Diferencia entre revisiones de «Cursos/Bachillerato Secundaria/3º año op. Núcleo Común»

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=== Puntos Interiores, Vecindad, Conjunto Abierto ===
 
Sea (E,d) un espacio métrico, A un subconjunto de E y p un punto de E.
 
{{DefRht|Punto Interior, Vecindad, Conjunto Abierto|
 
<ol>
<li> Decimos que p es un <b>punto interior</b> de A, ssi, hay un r>0 tal que B_r(a) está totalmente contenida en A.
<li> Decimos que A es una <b>vecindad</> de p, c p es un punto interior de A.
<li> Decimos que un conjunto es un (conjunto) <b>abierto</b>, ssi, es vecidad de cada uno de sus puntos.
<li> Llamamos <b>interior</b> de un conjunto A al conjunto formado por todos los puntos interiores de A y lo denotamos por A<sup>o</sup>.
</ol>}}
 
Notemos que en un conjunto abierto cada uno de sus puntos es interior al conjunto.
 
{{Ejmpl|Ejemplos}<br />
 
<ol>
<li> Una bola abierta con centro a es una vecindad de a.
 
<li> (Métrica Euclidea) Cualquie punto del primer cuadrante, I ={(x,y} : x>0, y>0}, es interior al conjunto; por lo que dicho conjunto es abierto.
 
En efecto, sea (a,b) cualquier punto de I y sea r el valor mínimo entre a y b. Afirmamos que B= B_r(a,b) está totalmente contenido en I. En efecto, sea (x,y) un punto de I y supongamos que b es menor o igual que a. Se tiene que
<center>|x-a|, |y-b| < d((x,y),(a,b)) = r.
</center>
Como |x-a| <r implica que a-r < x < a-r, tenemos que <math>a \le a-b < x</math>. Lo que implica que x>0. Análogamente, tenemos que 0 = b-b<y<b+b, lo que prueba que y>0. Por lo tanto, cualquier punto de B es un punto del primer cuadrante. Lo que prueba que dicho cuadrante es un conjunto abierto.
{{QED}}
</ol>
 
Notemos que un conjunto es abierto cuando todos sus puntos son interiores. Un conjunto abierto es igual a su interior <i>A = A <sup>o</sup>.
 
<b>Proposición 1.</b> <i>
Bolas Abiertas son conjuntos abiertos.
</i>
 
<i>Proof. </i> Sea B la bola abierta con centro a y radio r y sea x un punto cualquiera de B. Sea ρ = r - d(x,a) y sea B'=B_ρ(x). Entonces, para todo z en B' tenemos que
{{eqn|<math>d(z,a) \le d(z,x) + d(x,a) < r-\rho + \rho = r.</math>}}
Lo que prueba que B' está contenida en B; por lo que B es abierto.
{{QED}}
<hr>
 
Sigue de lo anterior que los intervalos abiertos de la línea real, que siempre son bolas abiertas (ver los ejercicios), son conjuntos abiertos.
<br />
 
* ¿Cuándo un conjunto A no es abierto?
: Cuando hay al menos un punto tal que todas las bolas abiertas con centro en ese punto conienen al menos un punto que no está en A.
: Sigue de la observación anterior que cuando no hay tal punto, el conjunto es abierto. Un conjunto, en particular que no tiene ese tipo de puntos es el conjunto vacío, es decir que <b>el conjunto vacío es un conjunto abierto.</b>Notemos que un conjunto es abierto cuando todos sus puntos son interiores. Un conjunto abierto es igual a su interior <i>A = A <sup>o</sup>.
 
<b>Proposición 1.</b> <i>
Bolas Abiertas son conjuntos abiertos.
</i>
 
<i>Proof. </i> Sea B la bola abierta con centro a y radio r y sea x un punto cualquiera de B. Sea ρ = r - d(x,a) y sea B'=B_ρ(x). Entonces, para todo z en B' tenemos que
{{eqn|<math>d(z,a) \le d(z,x) + d(x,a) < r-\rho + \rho = r.</math>}}
Lo que prueba que B' está contenida en B; por lo que B es abierto.
{{QED}}
<hr>
 
Sigue de lo anterior que los intervalos abiertos de la línea real, que siempre son bolas abiertas (ver los ejercicios), son conjuntos abiertos.
<br />
 
* ¿Cuándo un conjunto A no es abierto?
: Cuando hay al menos un punto tal que todas las bolas abiertas con centro en ese punto conienen al menos un punto que no está en A.
: Sigue de la observación anterior que cuando no hay tal punto, el conjunto es abierto. Un conjunto, en particular que no tiene ese tipo de puntos es el conjunto vacío, es decir que <b>el conjunto vacío es un conjunto abierto.</b>
 
=== Propiedades de Vecindades y Conjuntos Abiertos ===
 
<b>Proposición 1.</b><i>
Sea (E,d) un espacio métrico y sea a un punto de E. Entonces,
<ol>
<li> El espacio E es una vecindad de a.
<li> La intersección de dos vecindades de a es una vecindad de a.
<li> La reunión de una familia cualquiera de vecindades de a es una vecindad de a.
<li> El espacio E es una vecindad de a.
</ol>
<i>Proof.</i>
<ol>
<li> Trivial.
<li> Sean V, V' vecindades de a y sea <math>W = V \cap V'</math>. Entoncea, a es un punto de W. Por definición de vecindades hay reales r y r' tales que
{{eqn|
<math>B_r(a) \subset V\ </math> y <math> B_{r'} \subset V'.</math>}}
Entonces, si ρ es un número menor o igual que r y r ' (por ejemplo el valor mínimo entre ellos. Entonces, B_ρ(a) está contenido en la intersección tanto en B_r(a) como en B_{r'}(a), lo que prueba que está conftenido tanto en V como en V'; o sea que está contenido en W; por lo que W es una vecidad de a.}}
<li> Sea (V_i), i en I, una familia de vecindades del punto A. Si B es una bola abierta con centro en a contenido en algún conjunto de la familia, dicha cola estará contenida en la reunión de todos los conjuntos de la familia, lo que prueba que esa reunión es una vecindad de a.
{{QED}}
</ol>