Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Anillo de Polinomios»

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<noinclude>{{En desarrollo}}</noinclude>
<noinclude>
{{navegar|libro=Álgebra/Álgebra Abstracta (Primer Curso)/Contenidos
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{{Ejmpl|Ejemplo}}
Recordemos que un <i>cero</i> de una función polinómica <math>f</math> es un número <math>a</math> del dominio de la función tal que <math>f(a) = 0.</math>. Consideremos la función polinómica <math>f</math> de <math>\Q</math> en <math>\Q</math> tal que <math>f(x) = x^2 - 2.</math>. Observemos que un "cero" de esa función es el número irracional <math>\sqrt{2},</math>, que no pertenece al dominio de la función.
 
El problema no es que la función tenga dominio los racionales y no todos los reales, ya que la función <math>f:\R \longrightarrow \R</math> tal que <math>f(x) = x^2 + 1</math> tampoco tiene ceros reales, aunque sí complejos.
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{{Ejmpl|Ejemplo}}
Consideremos el cuerpo <math>\Z_3</math> y sean <math>f</math> y <math>g</math> funciones de <math>\mathbb{Z}_3</math> en si mismo tales que <math>f(x) = x^3 + 2</math>\ y <math>g(x) = x+2.</math>. La tabla siguiente muestra los valores de las funciones.
<center><math>\begin{array}{c|c|c}
x &f(x)&g(x) \\ \hline
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2 & 1 & 1
\end{array}</math></center>
Como para todo <math>x</math> de <math>\mathbb{Z}_3</math> se cumple que <math>f(x) = g(x),</math>, tenemos que las funciones polinómicas <math>f</math> y <math>g</math> son iguales, aunque sus grados son diferentes. Nosotros no queremos que polinomios de diferentes grados sean iguales, por lo que necesitaremos una noción diferente a funciones polinómicas.
<hr>
 
Línea 44 ⟶ 45:
==== La suma ====
 
Sean <math>f(x) = 3 -2x+ 5x^2</math> y <math>g(x) = 4+3x.</math>. Hallar la suma de <math>f</math> y <math>g.</math>. Las expresiones polinómicas pueden escribirse con los grados en forma ascendente, o en forma descendente. Hemos usado la forma ascendente, porque será más útil para nuestros propósitos.
 
<!--
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== Las Definiciones Formales ==
 
Sea <math>A</math> un anillo (conmutativo o no) con identidad. Simbolizaremos por <math>A^{\N}</math> al conjunto formado por todas las sucesiones de <math>\N</math> en <math>A,</math>, es decir todas las funciones de <math>\N</math> en <math>A.</math>. El valor de <math>f</math> en <math>n</math> se denota por <math>f_n</math> y se dice que es el <i>término</i> <math>n</math>--ésimo de la sucesión.
 
Dotaremos a <math>A^{\N}</math> de operaciones de suma y multiplicación análogas a las de la suma y multiplicación de las funciones polinómicas. Por ahora, no nos restringiremos a sucesiones que tengan solamente un número finito de términos no nulos; más tarde, consideraremos esa restricción.
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==== La suma ====
 
Sean <math>f</math> y <math>g</math> dos sucesiones de <math>A^{\N}.</math>. La suma de esas sucesiones es la sucesión denotada por <math>f+g</math> y tal que
 
{{Eqn|<math>(f+g)_n := f_n+ g_n.</math>|16-3}}
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Es decir que el término <math>n</math>--ésimo de la suma es la suma de los términos <math>n</math>--ésimos de los sumandos.
 
Notemos que la suma definida es la suma usual de sucesiones que corresponde a la suma de funciones definida punto a punto. Sabemos de trabajos anteriores que tal suma es asociativa, conmutativa, que tiene como neutro la función constante cero (para todo <math>n,</math>, <math>f_n=0</math>), y que cada función <math>f</math> tiene un opuesto aditivo <math>-f</math> tal que <math>(-f)_n = -f_n.</math>. Por lo que <math><A^{\N}, +></math> es un grupo abeliano.
 
==== La multiplicación ====
 
Sean <math>f</math> y <math>g</math> dos sucesiones de <math>A^{\N}.</math>. Definiremos el producto <math>fg</math> de esas sucesiones por una relación idéntica a aquella en la ecuación (16-2), es decir que
 
{{Eqn|<math>(fg)_n := \sum_{i+j=n} f_ig_j = f_0g_n + f_1g_{n-1} + \cdots + f_ng_0.</math>|16-4}}
Línea 126 ⟶ 127:
<b>Lema A.</b> <i> La multiplicación definida en (16-4) es asociativa.</i>
<ul><i>
Demostración: </i> Sean <math>f,</math> <math>g</math> y <math>h</math> tres sucesiones de <math>\N</math> en <math>A.</math>. Para todo <math>n</math> se cumple que
<center><math>\begin{array}{rcl}
(f(gh))_n & =& \displaystyle \sum_{i+\nu=n}f_i(gh)_{\nu} = \sum_{i+\nu=n} f_i \sum_{j+k} g_jh_k \\
Línea 143 ⟶ 144:
 
<ul><i>
Demostración: </i> Sean <math>,</math> <math>g</math> y <math>h</math> tres funciones de <math>\N</math> en <math>A.</math>. Para todo <math>n</math> se cumple que
<center><math>\begin{array}{rcl}
(f(g+h))_n& =&\displaystyle \sum_{i+j=n}f_{i}(g + h)_{j} = \sum_{i+j=n} f_{i}(g_{j} + h_{j}) \\
Línea 154 ⟶ 155:
<b>Identificación de <math>A</math> con un subanillo de <math>A^{\N}</math> </b>
 
Con cada <math>a</math> en <math>A,</math>, asociaremos la función <math>\widetilde{a}</math> tal que <math>\widetilde{a}_{0} = a</math> y <math>\widetilde{a}_n=0</math> para todo <math>n>0.</math>. Como sucesión, tenemos que <math>\widetilde{a} = (a,0,0,0, \ldots).</math>.
 
Sea <math>\varphi: A \longrightarrow A^{\N}</math> tal que <math>\varphi(a) = \widetilde{a}.</math>.
Claramente, <math>\varphi</math> es una función inyectiva, Probaremos que es un homomorfismo de anillos.
 
Cuando <math>a</math> y <math>b</math> son elemento de <math>A</math> se cumple que
<math>\widetilde{(a+b)}_{0} = a+ b = \widetilde{a}_{0} + \widetilde{b}_{0},</math>
mientras que para <math>n>0,</math>, tenemos que
<math>\widetilde{(a+b)}_n = 0 = 0 + 0 = \widetilde{a}_n + \widetilde{b}_n.</math>.
Luego,
 
Línea 180 ⟶ 181:
</math></center>
 
La última sumatoria es igual a cero, ya que <math>i>0</math> implica que <math>\widetilde{a}_{i}=0.</math>. Veamos la primera sumatoria.
<center><math>
\sum_{i+j=n, i=0} \widetilde{a}_{i}\widetilde{b}_{j} = \widetilde{a}_{0}\widetilde{b}_n + \sum_{i+j =n,\, j>0 }\widetilde{a}_{i} \underline{b}_{j} + \widetilde{a}_n \widetilde{b}_{0}.</math></center>
Línea 188 ⟶ 189:
{{Eqn|<math>\varphi(ab) = \widetilde{(ab)} = \widetilde{a}\, \widetilde{b} = \varphi(a)\varphi(b).</math>|16-6}}
 
Las relaciones (16-5) y (16-6) nos dicen que la función <math>\varphi</math> es efectivamente un homomorfismo que además es inyectivo. Por lo tanto, <math>A</math> es isomorfo (como anillo) con su imagen. Usando ese monomorfismo, identificaremos los elementos de <math>A</math> con sus imágenes, por lo cual consideraremos a <math>A</math> como un subanillo de <math>A^{\N}.</math>.
 
Veamos, ahora, que sucede cuando se multiplica un elemento de <math>A</math> por una sucesión cualquiera.
 
<b>Lema C.</b> <i>Sean <math>a</math> en <math>A</math> y <math>f</math> en <math>A^{\N}.</math>. Se cumple que <math>(af)_n = af_n.</math>. (Es decir que cada término de la sucesión se multiplica por <math>a</math>)
</i>
<ul><i> Demostración: </i>
Línea 199 ⟶ 200:
{{QED}} </ul> <hr>
 
<b>Corolario C.1. </b> <i> <math>1f=f.</math>. Es decir que 1 es una identidad en <math>A^{\N}.</math>.
</i>
 
Línea 214 ⟶ 215:
 
Un polinomio puede considerarse, intuitivamente, como una sucesión donde todos sus términos son nulos, excepto, a lo más, una cantidad finita de ellos. Formalizaremos lo anterior, empezando con la siguiente definición.
{{Marco|Sea <math>f</math> en <math>A^{\N}.</math>. Llamamos <b>soporte</b> de la sucesión <math>f</math> al subconjunto de <math>\N</math> formado por todos los <math>n</math> tales que <math>f_n \neq 0.</math>.}}
 
Con los preparativos anteriores, estamos listos para definir la noción formal de polinomio.
Línea 220 ⟶ 221:
{{DefRht|Polinomio Formal| Sea <math>A</math> un anillo con identidad. Un <b>polinomio (formal)</b> con coeficientes en <math>A</math> es una sucesión en <math>A^{\N}</math> con soporte finito.}}
 
En términos de sucesiones, un polinomio es una sucesión con un número finito de términos no nulos. Sea <math>f = (f_{0}, f_{1}, \ldots, f_n, 0, 0, 0, \ldots).</math>.
Intuitivamente, <math>f</math> corresponde al polinomio <math>f_{0} + f_{1}X + \cdots + f_nX^n.</math>. Para obtener formalmente lo anterior, definiremos al polinomio <math>X.</math>. También, deberemos probar que la suma y el producto de polinomios es un polinomio, es decir que forman un subanillo de <math>A^{\N}.</math>.
Previamente, introduciremos el <b>símbolo de Kronecker</b> que nos ayudará a expresar más concisamente nuestras definiciones y demostraciones.
 
{{DefRht|Símbolo de Kronecker| Llamamos símbolo de Kronecker a la expresión <math>\delta_{i,j},</math>,
definida como:
<center><math> \delta_{i,j} := \begin{cases}
Línea 242 ⟶ 243:
<b>Proposición 2. </b> <i> Sea <math>X</math> la indeterminada, entonces
<ol type="a">
<li> <math>X^r_n = \delta_{r,n},</math>, es decir que <math>X^r</math> es la sucesión que tiene todos sus términos nulos, con la excepción del <math>r</math>--ésimo que es igual a 1.
<li> <math>X^rX^s = X^{r+s}.</math>.
<li> <math>aX^r=X^ra,</math>, para todo <math>a</math> en <math>A.</math>.
</ol>
</i>
Línea 250 ⟶ 251:
Demostración: </i> <br>
<ol type="a">
<li> Por inducción sobre <math>r.</math>. <math>X^0 = 1</math> implica que <math>X^0_n = \delta_{0,n}.</math>. También, <math>X^1_n = \delta_{1,n}.</math>. Supongamos que para <math>k \ge 0</math> se cumple que <math>X^k_n = \delta_{k,n}.</math>. Entonces,
<center><math>X^{k+1}_n = (X^kX)_n = \sum_{i+j = k+1} X^{k}_{i}X_{j} = \sum_{i+j = k+1} \delta_{k,i}\delta_{1,j}.</math></center>
El único sumando con <math>\delta_{1,j} \neq 0</math> es aquel donde <math>j=1</math> y, por lo tanto, el correspondiente <math>i</math> es igual a <math>k.</math>. Lo que implica que <math>X^{k+1}_n = \delta_{k+1,n}.</math>.
Por inducción, se tiene el resultado.
<li> Ejercicio.
<li> Probaremos primeramente que <math>Xa=aX.</math>.
<center><math>\displaystyle Xa_n = \sum_{i+j=n} X_{i}a_{j} = \sum_{i+j=n}\delta_{1,i}a\delta_{0,j} = \delta_{1,n}a \delta_{0,0} = a \delta_{1,n} = a X_n.
</math></center>
 
Suponer el resultado para todo <math>1\le k \le j.</math>. Es decir que para todo <math>a</math> en <math>A</math> se cumple que <math>aX^k = X^k a.</math>. Entonces,
<center><math>aX^{j+1} = aX^jX = X^jaX = X^jX a= X^{j+1}a.</math></center>
El resultado sigue por inducción.
Línea 268 ⟶ 269:
</i>
<ul><i>
Demostración: </i> Necesitamos tan sólo probar que la suma y el producto de sucesiones con soporte finito son sucesiones con soporte finito. Sean <math>f</math> y <math>g</math> dos polinomios tales que para <math>k>m</math> se tiene que <math>f_{k}=0</math> y para <math>k>n</math> se cumple que <math>g_{k}=0.</math>.
Entonces, si <math>r>\max\{m,n\},</math>, se tiene que al ser <math>r</math> mayor que <math>m</math> y <math>n,</math>, que
<math>(f-g)_{r} = f_{r} - g_{r} = 0 -0 = 0.</math>. Es decir que <math>f-g</math> es un polinomio.
 
Sea ahora <math>r > m+ n.</math>. Entonces,
<center><math>
(fg)_{r} = \sum_{i+j=r} f_{i}g_{j} = \sum_{i+j=r, i>m} f_{i}g_{j} + \sum_{i+j=r, i \le m} f_{i}g_{j}.</math></center>
 
Los sumandos de la primera sumatoria tiene un factor <math>f_{i}</math> con <math>i > m,</math>, lo que implica que <math>f_{i}=0,</math>, por lo que esa sumatoria es 0.
Observemos que en la segunda sumatoria, se tiene que <math>i \le m.</math>. Entonces, <math>j = r - i > m+n - m = n.</math>. Por lo que los <math>g_{j}</math>'s son todos nulos, haciendo la segunda sumatoria nula. Luego, <math>fg</math> es un polinomio.
{{QED}} </ul> <hr>
 
A continuación, veremos como recuperar la notación tradicional de polinomios.
 
<b>Proposición 4. </b> <i> Sea <math>f</math> una sucesión no nula con <math>f_{k}=0</math> para <math>k>m,</math>, <math>m \ge 0,</math>, o sea un polinomio. Sea <math>g = f_{0} + f_{1}X + f_2X^2 + \cdots + f_{m}X^m.</math>. Entonces, <math>g=f.</math>.
</i>
<ul><i>
Demostración: </i> Claramente, <math>g_n = 0</math> si <math>n > m.</math>. Sea <math>n</math> tal que <math>0 \le n \le m.</math>.
<center><math>\begin{array}{rcl}
g_n & = & (f_{0} + f_{1}X + f_2X^2 + \cdots + f_nX^n + \cdots+ f_{m}X^m)_n \\
Línea 295 ⟶ 296:
{{QED}} </ul> <hr>
 
La proposición muestra como podemos expresar un polinomio como una suma finita de términos de la forma <math>aX^r.</math>. Usaremos esa notación, de ahora en adelante.
 
==== Nomenclatura ====
Sea <math>f</math> un polinomio de <math>A[X],</math>, al que expresaremos como <math>f = a_0 + a_1 X+ a_2 X^2 + \cdots + a_s X^s,</math>, donde <math>a_j=f_{j}.</math>.
<ul>
<li> Cada uno de los <math>a_i</math>'s se llama un <i>coeficiente</i> del polinomio <math>f.</math>.
 
<li> Cualquiera de los coeficientes puede ser nulo. Cuando todos los coeficientes sean nulos, diremos que se trata del polinomio <i>nulo</i> o cero.
 
<li> Cada uno de los sumandos que aparecen en la definición de <math>f</math> se llama un <i>término</i> del polinomio. Cada término es de la forma <math>b X^s</math> donde <math>b</math> es un elemento del anillo y <math>s</math> es un número entero tal que <math>s \ge 0,</math>, llamados, respectivamente, el <i>coeficiente</i> del término y el <i>grado</i> del término. Dicho termino es el <i>s</i>--ésimo término. Cuando el coeficiente de un término es cero, se puede eliminar de la presentación del polinomio.
 
Por ejemplo, podemos escribir <math>1 - 3X + 0X^2+ 5X^3</math> como <math>1-3X+5X^3.</math>.
 
<li> El primer sumando, <math>a_0,</math>, es el <i>término constante</i>. Como <math>a_0 = a_0X^0,</math>, cuando <math>a_0 \neq 0,</math>, dicho término tiene grado 0. Los términos constantes se identifican con los elementos de <math>A.</math>.
 
<li> Supongamos que <math>f</math> no es el polinomio nulo. Entonces, al menos uno de los coeficientes de <math>f</math> no es nulo. Sea <math>m</math> el mayor de los enteros tales que <math>a_m \neq 0.</math>. Decimos que el término <math>a_m X^m</math> es el <i>término líder</i> del polinomio y que <math>a_m</math> es el <i>coeficiente líder</i> del polinomio. En tal caso, llamamos <i>grado del polinomio</i> al numero <math>m.</math>. Por lo tanto, el grado de un polinomio no nulo es siempre un número entero positivo o cero, al que denotaremos por <math>\text{gr} (f).</math>.
 
Por definición de grado, para todo <math>j \ge 0,</math>, se tiene que si
<math>j > \text{gr} (f)</math> entonces <math>a_j=f_{j} =0.</math>.
 
<li> Cuando el coeficiente líder sea igual a 1, diremos que se trata de un <i>polinomio mónico</i>.
Línea 330 ⟶ 331:
 
{{Caja|<math>\quad \text{gr}(f+g) \le \max\{\text{gr}(f), \text{gr}(g)\}. \quad</math>}}
La desigualdad puede ser estricta, por ejemplo considerar <math>g=-f.</math>.
Pero, puede haber también otras circunstancias que hagan estricta a la desigualdad anterior.
 
{{Ejmpl|Ejemplo}}
Sea <math>A = \Z_6</math> (enteros modulo 6) y sean <math>f=3 + 2X,</math>, <math>g=1+4X.</math>.
Entonces, <math>f+g = 3+2X + 1+4X = 4.</math>.
<hr>
 
Línea 355 ⟶ 356:
</i>
<ul><i>
Demostración: </i> Si uno de los polinomios es nulo, el resultado es trivialmente válido. Supongamos que <math>\text{gr}(f)=m</math> y <math>\text{gr}(g) = n</math> donde <math>m,n \ge 0.</math>. Entonces, el término <math>(m+n)</math>--ésimo es aquel del mayor grado posible del producto. Se tiene que
<center><math>(fg)_{m+n} = \sum_{i+j=m+n} f_{i}g_{j}.</math></center>
Si <math>i<m,</math>, se cumple que <math>j>n,</math>, por lo que <math>g_{j}=0.</math>. Igualmente, si <math>i >m,</math>, entonces <math>g_{i}=0.</math>. Es decir que el único posible sumando no nulo en la sumatoria anterior es <math>f_{m}g_{n}.</math> Como <math>f_{m}</math> o <math>g_n</math> no son divisores de cero, se tiene que <math>f_{m}g_{n} \neq 0.</math>. De donde el resultado.
{{QED}} </ul> <hr>
 
Línea 364 ⟶ 365:
</i>
<ul><i>
Demostración: </i> Cualquier polinomio no nulo tiene un coeficiente líder que no es un divisor de cero. Si <math>f</math> y <math>g</math> son polinomios no nulos, el coeficiente líder del producto <math>fg</math> es igual al producto de los coeficientes lideres de <math>f</math> y <math>g,</math>, por lo que no puede ser nulo.
{{QED}} </ul> <hr>
 
<b>Observación. </b>
Sean <math>A</math> y <math>B</math> anillos tales que <math>A</math> es un subanillo de <math>B.</math>. Entonces, cada polinomio en <math>A[X]</math> puede considerarse un polinomio en <math>B[X].</math>. Por lo que siempre consideraremos que <math>A[X]</math> es un subanillo de <math>B[X].</math>.
Por ejemplo, se cumple que
<center><math>\Z[X] < \Q[X] < \R[X] < \C[X].</math></center>
Línea 377 ⟶ 378:
Vimos arriba que cuando <math>A</math> es un dominio de integridad, en particular un cuerpo, <math>A[X]</math> también es un dominio de integridad. Sabemos del capítulo pasado que todo dominio de integridad puede extenderse a un cuerpo de fracciones del anillo.
 
{{DefRht|Cuerpo de las Fracciones Racionales| Sea <math>A</math> un dominio de integridad. Llamamos <b>cuerpo de las fracciones racionales</b> al cuerpo de fracciones del dominio de integridad <math>A[X].</math>. Notación: <math>A(X).</math>.
}}
 
=== Polinomios en varias variable ===
 
Sea <math>A</math> un anillo con identidad, entonces <math>A[X]</math> también es un anillo con identidad, por lo que podríamos considerar polinomios con coeficientes en <math>A[X].</math>. Si llamamos <math>Y</math> a la indeterminada correspondiente, tendríamos el anillo con identidad <math>A[X][Y],</math>, que simbolizamos de forma abreviada como <math>A[X,Y].</math>. Usando de base ese último anillo, podemos obtener <math>A[X,Y,Z]=A[X,Y][Z],</math>, etc.
 
=== Anillo de las Series Formales de Potencias ===
Volvamos al anillo <math>A^{\N}</math> de las sucesiones con términos en un anillo <math>A.</math>. Poniendo <math>X</math> al igual que para los polinomios, tendremos, por la demostración de la proposición de representación como sumatoria de los polinomios, que podríamos escribir cada sucesión como un polinomio de grado infinito, o sea como una sumatoria sin fin
<center><math>f = \sum_{i\ge 0} a_iX^{i} = a_0 + a_1X + \cdots + a_nX^n + \cdots.</math></center>
El lector habrá encontrado en sus cursos de Cálculo expresiones análogas llamadas <i>series de potencias</i>. Por tal razón, llamaremos a los elementos de <math>A^{\N}</math> <i>series de potencias formales</i>. Simbolizaremos a <math>A^{\N}</math> como <math>A[[X]]</math> y diremos que se trata del <b>anillo de las series de potencias formales</b> en una indeterminada con coeficientes en el anillo <math>\mathbf{A}.</math>.
 
 
Línea 394 ⟶ 395:
 
<ol>
<li> Sea el anillo <math>A= \Z.</math>. Sean <math>x=(2,1,0,0,0,\ldots),</math>, <math>y=(3,1,0,0,0,\ldots).</math>. Hallar <math>x+y,</math>, <math>x-y,</math>, <math>xy,</math>, <math>2x + 3y,</math>, <math>x^2,</math>, usando directamente las definiciones de operaciones con sucesiones.
 
<li> Sean <math>f=3-2X+5X^2</math> y <math>g= 2 +5X</math> polinomios en <math>\Z[X].</math>. Hallar <math>f+g,</math>, <math>f-g,</math>,</math>fg,</math>, <math>3f+4g.</math>.
 
<li> Efectuar las operaciones indicadas en <math>\Z_5,</math>, simplificar las expresiones resultantes y ordenarlas por orden creciente de los exponentes de los monomios.
<center><math>(20X^2+3X+1)(3X^2+X+3) \text{ y } (-X^2+2X+3)^2.</math></center>
 
<li> Efectuar las operaciones indicadas en <math>\Z_6,</math>, simplificar las expresiones resultantes y ordenarlas por orden decreciente de los exponentes de los monomios.
<center><math>(2X^2+3X+1)(3X^2+X+3) \text{ y } (-X^2+2X+3)^2.</math></center>
 
<li> Usar el método de coeficientes separados para realizar las operaciones indicadas en <math>\mathbb{Z}_3[X],</math>,
<ol type="a">
<li> <math>(X^2 + X + 1)^3</math>;
<li> <math>(X-1)(X^4 + X^3 + X^2 + X + 1)</math>;
<li> <math>X(X+1)(X^2+X+1) </math> y
<li> <math>(X^3 +X^2 + 1)(X^3-X^2 + 1).</math>.
</ol>
 
Línea 416 ⟶ 417:
<li> Probar que cuando <math>A</math> es un anillo conmutativo, <math>A[X]</math> también lo es.
 
<li> Hallar dos polinomios <math>f</math> y <math>g</math> en <math>\Z[X]</math> tales que el grado de la suma de <math>f</math> con <math>g</math> sea inferior a los grados de cada uno de los sumandos, pero que <math>f+g \neq 0.</math>.
 
<li> Hallar polinomios en <math>\Z_{12}</math> tales que el grado del producto sea inferior a la suma de los grados de los factores.
Línea 422 ⟶ 423:
<li> ¿Cuántos polinomios distintos de segundo grado, de tercer grado, ... , de enésimo grado podemos formar sobre el cuerpo <math>\Z_5</math>?
 
<li> Sean <math> f = \sum_{i \ge 0} X^i</math> y <math>g = \sum_{i \ge 0} (-1)^iX^i</math> elementos de <math>\Z[[X]].</math>. Hallar <math>f+g.</math>.
 
<li> Sean <math>f = \sum_{i \ge 0} X^i</math> y <math>g = 1 - X</math> dos series en <math>\Q[[X]].</math>. Hallar el producto de <math>f</math> con <math>g.</math>.
 
<li> Hallar <math>a,</math>, <math>b,</math>, <math>c</math> tales que: <math>aX^2+bX+c = (X-5)(X-3).</math>.
 
<li> Hallar un polinomio <math>g</math> tal que <math>g^2 = X^6-12X^5+60X^4-160X^3+240X^2-192X+64.</math>.
 
<li> Hallar las relaciones entre <math>a,</math>, <math>b,</math>, <math>c</math> y <math>d</math> para que el polinomio
<center><math> f = X^4 + 2aX^3 + bX^2 + 2cX + d</math></center>
sea un cuadrado perfecto.
 
<li> Cuando <math>D</math> es un dominio de integridad, los únicos polinomios invertibles en <math>D[X]</math> son aquellos de grado cero y cuyo coeficiente líder es una unidad de <math>D.</math>.
 
 
<li> Sea <math>f(X) = X^2-6X+13.</math>. Obtener el polinomio en la indeterminada <math>Y</math> que se obtiene de <math>f</math> al sustituir <math>X</math> por <math>Y+3.</math>.
 
 
<li> Sea <math>f=aX^2+bX+c</math> un polinomio de segundo grado sobre un cuerpo <math>k.</math>. Probar que hay una sustitución del tipo <math>X = Y+d</math> que convierte a <math>f</math> en un polinomio cuyo coeficiente del término lineal es nulo.
 
 
<li> Sea <math>f=aX^3+bX^2+cX+d</math> un polinomio de tercer grado sobre un cuerpo <math>k.</math>. Probar que hay una sustitución del tipo <math>X = Y+ \alpha</math> que convierte a <math>f</math> en un polinomio cuyo coeficiente del término cuadrático es nulo.
 
 
<li> Sean <math>a_1,</math>, <math>a_2</math> , \ldots elementos de un anillo conmutativo <math>A.</math>. Expandir cada uno de los polinomios siguientes sobre <math>A</math> y representar la expresión resultante como un nuevo polinomio. Generalizar los resultados.
<ol type="a">
<li> <math>P_1 = X-a_1.</math>.
<li> <math>P_2 = (X-a_1)(X-a_2).</math>.
<li> <math>P_3 = (X-a_1)(X-a_2)(X-a_3).</math>.
<li> <math>P_4 = (X-a_1)(X-a_2)(X-a_3)(X-a_4).</math>.
</ol>
 
 
<li> Sean <math>X,</math>, <math>Y</math> indeterminadas sobre un anillo conmutativo con identidad <math>A.</math>. Entonces:
<center><math>(X+Y)^n = \sum_{i=0}^n\binom{n}{i} X^i Y^{n-i}.</math></center>
 
Donde, <math>\binom{n}{i} = \dfrac{n!}{i!(n-i)!}.</math>.
 
 
<li> Sean <math>x,</math>, <math>y,</math>, <math>z</math> elementos de un anillo conmutativo. Hallar una fórmula para <math>(x+y+z)^n.</math>.
 
<li> Sea <math>A= \Z.</math>. Sean <math>f,</math> <math>g</math> en <math>A^{\N}</math> tales que <math>f_n=1</math> y <math>g_n=n</math> para todo número <math>n.</math>. Hallar <math>-2f+3g,</math>, <math>6f-5g,</math>, <math>f^2,</math>, <math>g^2.</math>.
 
<li> <math>A = \Z.</math>. Sean <math>,</math> <math>g</math> en <math>A^{\N}</math> tales que <math>f_n = \delta_{2,n},</math>, <math>g_n = \delta_{3,n}.</math>. Escribir de forma explícita como sucesiones a <math>f</math> y <math>g.</math>. Hallar <math>f+g,</math>, <math>f-g,</math>, <math>fg,</math>, <math>f^2,</math>, <math>g^2.</math>.
 
 
Línea 477 ⟶ 478:
\end{matrix}</math>
 
<li> Cuando <math>A</math> es un dominio de integridad, <math>A[[X]],</math>, el anillo de series formales con coeficientes en <math>A,</math>, también lo es. El cuerpo de fracciones de <math>A[[X]]</math> se denota por <math>A((X)).</math>.
 
Como polinomios son series de potencias, se tiene que los polinomios no nulos son invertibles en <math>A((X)).</math>.
 
Probar que en <math>\Z((X))</math> se cumple que:
<ol type="a">
<li> <math>\dfrac{1}{1-X} = 1 + X + X^2 + ... + X^n + ... .</math>.
<li> <math>\dfrac{1}{1+X} = 1 -X + X^2 - ... + (-1)^nX^n + ... .</math>.
<li> <math>\dfrac{1}{(1-X)^2} = 1 + 2X + ... + (n+1)X^n + ... .</math>.
<li> <math>\dfrac{1}{1-X^2} = 1 + X^2 + ... + X^{2n} + ... .</math>
</ol>
Línea 494 ⟶ 495:
== La Evaluación de un Polinomio ==
 
En esta sección, veremos como definir ceros de un polinomio. Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad y sea <math>A[X]</math> el anillo de polinomios en la indeterminada <math>X</math> con coeficientes en <math>A.</math>. Supongamos que <math>B</math> fuera un superanillo de <math>A,</math>, o sea un anillo que contiene a <math>A</math> y que <math>\alpha</math> fuera un elemento de <math>B</math> que conmuta con todos los elementos de <math>A.</math>. (En particular, si <math>B</math> es conmutativo, cualquier elemento de <math>B.</math>.)
 
{{DefRht|Evaluación| En la situación anterior, sea <math>f=\sum_{i=0}^m a_iX^i</math> un polinomio con coeficientes en <math>A.</math>. Llamamos <b>evaluación</b> de <math>f</math> en <math>\alpha,</math>, al elemento de <math>B</math> definido por <center><math>\sum_{i=0}^m a_i \alpha^i.</math></center>
Decimos que ese elemento de <math>B</math> es el <b>valor</b> de <math>f</math> en
<math>\alpha</math> y usaremos la notación funcional <math>f(\alpha)</math> para
Línea 503 ⟶ 504:
 
<b>Convenio Notacional.</b>
Notemos que la notación <math>f(x)</math> pudiera ser ambigua, ya que si consideramos a <math>f</math> como una sucesión o sea una función con dominio <math>\N,</math>, <math>f(n)</math> puede indicar el coeficiente <math>n</math>--ésimo del polinomio o la evaluación de <math>f</math> en <math>n,</math>, que en general son dos cosas diferentes. Por lo que de ahora en adelante, la notación funcional se usará únicamente para la evaluación de polinomios y los polinomios siempre se presentarán como suma de términos.
 
 
<b>Funciones polinómicas.</b>
Cuando <math>\alpha</math> sea un elemento de <math>A</math> (que es obviamente un superanillo de si mismo) entonces <math>f(\alpha)</math> es un elemento de <math>A.</math>. Por lo que tenemos asociada a cada polinomio <math>f</math> de <math>A[X]</math> una función <math>\alpha \mapsto f(\alpha),</math>, que diremos que es la <i>función polinómica</i> definida por <math>f.</math>. A menos que haya un riesgo de confusión, usaremos el mismo nombre para dicha función.
 
Volviendo a la situación de la definición, tenemos para cada <math>\alpha</math> que es un elemento de <math>B,</math>, una función que asigna a cada polinomio <math>f</math> de <math>A[X]</math> su evaluación en <math>\alpha,</math>, <math>f(\alpha).</math>. Denotaremos esa función por <math>\rm{ev}_{\alpha}.</math>. La siguiente proposición muestra que esa función es un homomorfismo de anillos.
 
<b>Proposición 6. </b> <i>
Sean <math>f</math> y <math>g</math> polinomios con coeficientes en <math>A.</math>. Sea <math>\alpha</math>
un elemento de un superanillo <math>B</math> del anillo <math>A</math> y que permuta con los elementos de <math>A.</math>. Entonces,
<center><math>
(f+g)(\alpha) = f(\alpha ) + g(\alpha), \text{ y }
Línea 529 ⟶ 530:
 
<b>Proposición 7. (Extensión de Homomorfismos) </b> <i>
Sean <math>A</math> y <math>B</math> anillos conmutativos con identidad, y <math>\phi:A \longrightarrow B</math> un homomorfismo de anillos con identidad. Entonces, hay una función <math>\widetilde{\phi} :A[X] \longrightarrow B[X],</math>,
<center><math>\widetilde\phi(a_0 + a_1 X+ \dots +a^mX^m) := \phi(a_0) + \phi(a_1)X + \dots + \phi(a_m)X^m,</math></center>
que es un homomorfismo de anillos.
Línea 540 ⟶ 541:
</math></center>
-->
Es decir que <math>\widetilde{\phi}</math> asigna a cada polinomio de <math>A[X|,</math>, el polinomio de <math>B[X]</math> que resulta al reemplazar los coeficientes del primer polinomio por sus imágenes por <math>\phi</math>
</i>
<ul><i>
Demostración: </i> Sean <math>f = \sum_i a_i X^{i}</math> y <math>g = \sum_j{b_j} X^j.</math>. Entonces,
<ul>
<li> <math>\begin{array}[t]{rcl}
Línea 555 ⟶ 556:
{{QED}} </ul> <hr>
 
<b>Nomenclatura. </b>Decimos que <math>\widetilde{\phi}</math> es el homomorfismo inducido por <math>\phi.</math>.
 
Sea <math>\nu:\Z\longrightarrow \Z_m</math> el supramorfismo canónico, <math>x \mapsto [x].</math>. Entonces, diremos que el polinomio <math>\widetilde{\nu}(f)</math> es el polinomio obtenido de <math>f</math> por <i>reducción módulo</i> <math>\mathbf{m}.</math>.
 
{{Ejmpl|Ejemplo}}
La reducción de <math>f=X^3 + 3X^2 + 2X + 5</math> módulo 2 es igual a <math>g= X^3 + X^2 + 1.</math>.
<hr>
 
=== Sustitución de Indeterminada ===
 
Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad y sea <math>B = A[X],</math>, <math>B</math> es un superanillo de <math>A</math> y cada uno de sus elementos permuta con los elementos de <math>A.</math>. Por lo que podemos evaluar cada polinomio en <math>A[X]</math> en un elemento <math>b</math> de <math>B,</math>, o sea en otro polinomio, digamos, <math>g</math> de <math>A[X].</math>. El resultado se dice que es la <b>sustitución de la indeterminada</b> o variable <math>X</math> por <math>g(X).</math>.
 
{{Ejmpl|Ejemplo}}
Sea <math>A = \Z</math> y sea <math>f = X^2 - 5X + 6.</math>.
<ul>
<li> Sea <math>g(X) = X^2.</math>. Entonces, <math>f(X^2) =(X^2)^2 - 5(X^2) + 6 = X^4 -5X^2 +6.</math>.
<li> Sea <math>g(X) = 3X-2.</math>. Entonces
<center><math>
f(3X-2) = (3X-2)^2 -5(3X-2) + 6 = 9X^2 -27. </math></center>
Línea 578 ⟶ 579:
 
=== Los Ceros de un Polinomio ===
{{DefRht|Cero de un Polinomio| Sean <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad, <math>B</math> un superanillo de <math>A</math> y <math>f</math> un polinomio con coeficientes en <math>A.</math>. Decimos que un elemento <math>\alpha</math> de <math>B</math> que permuta con los elementos de <math>A</math> es un <b>cero</b> o <b>raíz</b> del polinomio <math>f,</math> ssi, <math>f(\alpha)=0.</math>.
 
Denotaremos por <math>V_B(f)</math> (o simplemente <math>V(f),</math>, cuando el conjunto de donde se toman los ceros sea claro del contexto) al conjunto formado por todos los ceros de <math>f</math> en <math>B.</math>.
}}
 
<b>Observación. </b> Sea <math>C</math> un superanillo de <math>B,</math>, entonces <math>V_B(f) \subset V_C(f).</math>.
<hr>
 
{{Ejmpl|Ejemplo}}
Sea <math>f(X) = X^2-5X + 6</math> un polinomio en <math>\Z[X].</math>.
Entonces, <math>f(2) = 2^2 - 5*2 + 6 = 4 -10 +6 = 0.</math>. Por lo que 2 es un cero del polinomio <math>f.</math>.
 
Se ve claramente que <math>V_{\mathbb{Z}}(f) = \{2,3\}.</math>.
<hr>
 
{{Ejmpl|Ejemplo}}
Sea <math>f(X) = 2X -3</math> un polinomio en <math>\Z[X].</math>.
Entonces, claramente <math>f(3/2) = 0,</math>, lo que prueba que <math>3/2</math> es un cero del polinomio <math>f.</math>. Además es el único cero en <math>\Q.</math>.
Por lo que, <math>V_{\mathbb{Z}}(f) = \emptyset,</math>, pero <math>V_{\mathbb{Q}} = \{3/2\}.</math>.
<hr>
 
 
{{Ejmpl|Ejemplo}}
Sea <math>g(X) = X^2 -3</math> un polinomio en <math>\Z[X] < \Q[X].</math>.
 
Entonces, claramente <math>g(\pm \sqrt{3}) = 0,</math>, lo que prueba que <math>\pm \sqrt{3}</math> son ceros del polinomio <math>g.</math>. Sabemos que esos números no son racionales, por lo que <math>V_{\mathbb{Q}} = \emptyset,</math>, pero <math>V_{\mathbb{R}} =\{ \pm \sqrt{3}\},</math>, lo que indica porque no podemos omitir el anillo donde estamos considerando los ceros en la notación <math>V_A(f),</math>, cuando se trabaja simultáneamente con varios anillos.
<hr>
 
Línea 609 ⟶ 610:
 
{{Caja|<center><b>PROBLEMA BÁSICO DEL ÁLGEBRA</b><center><br>
Dado un anillo <math>A</math> y un polinomio <math>f</math> en <math>A[X],</math>, determinar todos los posibles ceros de <math>f.</math>.}}
 
 
Línea 616 ⟶ 617:
=== Números y Enteros Algebraicos ===
 
{{DefRht|Número Algebraico, Entero Algebraico| Un número complejo <math>z</math> se llama <b>número algebraico</b> cuando es un cero de un polinomio con coeficientes en <math>\Z.</math>. Un número algebraico es un <b>entero algebraico</b> cuando es un cero de un polinomio mónico con coeficientes enteros.
}}
 
{{Ejmpl|Ejemplo}}
<math>\sqrt{2}</math> es un entero algebraico, ya que es un cero de <math>X^2-2.</math>.
<hr>
 
Línea 626 ⟶ 627:
Hallar un polinomio en <math>\Z[X]</math> tal que <math>\dfrac{\sqrt{7}-2\sqrt{3}}{5}</math> sea un cero del polinomio.
 
Resolución. Pongamos <math>x = \dfrac{\sqrt{7}-2\sqrt{3}}{5}.</math>. Entonces,
<center><math>\begin{array}{lrcll}
& x &=& \dfrac{\sqrt{7}-2\sqrt{3}}{5} \\
Línea 642 ⟶ 643:
=== Ejercicios ===
<ol>
<li> Evaluar cada uno de los siguientes polinomios de <math>\Q[X],</math>, <math>f = X^2 - 4X + 1,</math>, <math>g = X^3-3X^2+3X -3,</math>, en los números indicados a continuación.
<center><math>1,\ 2,\ \sqrt{3},\ 2+\sqrt{3},\ 1+ \sqrt[3]{2}.</math></center>
 
Línea 659 ⟶ 660:
 
 
<li> Sean <math>A</math> y <math>B</math> anillos con identidad y sea <math>f: A \longrightarrow B</math> un homomorfismo de anillos y sea <math>b</math> un elemento de <math>B</math> que permuta con los elementos de la imagen de <math>f.</math>. Probar que hay un único homomorfismo de anillos <math>\widetilde{f} : A[X] \longrightarrow B</math> tal que <math>\widetilde{f}(X) = b,</math>,
 
 
<li> Sea <math>f = X^2 -5X +1</math> en <math>\R[X]</math> y sea
<math>M = \begin{bmatrix} 3&1 \\ 5 &2 \end{bmatrix}</math> una matriz <math>2 \times 2.</math>. Probar que <math>M</math> es un cero de <math>f,</math> o sea que <math>f(M)</math> es la matriz nula.
 
 
<li> Sea <math>f = X^2 +X +1</math> en <math>\R[X]</math> y sea <math>M = \frac12 \begin{bmatrix} 1& -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} &1 \end{bmatrix}</math> una matriz <math>2 \times 2.</math>. Probar que <math>M</math> es un cero de <math>f.</math>.
 
<li> Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad. Sea <math>\varphi:A[X] \longrightarrow A</math> tal que
Línea 672 ⟶ 673:
<math>\varphi</math> es un homomorfismo de anillos con identidad.
 
<li> Sea <math>A = \Z_2.</math>. Sea <math>F</math> el conjunto de todas las sucesiones <math>s: \N \longrightarrow A,</math>, Con operaciones punto a punto, o sea que
<center><math>(f+g)_n := f_n + g_n \text{ y } (fg)_n := f_n \cdot g_n.</math></center>
Verificar que <math>F</math> es un anillo conmutativo con identidad. Probar que el polinomio <math>X^2-X</math> de <math>F[X]</math> tiene infinitos ceros.