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Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Acciones de Grupos»

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Línea 288:
Sea <math>E</math> un espacio vectorial de dimensión <math>n</math>. Lo que significa que hay una base de <math>n</math> vectores en <math>E</math>, es decir un conjunto <math>\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> tal que cada vector <math>x</math> de <math>E</math> puede escribirse de una ''única manera como
<center><math>x = \alpha_1e_1 + \dots + \alpha_n e_n.</math></center>
Cada transformación lineal de <math>E</math> en si mismo, tiene asociada una matriz, cuyas columnas son las coordenadas de las imágenes de los vectores de la base. Las transformaciones lineales biyectivas (isomorfismos lineales) tiene asociadas matrices <math>n \times n</math> invertibles, que determinan un grupo, el grupo lineal de <math>E</math>, <math>\GL_ntextsf{GL}_n(k)</math>
 
{{DefRht|Representación Lineal| Sea <math>E</math> un espacio vectorial sobre un cuerpo cualquiera <math>k</math>. Sea <math>G</math> un grupo. Una representación de <math>G</math> en <math>E</math> es un homomorfismo de grupos
<center><math>\rho: G \flechalongrightarrow \GL_ntextsf{GL}_n(K).</math></center>
}}
Tal homomorfismo define una acción de <math>G</math> en <math>E</math> por
<center><math>g\cdot x = \rho(g)(x).</math></center>
 
Cada grupo <math>G</math> tiene varias representaciones lineales posibles, quequ pueden determinar (peroaunque no siempre ale grupo)pueden ,determinar pero queel grupo, usualmente proveen valiosa información sobre el grupomismo. A nosotros nos interesara una representación en particular: la representación regular, que definiremos a continuación.
 
Sea <math>G =\{g_1=e, g_2, \ldots , g_n\}</math>. Asociaremos con el grupo <math>G</math> un espacio vectorial sobre un cuerpo <math>K</math> (que puede ser los Reales, los Complejos u otro cualquiera) denotado por <math>k[G]</math> y formado por todas las expresiones
{{Eqn|<math>\alpha_1 g_1 + \dots \alpha_n g_n.</math>}}
Se define una suma y una multiplicación por escalares de modo que <math>G</math> es una base de <math>k[G]</math>, es decir si <math>x= \sum_i \alpha_i g_i </math> y <math>y = \sum_i = \beta_i g_i</math>, entonces
<center><math>\begin{array}{rcl}
x + y &:=& \sum_i(\alpha_i + \beta_i) g_i \\
\alpha x &:=& \sum_i(\alpha \alpha_i) g_i
Línea 307:
Además, podemos definir una multiplicación en <math>k[G]</math> usando la multiplicación del grupo
<center><math>x y := \sum_{i,j} \alpha_i \beta_j g_i * g_j,</math></center>
,donde <math>*</math> es la multiplicación del grupo.
Esta multiplicación provee a <math>k[G]</math> con una estructura de
algebraálgebra (anillo con operaciones compatibles con la multiplicación por escalar.
 
Para cada <math>g</math> en <math>G</math> la multiplicación <math>g</math> produce una transformación lineal <math>L(g)</math> de <math>k[G]</math>. Además, <math>L(gh) = L(g)L(h)</math> es decir que tenemos una representación del grupo <math>G</math> por las matrices de la forma <math>L(g)</math>. Es fácil verifica que la correspondencia <math>g \mapsto L_g</math> es inyectiva. Esdecir que <math>G</math> es isomorfo a un grupo de matrices, subgrupo de del grupo de isomorfismos lineales de <math>k[G]</math>.
Línea 327:
 
Tenemos el siguiente teorema.
 
<b>Teorema. </b><i> Cada grupo finito es isomorfo a un grupo de matrices.
</i><hr>
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