Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 033»
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:'''Mathematik'''
:---
:'''Brüche'''
M112
:<sup>1</sup>''/''<sub>3</sub> = 0,<span style="text-decoration:overline;">3</span> = 0,33333…
M113
:Unter „gleichnamigen Brüchen“ versteht man Brüche mit gleichem Nenner.
:Zur Addition oder Subtraktion zweier Brüche, die nicht gleichnamig sind, sich also im Nenner unterscheiden, muss man sie gleichnamig machen.
:---
:Beispiel:
:Wie berechnet man die folgende Addition?
:<math>\frac{1}{3}+\frac{1}{5}</math>
:Hier sollen ein dritter Teil und ein fünfter Teil addiert werden. Das läßt sich nicht unmittelbar feststellen, weil die Brüche nicht direkt vergleichbar sind. Damit man sie vergleichen kann, muss man sie auf den gleichen Nenner bringen, also gleichnamig machen. Dazu benötigt man den Hauptnenner der beiden Brüche, also das kleinste gemeinschaftliche Vielfache (kgV) der Einzelnenner – im Beispiel 15. Wenn man die Brüche auf Fünfzehntel bringt, kann man sie direkt vergleichen:
:<math>\begin{align}
\frac{1}{3} &= \frac{5}{15} \\
\frac{1}{5} &= \frac{3}{15} \\
\end{align}</math>
:Insgesamt erhält man also <math>5+3=8</math> Fünfzehntel:
:<math>\frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8}{15}</math>
M114
:Im Beispiel
:<math>\frac{1}{3}+\frac{1}{5}</math>
:bestanden die Nenner aus zwei (verschiedenen) Primzahlen; in diesem Fall ist der Hauptnenner immer das Produkt der beiden Primzahlen.
:---
:In allen anderen Fällen werden Brüche gleichnamig gemacht, indem wie folgt vorgegangen wird:
:* Zerlege die Nenner in die Primfaktoren (einschließlich der Vielfachen).
:* Bestimme den Hauptnenner, indem alle vorkommenden Faktoren übernommen werden.
:* Erweitere die einzelnen Brüche auf diesen Hauptnenner.
:Beispiel:
:<math>\frac{15}{42} + \frac{8}{45}</math>
:Zerlegung der Nenner:
:<math>42 = 2 \cdot 3 \cdot 7</math>
:<math>45 = 3^2 \cdot 5</math>
:Der Hauptnenner muss die Faktoren 2, 3, 5, 7 enthalten und wegen der Potenz die 3 doppelt:
:<math>2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 630</math>
:Für die Erweiterung der Brüche sind alle Faktoren zu berücksichtigen, die im Hauptnenner enthalten sind und im einzelnen Bruch fehlen:
:<math>\begin{align}
630 &= 42 \cdot 3 \cdot 5 \\
630 &= 45 \cdot 2 \cdot 7
\end{align}</math>
:Beim Nenner 42 fehlen der Faktor 5 und die zweite Potenz von 3; beim Nenner 45 fehlen die Faktoren 2 und 7.
:Damit kann die Addition ausgeführt werden:
:<math>\frac{15}{42} + \frac{8}{45} = \frac{15 \cdot 15}{42 \cdot 15} + \frac{8 \cdot 14}{45 \cdot 14} = \frac{225}{630} + \frac{112}{630} = \frac{225 + 112}{630} = \frac{337}{630}</math>
:Weil der Hauptnenner das ''kleinste'' gemeinsame Vielfache der Einzelnenner ist, kann das Ergebnis nicht mehr gekürzt werden.
M115
:Bruchrechnen - mit gleichnamigen Brüchen
:Addition von gleichnamigen Brüchen
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:Wenn man gleichnamigen Brüche, z. B. <math>\tfrac{6}{15}</math> und <math>\tfrac{3}{15}</math> addieren will, braucht man nur die Zähler zu addieren, denn es gibt 6 fünfzehnter Teile, wobei noch 3 solche Teile hinzugefügt werden. Insgesamt 3+6=9 fünfzehnter Teile.
:Rechnung: <math>\tfrac{6}{15} + \tfrac{3}{15} = \tfrac{6+3}{15} = \tfrac{9}{15}</math>
:---
:Subtraktion von gleichnamigen Brüchen
:Bei der Subtraktion von gleichnamigen Brüchen geht man ähnlich vor wie bei der Addition.
:Hier sind auch die Nenner gleich und können beibehalten werden, lediglich die Zähler werden subtrahiert.
:Rechung: <math>\tfrac{12}{17}-\tfrac{5}{17}=\tfrac{12-5}{17}=\tfrac{7}{17}.</math>
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:Multiplikation von gleichnamigen Brüchen
:Die Multiplikation von (gleichnamigen) Brüchen funktioniert, indem man sowohl beide Ausdrücke im Zähler als auch im Nenner beim ersten und jedem weiterem Bruch miteinander malnimmt.
:Rechnung: <math>\tfrac{12}{17} \cdot \tfrac{5}{17}=\tfrac{12\ \cdot\ 5}{17\ \cdot\ 17}=\tfrac{60}{289}</math>
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:Division von gleichnamigen Brüchen
:Die Division von gleichnamigen Brüchen ist die Umkehrung zur Multiplikation, dabei wird der Kehrwert des Zweiten Bruches mit dem orignellen ersten Bruch ausmultipliziert.
:Rechnung: <math>\tfrac{3}{17} : \tfrac{5}{17}= </math>( Kehrwert bilden ) <math>\tfrac{3}{17} \cdot \tfrac{17}{5} =</math> (Auskürzen) <math>\tfrac{3}{5}</math>
:Weil die Brüche gleichnamig sind ist das Ergebnis einfach der Quotient der Zähler.
M116
:Unechte Brüche
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:Unechte Brüche kann man als Summe aus einer natürlichen Zahl und einem echten Bruch schreiben. So dargestellte Brüche bezeichnet man als ''gemischte Zahl''.
:Rechenweg: Die vorgestellte Ganzzahl gibt an, wie oft der Nenner mit dieser multipliziert werden muss, dann wird der zusätzliche Zähler hinzugezählt. Der Nenner selbst wird beibehalten.
:<math> 3 \tfrac{3}{8} = 3+\tfrac{3}{8}=\tfrac{24}{8}+\tfrac{3}{8}=\tfrac{24+3}{8}=\tfrac{27}{8}</math>
:<math> 4 \tfrac{9}{16} = \tfrac{4\cdot16+9}{16}= \tfrac{73}{16}</math>
:Gelegentlich (gerne als Hausaufgabe verwendet) hat man einen unechten Bruch, aus der man Ganze raussuchen muss, um sie als gemischte Zahl darzustellen. Der Einfachheit halber nehmen wir die obigen Beispiele.
:Rechenweg: Man ermittelt, wie oft der Nenner in den Zähler als Ganzzahl passt und übernimmt den verbleibenden Bruch.
:<math> \tfrac{27}{8} = 3 \tfrac{3}{8}</math>, weil <math>27= 3\cdot 8 +3</math>
:<math> \tfrac{73}{16} = 4 \tfrac{9}{16}</math>
:Addition von unechten Brüchen:
:Rechenweg: Addiere separat die Ganze und die Brüche
:<math> 3 \tfrac{3}{8} + 4 \tfrac{9}{16} = (3+4)+(\tfrac{3}{8}+\tfrac{9}{16})=7+(\tfrac{6}{16}+\tfrac{9}{16})=7+\tfrac{15}{16}=7\tfrac{15}{16}</math>
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:Subtraktion von unechten Brüchen:
:Rechenweg: Subtrahiere separat die Ganze und die Brüche
:<math>
4 \tfrac{9}{16} - 3 \tfrac{3}{8}=(4-3)+(\tfrac{9}{16} - \tfrac{3}{8})=1+(\tfrac{9}{16} - \tfrac{6}{16})=1+\tfrac{3}{16}=1\tfrac{3}{16}
</math>
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