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[[Archivo:4 es mayor que 2.png]]
=== Orden de los números naturales === ▼Una propiedad muy importante que cumplen los números naturales, es que están totalmente ordenados.
Dados dos números a y b, necesariamente tiene que verificarse una y sólo una de estas tres posibilidades:
* <math>a = b</math> (a es igual a b)
* <math>a < b</math> (a es menor que b)
* <math> a > b </math> (a es mayor que b)
donde <math>a < b</math> implica que existe un número natural <math> m </math> tal que <math>a+m=b</math>.
La definición es análoga para <math> a > b </math>, existe un número natural <math> m </math> tal que <math>a=b+m</math>
Con respecto a la propiedad de orden, también existen los símbolos ≤ y ≥, que se definen como sigue:
* <math>a\leq b</math> siempre que <math> a < b </math> o bien <math> a=b </math>
* <math>a \geq b</math> siempre que <math> a > b </math> o bien <math> a=b </math>
'''Ejemplos'''
# <math>2<3</math>, pues existe el número natural <math> 1 </math> tal que <math>2+1=3</math>
# <math>7>3</math>, pues existe el número natural <math>4 </math> tal que <math>7=3+4</math>
# <math>10\leq 10</math>, pues <math>10=10</math>
# <math> 21\geq 15 </math>, pues <math>21>15</math> al existir el número natural <math>6</math> tal que <math>21=15+6</math>
'''Ejercicio 1''': De la misma manera que en los ejemplos anteriores, muestre que:
# <math>5<8</math>
# <math>11>8</math>
# <math>5\leq 10</math>
# <math> 21\geq 7</math>
'''Ejercicio 2''': En la siguiente tabla determine con los simbolos " <math> < </math> " ó " <math> > </math> " si los números son mayor que ó menor que:
{| align="center" border="1"
|-
! style="background:#ffdead;" | Número !! style="background:#ffdead;" | Simbolo !! style="background:#ffdead;" | Número
|-
| style="text-align:center" | 6 || style="text-align:center" | .....|| style="text-align:center" | 12
|-
| style="text-align:center" | 13 || style="text-align:center" | ..... || style="text-align:center" | 12
|-
| style="text-align:center" | 23 || style="text-align:center" | ..... || style="text-align:center" | 27
|-
| style="text-align:center" | 99 || style="text-align:center" | ..... || style="text-align:center" | 110
|-
| style="text-align:center" | 112 || style="text-align:center" | ..... || style="text-align:center" | 98
|}
'''Antecesor y sucesor'''
Todo número natural, a excepción del 1, lo antecede siempre un número natural más pequeño, al que denominaremos antecesor.
'''Ejemplo:'''
8 es el antecesor de 9.
[[Archivo:Antecesor.png|Número Antecesor]]
Además, dado cualquier número natural, le sigue siempre otro número natural más grande, al cual denominaremos sucesor. Como consecuencia de esto, el conjunto de los números naturales es infinito.
'''Ejemplo: '''
4 es el sucesor de 3.
[[Archivo:Sucesor.png|Número Sucesor]]
<br />
'''Ejercicio'''
No hay acuerdo total acerca de incluir al número 0 (cero) en el conjuntos de los números naturales pues hay buenas razones para incluirlo y para no incluirlo; usualmente textos escolares definen a los naturales como {0,1,2,...} y los textos universitarios suelen definir a los naturales como {1,2,...}.Así que nosotros denotaremos los números naturales por
:<center><math>
\mathbb{N} =
\{ 1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 5,\; ... \; \}
</math></center>
y cuando el cero este incluido lo denotaremos por
:<center><math>
\mathbb{N}_{0} =
\{ 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 5,\; ... \; \}
</math></center>
Este conjunto de los Números Naturales se caracteriza porque:
* Tiene un número infinito de elementos
* Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor
El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno
(-1).
▲===* [[Números y Operaciones/Orden|Orden de los números naturales ===]]
* [[Números y Operaciones/Propiedades|Propiedades básicas de los números naturales]]
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