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[[Image:Complex_number_illustration_modarg.svg|right|thumb|El argumento ''φ'' y módulo ''r'' localizan un punto en un diagrama de Argand; <math>r(\cos \phi + i \sin \phi)</math> o <math>r e^{i\phi}</math> es la expresión ''[[coordenadas polares|polar]]'' del punto.]]
SegúnAl aplicar la [[Fórmula de Euler]], vemos que: ▼En esta representación, <math>\textstyle{r}</math> es el '''módulo''' del número complejo y el ángulo <math>\textstyle{\phi}</math> es el '''argumento''' del número complejo.
: <math>
\textstyle{\phi} =
\arctan \left(\frac{b}{a}\right) =
\arctan \left( \frac{\hbox{Im}(z)}{\hbox{Re}(z)}\right) = -\arctan \left ( -\frac{\hbox{Im}(z)}{\hbox{Re}(z)}\right)
</math>
: <math>
\cos \phi = \frac{a}{r} \ , \ \sin \phi = \frac{b}{r}
</math>
Despejamos ''a'' y ''b'' en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:
: <math>
z =
a + \mathrm{i}b ;\; z =
r\cos{\phi} + \mathrm{i}r\sin{\phi}
</math>
Sacamos factor común ''r'':
: <math>
z = r \left( \cos{\phi} + \mathrm{i}\sin{\phi} \right)
</math>
Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:
: <math>
\ z = r \; \operatorname{cis} \; {\phi}
</math>
la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.
Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.
▲Según la [[Fórmula de Euler]], vemos que:
: <math>
\cos{\phi} + \mathrm{i}\sin{\phi} =
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