Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Clasificación de Grupos»
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== La Cardinalidad del Producto de dos Subgrupos ==
Antes de continuar nuestros estudios de clasificación, probaremos un resultado acerca de la cardinalidad del conjunto producto de dos subgrupos, que nos ayudará en clasificaciones futuras.
Recordemos que el conjunto producto de dos subgrupos no necesariamente determina un subgrupo. Sean <math>H</math> y <math>K</math> subgrupos de <math>G</math>, ¿cuántos elementos tiene <math>HK</math> ? Suponiendo <math>|H|=m</math> y <math>|K|=n</math>. tendremos que todos los productos que podemos tomar con primer factor en <math>H</math> y segundo en
<math>K</math> serán <math>mn</math>. Sin embargo, algunos de esos productos podrían ser iguales entre si. Es decir que podemos afirmar que:▼
<center><math>|HK| \le |H||K| = mn.</math></center> ¿Cuándo dos de esos productos son iguales? Si <math>h_1k_1=h_2k_2</math> se tiene que <math>h_2^{-1}h_1=k_2k_1^{-1}</math>. Llamando <math>x</math> a este elemento, tendremos por su representación de la izquierda que <math>x</math> está en <math>H</math>. mientras que su representación de la derecha nos dice que <math>x</math> está en <math>K</math>. Por lo que <math>x</math> está en <math>H \cap K</math>. Esto nos indica que debemos velar por los productos de elementos que provienen de la intersección de los dos subgrupos.
▲productos podrían ser iguales entre si. Es decir que podemos afirmar que:
<center><math>|HK| \le |H||K| = mn.</math></center> ¿Cuándo dos de esos▼
En efecto, supongamos que <math>g = hk</math> es un elemento cualquiera de <math>HK</math> y sea <math>x</math> un elemento de <math>H \cap K</math>. Entonces, <center><math>g = hk = (hx)(x^{-1}k) =h_1k_1.</math></center> Lo que prueba que para cada <math>x</math> en <math>H \cap K</math>. podemos escribir <math>g</math> de una manera distinta como producto de un elemento de <math>H</math> por <math>K</math>. Es decir que en los productos <math>hk</math>. cada elemento aparecerá repetido al menos <math>|H \cap K|</math> veces. El argumento del párrafo anterior muestra que las repeticiones ocurren exactamente cuando el elemento proviene de dicha intersección; por lo que la cantidad de repeticiones es exactamente <math>|H \cap K|</math>. Por lo que tenemos la siguiente proposición.
<b>Proposición 1 (Cardinalidad de un Conjunto Producto de Subgrupos) </b><i><br />▼
▲<b>Proposición 1 (Cardinalidad de un Conjunto Producto de Subgrupos) </b><i>
Sean <math>H</math> y <math>K</math> subgrupos de <math>G</math>.
▲Entonces, <center><math>{\quad |HK| =\
== Clasificación de los grupos de orden 6 ==
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