Diferencia entre revisiones de «Definición Informal de los Sistemas Axiomáticos»
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Un [[sistema axiomático]] <ref>Lógica Simbólica. Irving M. Copi. Cecsa. México. 2002.</ref> <ref>Teoría de Conjuntos. Gustavo Villalobos Hernández. Elena Gósteva. amate editorial. Guadalajara, México. 2000</ref>es la construcción rigurosa (lógicamente hablando) de una [[teoría deductiva]]. Podemos decir de manera informal que un sistema axiomático consta, a groso modo, de:
# '''Conceptos no definidos:''' En matemáticas como en cualquier quehacer intelectual, hay conceptos que necesitan definirse con precisión, pero para ello se requieren de otros conceptos más generales que los incluyan, los cuales a su vez se necesitan definir mediante otros conceptos más generales y así sucesivamente. Por ello, como no podemos continuar con ese proceso infinitamente, hay algunos conceptos base de los que partimos y que aunque no los definamos con rigor, podemos entender intuitivamente de una manera clara a lo que se refieren. Por ejemplo, tenemos los conceptos de conjunto y elemento, en la teoría de conjuntos, o los conceptos de punto y recta en geometría euclidiana.
# '''Proposiciones no demostradas:''' Son los axiomas, o enunciados cuya afirmación es evidente u obvia, y por ende no necesitan ser demostrados. Por ejemplo, en geometría euclidiana, en la teoría axiomática de Hilbert tenemos el siguiente axioma: "Para cada punto <math>P</math> y cada punto <math>Q</math> distinto de <math>P</math>, existe una única recta <math>l</math> en la cual inciden <math>P</math> y <math>Q</math>". Y en teoría axiomática de conjuntos, en el sistema axiomático de Zermelo-Fraenkel tenemos el axioma de extensión
# '''Reglas lógicas de inferencia:''' Son las reglas lógicas que podemos aplicar sobre la base de conceptos no definidos y proposiciones no demostradas para de esa forma deducir nuevas proposiciones, los teoremas, los cuales a su vez podemos usar para deducir nuevos teoremas, y así sucesivamente, construyendo de esa forma el edificio de nuestro sistema axiomático. Por ejemplo, podemos razonar que: “si dos cosas ''A'' y ''B'' son iguales a una tercera cosa ''C'', entonces serán iguales entre sí”, y luego aplicar dicho principio lógico de transitividad a nuestras demostraciones. Otro principio sumamente importante, llamado el principio de identidad [https://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_identidad](el cual es el principio fundamental de la lógica y la filosofía), nos dice que toda entidea es idéntica a sí misma: “es cierto que el objeto ''a'' es el objeto ''a”.''
# '''Proposiciones demostradas:''' Como se mencionó en el párrafo anterior, son los teoremas, es decir, proposiciones ya no evidentes como lo son los axiomas, y que por lo tanto deben ser demostradas a partir de los conceptos no definidos, las proposiciones no demostradas y otros teoremas previamente demostrados. Dichas demostraciones se realizan a partir de las reglas lógicas de inferencia, que por lo regular son leyes lógicas: principios formales del pensamiento racional deductivo. Ejemplo de proposición que puede y debe ser demostrada es la afirmación: Si ''A'' es subconjunto de ''B'' y ''B'' es subconjunto de ''C'', entonces ''A'' es subconjunto de ''C''. Otro ejemplo es la afirmación: “Si el conjunto A posee la misma cardinalidad (es del mismo tamaño) que el conjunto B y el conjunto B posee la misma cardinalidad que el conjunto C, entonces los conjuntos A y C también poseen la misma cardinalidad”. La aseveración anterior se demuestra usando la primera regla lógica de transitividad expuesta en en punto tres de esta lista.
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