Diferencia entre revisiones de «Cursos/E M T/2º Construcción - Matemáticas»

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Línea 1:
= Definición =
 
Se define cómo el residuo de una división no exacta donde
 
<math> \frac{a}{b} = c residuo r </math>
 
Donde ''r'' es un número natural y se vuelve el módulo del número,mientras que es el divisor ''b'' y ''a'' el número modulado siempre y cuando sean números enteros:
 
<math> a,b \in \mathbb{Z} </math> y <math> r \in \mathbb{N} </math>
 
Quedando expresado cómo:
 
<math> a \pmod b \equiv r </math>
 
= Historia =
 
En [[matemática]], la '''aritmética modular''' es un sistema aritmético para [[clase de equivalencia|clases de equivalencia]] de [[Número entero|números enteros]] llamadas '''clases de congruencia'''. La aritmética modular fue introducida en [[1801]] por [[Carl Friedrich Gauss]] en su libro ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]''.<ref>{{cita libro| autor = Gauss, Carl Friedrich| capítulo = Cap.1 Numbers congruences in general| título = Disquisitiones Arithmeticae| año = 1965| editorial = Yale University Press| id = ISBN 0-300-09473-6}}. [http://www.cimm.ucr.ac.cr/da/files/sec1art1-12.pdf (Traducción al español)]</ref>
 
Algunas veces se le llama, sugerentemente, ''aritmética del reloj'', ya que los números «dan la vuelta» tras alcanzar cierto valor llamado '''''módulo'''''.<ref name="cripto">{{cita web |url= http://www.matematicaparatodos.com/varios/criptografia.pdf |título=Criptografía |fechaacceso=28 de febrero de 2011 |apellido= López |nombre=Jorge M. |fecha= 28 de febrero de 2011 |formato=PDF |idioma=castellano |cita=p.3}}</ref>
 
= Propiedades principales =
== Clases de equivalencia módulo ''n'' ==
 
La aritmética modular se basa en una [[relación de equivalencia]], y las [[clase de equivalencia|clases de equivalencia]] de un entero ''a'' se denota con [''a'']<sub>''n''</sub> (o simplemente [''a''] si sobreentendemos el módulo.) Otras notaciones son por ejemplo ''a'' + ''n'''''Z''' o ''a'' mod ''n''. El conjunto de todas las clases de equivalencia se denota con '''Z'''/''n'''''Z''' = { [0]<sub>''n''</sub>, [1]<sub>''n''</sub>, [2]<sub>''n''</sub>,..., [''n''-1]<sub>''n''</sub> }.<ref name="upm">{{cita web |url=http://www.dma.fi.upm.es/java/matematicadiscreta/aritmeticamodular/congruencias.html |título=Congruencias |fechaacceso=19 de abril de 2011 |apellido=Carmona Collado |nombre=Luis Miguel |formato=HTML |obra=[http://www.dma.fi.upm.es/java/matematicadiscreta/aritmeticamodular/ Introducción a la aritmética entera y modular] |ubicación=[[Universidad politécnica de Madrid]] |idioma=castellano}}</ref>
 
Esta relación de equivalencia tiene importantes propiedades que se siguen inmediatamente de la definición:<ref name="upm" />
 
Si
: <math>a_1 \equiv b_1 \pmod{n}</math>
y
: <math>a_2 \equiv b_2 \pmod{n}</math>
entonces
: <math>a_1 + a_2 \equiv b_1 + b_2 \pmod{n}</math>
y
: <math>a_1 a_2 \equiv b_1 b_2 \pmod{n}</math>
 
 
Lo que muestra que la suma y la multiplicación son operaciones [[bien definido|bien definidas]] sobre el conjunto de las clases de equivalencia. En otras palabras, la suma y la multiplicación están definidas sobre '''Z'''/''n'''''Z''' mediante las fórmulas siguientes:<ref name="upm" />
 
: <math>[a]_n +[b]_n = [a+b]_n \,\!</math>
: <math>[a]_n \cdot [b]_n = [a \cdot b]_n</math>
 
De este modo, '''Z'''/''n'''''Z''' se convierte en un [[Anillo (matemática)|anillo]] con ''n'' elementos.
Por ejemplo, en el anillo '''Z'''/12'''Z''', se tiene :[8]<sub>12</sub>[3]<sub>12</sub> + [6]<sub>12</sub> = [30]<sub>12</sub> = [6]<sub>12</sub>.
 
El conjunto de enteros en '''Z'''/''p'''''Z''' forma un [[cuerpo finito]] si y sólo si ''p'' es primo.<ref>Kostrikin: Introducción al álgebra, Mir, Moscú (1974)</ref>
 
== Resolución de congruencias ==
 
Si ''a'' y ''b'' son enteros, la [[congruencia]]: ''ax'' ≡ ''b'' ('''mod''' ''n'') tiene solución ''x'' si y sólo si el [[máximo común divisor]] (''a'', ''n'') divide a ''b''. Los detalles están recogidos en el
[[teorema de congruencia lineal]]. Sistemas de congruencias más complicados con módulos diferentes se pueden resolver usando el [[teorema chino del resto]] o el [[teorema de congruencia lineal#Sistemas de congruencias lineales|método de sustitución sucesiva]].<ref>{{cita libro |apellido=Santiago Zaragoza |nombre=Antonio Cipriano |título=Teoría de números |url= |fechaacceso=19 de abril de 2011 |idioma=castellano |edición=1ª |año=2009 |editorial= Visión libros|ubicación=Madrid |isbn=978-84-9886-360-4 |capítulo=2.4. Congruencias lineales |páginas=22-25}}</ref>
 
En el anillo de enteros, si consideramos la ecuación ''ax'' ≡ 1
('''mod''' ''n''), vemos que ''a'' tiene un [[inverso multiplicativo (aritmética modular)|inverso multiplicativo]] si y sólo si ''a'' y ''n'' son [[coprimo]]s. Por tanto, '''Z'''/''n'''''Z''' es un [[Cuerpo (matemática)|cuerpo]] si y sólo si ''n'' es un [[Número primo|primo]].<ref>{{cita libro |apellido=Navarro |nombre=Gabriel |título= Un curso de álgebra|fechaacceso=19 de abril de 2011 |idioma=castellano |edición=1ª |año=2002 |editor=Universitat de València |ubicación=Valencia |isbn=84-370-5419-2 |páginas=77}}</ref> Se puede probar que cada [[cuerpo finito]] es una extensión de '''Z'''/''p'''''Z''' para algún primo ''p''.
 
== Pequeño teorema de Fermat y teorema de Euler ==
{{AP|Pequeño teorema de Fermat|Teorema de Euler}}
 
Un hecho importante sobre aritmética modular, cuando los módulos son números primos es el [[pequeño teorema de Fermat]]: si ''p'' es un número primo, entonces:<ref name="Gauss PTF">{{cita libro |autor=Gauss, Carl Friedrich |capítulo=Sec III, art. 50 |título=Disquisitiones Arithmeticae |año=1965 |editorial=Yale University Press |id=ISBN 0-300-09473-6}}. [http://www.cimm.ucr.ac.cr/da/files/sec3arts45-93.pdf (Traducción al español)]</ref>
 
Si ''a'' es cualquier entero:
:<math>a^p \equiv a \pmod{p}</math>
 
Si ''a'' es un entero no divisible entre p:
:<math>a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}</math>
 
Esto fue generalizado por [[Leonhard Euler|Euler]]: para todo entero positivo ''n'' y todo entero ''a'' relativamente primo a ''n'', :''a''<sup>φ(''n'')</sup> ≡ 1 ('''mod''' ''n''),
donde φ(''n'') denota [[función phi de Euler]] que cuenta el número de enteros entre 1 y ''n'' que sean [[coprimo]]s con respecto a ''n''.<ref name="TE">Euler, Leonhard « Theoremata circa residua ex divisione potestatum relicta », en ''Novi Comment. acad. sc. Petrop.'', vol. 7, 1761, p. 49-82. Texto orginal del latín [http://math.dartmouth.edu/~euler/ Dartmouth College (Euler archive)] con número E262. Traducción al inglés : {{arxiv|math/0608467}}</ref> El teorema de Euler es una consecuencia del [[teorema de Lagrange (teoría de grupos)|teorema de Lagrange]], aplicado al caso del grupo de las unidades del anillo '''Z'''/''n'''''Z'''.
 
== Generalizaciones ==
 
Dos enteros ''a'', ''b'' son '''congruentes módulo ''n''''', escrito como:''a'' ≡ ''b'' ('''mod''' ''n'') si su diferencia ''a''
− ''b'' es [[divisible]] entre ''n'', esto es, si ''a'' − ''b'' = ''kn'' para algún entero ''k''.
 
Usando esta definición, podemos generalizar a módulos no enteros. Por ejemplo, podemos definir ''a'' ≡ ''b'' ('''[[número π|mod 2π]]''') si ''a'' − ''b'' = ''k''2π para algún entero ''k''. Esta idea se desarrolla plenamente en el contexto de la [[Anillo (matemática)|teoría de los anillos]] y [[función trigonométrica|funciones trigonométricas]].
 
En [[Álgebra abstracta]] se ve que la aritmética modular es un caso especial del proceso de crear un [[anillo factorial]] de un anillo módulo un [[Ideal (matemática)|ideal]]. Si ''R'' es un anillo conmutativo, e ''I'' es un ideal de ''R'', entonces dos elementos ''a'' y ''b'' de ''R'' se dicen '''congruentes módulo ''I''''' si ''a'' − ''b'' es un elemento de ''I''. Como pasaba con el anillo de enteros, esto se convierte en una relación de equivalencia, y la suma y la multiplicación se convierten en operaciones bien definidas sobre el anillo factorial ''R''/''I''.
 
= Fuentes =
http://gaussianos.com/teoria-de-numeros-elemental-aritmetica-modular/
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica_modular
 
https://es.khanacademy.org/computing/computer-science/cryptography/modarithmetic/a/what-is-modular-arithmetic