Diferencia entre revisiones de «Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 002»
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:Betrachten Sie die Mengen M<sub>3</sub> und M<sub>4</sub>! Ist M<sub>4</sub> eine Teilmenge von M<sub>3</sub>? Nein, M<sub>4</sub> ist keine Teilmenge von M<sub>3</sub>, denn nicht für alle Elemente x aus M<sub>4</sub> gilt, dass x aus M ist. Man schreibt: M<sub>4</sub> ⊈ M<sub>3</sub> und ~∀x ∈ M<sub>4</sub>: x ∈ M<sub>3</sub>.
:Zum Beispiel ist 9 ∈ M<sub>4</sub>, aber 9 ist keine Element aus M<sub>3</sub>. Man schreibt 9 ∉ M<sub>3</sub>.
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:* M<sub>1</sub> = {4; 5; 6}
:* M<sub>2</sub> = {7; 8; 9; 10}
:* M<sub>3</sub> = {4; 5; 6; 7; 8}
:* M<sub>4</sub> = {9; 10}
:* M<sub>5</sub> = {0; 22; 27}
:* M<sub>6</sub> = {7; 8; 9; 10}
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:Gibt es auch unendliche Teilmengen der Menge ℕ?
:Ja, z. B. sind N<sub>g</sub> = {0; 2; 4; 6; ... ; 2n; ... } und N<sub>u</sub> = {1; 3; 5; 7; ...; 2n+1; ... } unendliche Teilmengen der menge ℕ. (Das "g" in N<sub>g</sub> steht für "gerade zahlen" und das "u" in N<sub>u</sub> für "ungerade Zahlen".)
:Die Zahl 2n steht für alle n ∈ ℕ, die eine gerade Zahl sind. (∀n ∈ ℕ: 2n ∈ N<sub>g</sub>). Entsprechend ist 2n + 1 eine ungerade Zahl.
:Die Menge N<sub>g</sub> der geraden Zahlen und die Menge N<sub>u</sub> der ungeraden Zahlen sind unendliche Teilmengen der Menge ℕ.
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:Betrachten Sie die Mengen M<sub>2</sub> und M<sub>6</sub>! Ist M<sub>2</sub> eine Teilmenge der Menge M<sub>6</sub>?
:Ja, denn für alle Elemente x aus M<sub>2</sub> gilt, dass x aus M<sub>6</sub> ist.
:∀n ∈ M<sub>2</sub>: x ∈ M<sub>6</sub>; also M<sub>6</sub> ⊆ M<sub>2</sub>.
:Allgemein gilt:
:<font color="ff00ff">'''MERKE'''</font>: Für jede Menge A gilt, dass A Teilmenge von A ist. ∀A: A ⊆ A
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:Betrachten Sie nun die Mengen M<sub>4</sub> und M<sub>2</sub>!
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:* M<sub>1</sub> = {4; 5; 6}
:* M<sub>2</sub> = {7; 8; 9; 10}
:* M<sub>3</sub> = {4; 5; 6; 7; 8}
:* M<sub>4</sub> = {9; 10}
:* M<sub>5</sub> = {0; 22; 27}
:* M<sub>6</sub> = {7; 8; 9; 10}
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:Die Menge M<sub>4</sub> heißt '''echte''' Teilmenge der Menge M<sub>2</sub>.
:Man schreibt: M<sub>4</sub> ⊂ M<sub>2</sub>.
:Man liest: „M<sub>4</sub> ist eine echte Teilmenge von M<sub>2</sub>“.
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:M<sub>4</sub> ⊂ M<sub>2</sub>, weil M<sub>4</sub> ⊆ M<sub>2</sub> ist und weil es das Element 7 aus M<sub>2</sub> gibt, so dass 7 ∉ M<sub>4</sub> ist.
:Allgemein gilt:
:<font color="ff00ff">'''MERKE'''</font>: Wenn A eine Teilmenge von B ist und wenn wenn es mindestens ein Element x aus B gibt, so dass x kein Element aus A ist, ist A eine echte Teilmenge von B.
[[File:Example of A is a proper subset of B.svg|thumb|400 px|A ist eine echte Teilmenge von B]]
[[File:Example of C is no proper subset of B.svg|thumb|400 px|C ist eine unechte Teilmenge von B]]
<br style="clear:both;" />
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:Für den sprachlichen Ausdruck: „Es gibt mindestens ein Element x aus A, so dass ... “ benutzt man das Symbol „∃x ∈: ... “.
:Auérdem benutzt man für „und“ das Symbol „∧“. Deshalb kann man kürzer schreiben:
:(A ⊆ B ∧ ∃x ∈ B: x ∉ A) → A ⊂ B
→
| |||