exista un mismo elemento <math>c \in B</math> de tal manera que <math>f(a) = c</math> y <math>f(b) = c</math> (ver Figura 3).[[File:Plano Cartesiano3.jpg|thumb|Figura 1. Plano Cartesiano]]
== Capítulo 2. Construcción de los conjuntos de números y sus propiedades. ==
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