Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Anillo de Polinomios»
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{{navegar|libro=Álgebra/Álgebra Abstracta (Primer Curso)/Contenidos
Línea 89 ⟶ 88:
</math></center>
{{Eqn|<math>c_n = a_0b_n + a_1b_{n-1} + \cdots + a_n b_0 = \sum_{i+j=n} a_i b_j.</math>|16-2}}
Línea 124:
<b>Lema A.</b> <i> La multiplicación definida en (16-4) es asociativa.</i>
<ul><i>
Demostración: </i> Sean <math>f,</math> <math>g</math> y <math>h</math> tres sucesiones de <math>\N</math> en <math>A</math>. Para todo <math>n</math> se cumple que
<center><math>\begin{array}{rcl}
(f(gh))_n & =& \displaystyle \sum_{i+\nu=n}f_i(gh)_{\nu} = \sum_{i+\nu=n} f_i \sum_{j+k} g_jh_k \\
Línea 235 ⟶ 234:
Por ejemplo, cada elemento <math>a</math> de <math>A</math> define la función <math>\widetilde{a}</math> que es tal que <math>\widetilde{a}_n = a\delta_{0,n}.</math>
{{DefRht|Indeterminada| Llamamos
<center><math>X_n = \delta_{1,n}.</math></center>
Es decir que <math>X=(0,1,0,0, \ldots)</math>
Línea 262 ⟶ 261:
Suponer el resultado para todo <math>1\le k \le j</math>. Es decir que para todo <math>a</math> en <math>A</math> se cumple que <math>aX^k = X^k a</math>. Entonces,
<center><math>aX^{j+1} = aX^jX = X^jaX = X^jX a= X^{j+1}a.</math></center>
El resultado sigue por inducción.
</ol>
{{QED}} </ul> <hr>
Línea 336 ⟶ 335:
{{Ejmpl|Ejemplo}}
Sea <math>A = \Z_6</math> (enteros modulo 6) y sean <math>f=3 + 2X</math>, <math>g=1+4X</math>.
Entonces,
<hr>
Línea 374 ⟶ 373:
<hr>
=== Cuerpo de las Fracciones Racionales ===
Vimos arriba que cuando <math>A</math> es un dominio de integridad, en particular un cuerpo, <math>A[X]</math> también es un dominio de integridad. Sabemos del capítulo pasado que todo dominio de integridad puede extenderse a un cuerpo de fracciones del anillo.
{{DefRht|Cuerpo de las Fracciones Racionales| Sea <math>A</math> un dominio de integridad. Llamamos <b>cuerpo de las fracciones racionales</b> al cuerpo de fracciones del dominio de integridad <math>A[X]</math>. Notación: <math>A(X)</math>.
}}
Línea 386 ⟶ 385:
=== Anillo de las Series Formales de Potencias ===
Volvamos al anillo <math>A^{\N}</math> de las sucesiones con términos en un anillo <math>A</math>. Poniendo <math>X</math> al igual que para los polinomios, tendremos, por la demostración de la proposición de representación como sumatoria de los polinomios, que podríamos escribir cada sucesión como un polinomio de grado infinito, o sea como una sumatoria sin fin
<center><math>f = \sum_{i\ge 0} a_iX^{i} = a_0 + a_1X + \cdots + a_nX^n + \cdots.</math></center>
El lector habrá encontrado en sus cursos de Cálculo expresiones análogas llamadas <i>series de potencias</i>. Por tal razón, llamaremos a los elementos de <math>A^{\N}</math> <i>series de potencias formales</i>. Simbolizaremos a <math>A^{\N}</math> como <math>A[[X]]</math> y diremos que se trata del <b>anillo de las series de potencias formales</b> en una indeterminada con coeficientes en el anillo <math>\mathbf{A}</math>.
Línea 464 ⟶ 463:
<li> Sean <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> elementos de un anillo conmutativo. Hallar una fórmula para <math>(x+y+z)^n</math>.
<li> Sea <math>A= \Z</math>. Sean <math>f,</math> <math>g</math> en <math>A^{\N}</math> tales que <math>f_n=1</math> y <math>g_n=n</math> para todo número <math>n</math>. Hallar <math>-2f+3g</math>, <math>6f-5g</math>, <math>f^2</math>, <math>g^2</math>.
<li> <math>A = \Z</math>. Sean <math>,</math> <math>g</math> en <math>A^{\N}</math> tales que <math>f_n = \delta_{2,n}</math>, <math>g_n = \delta_{3,n}</math>. Escribir de forma explícita como sucesiones a <math>f</math> y <math>g</math>. Hallar <math>f+g</math>, <math>f-g</math>, <math>fg</math>, <math>f^2</math>, <math>g^2</math>.
Línea 497 ⟶ 496:
En esta sección, veremos como definir ceros de un polinomio. Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad y sea <math>A[X]</math> el anillo de polinomios en la indeterminada <math>X</math> con coeficientes en <math>A</math>. Supongamos que <math>B</math> fuera un superanillo de <math>A</math>, o sea un anillo que contiene a <math>A</math> y que <math>\alpha</math> fuera un elemento de <math>B</math> que conmuta con todos los elementos de <math>A</math>. (En particular, si <math>B</math> es conmutativo, cualquier elemento de <math>B</math>.)
{{DefRht|Evaluación| En la situación anterior, sea <math>f=\sum_{i=0}^m a_iX^i</math> un polinomio con coeficientes en <math>A</math>. Llamamos <b>evaluación</b> de <math>f</math> en <math>\alpha</math>, al elemento de <math>B</math> definido por <center><math>\sum_{i=0}^m a_i \alpha^i.</math></center>
<math>\alpha</math> y usaremos la notación funcional <math>f(\alpha)</math> para
representarlo.
Línea 505 ⟶ 503:
<b>Convenio Notacional.</b>
Notemos que la notación <math>f(x)</math> pudiera ser ambigua, ya que si consideramos a <math>f</math> como una sucesión o sea una función con dominio <math>\N</math>, <math>f(n)</math> puede indicar el coeficiente
Línea 567 ⟶ 565:
=== Sustitución de Indeterminada ===
Sea <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad y sea <math>B = A[X]</math>, <math>B</math> es un superanillo de <math>A</math> y cada uno de sus elementos permuta con los elementos de <math>A</math>. Por lo que podemos evaluar cada polinomio en <math>A[X]</math> en un elemento <math>b</math> de <math>B</math>, o sea en otro polinomio, digamos, <math>g</math> de <math>A[X]</math>. El resultado se dice que es la <b>sustitución de la indeterminada</b> o variable <math>X</math> por <math>g(X)</math>.
{{Ejmpl|Ejemplo}}
Línea 580 ⟶ 578:
=== Los Ceros de un Polinomio ===
{{DefRht|Cero de un Polinomio| Sean <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad, <math>B</math> un superanillo de <math>A</math> y <math>f</math> un polinomio con coeficientes en <math>A</math>.
Denotaremos por <math>V_B(f)</math> (o simplemente <math>V(f)</math>, cuando el conjunto de donde se toman los ceros sea claro del contexto) al conjunto formado por todos los ceros de <math>f</math> en <math>B</math>.
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<!-- 05-31-2015 -->
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