Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Acciones de Grupos»
Contenido eliminado Contenido añadido
Sin resumen de edición |
Sin resumen de edición |
||
Línea 1:
<noinclude>{{En desarrollo}}</noinclude>
<noinclude>
{{navegar|libro=Álgebra/Álgebra Abstracta (Primer Curso)/Contenidos
Línea 119 ⟶ 120:
La siguiente proposición es de fácil verificación:
<b>Proposición 1.</b> <i>Sea <math>\phi : X \longrightarrow Y</math> un <math>G</math>-morfismo. Entonces, el grupo de isotropía de <math>x</math> está contenido en el grupo de isotropía de <math>\phi(x).</math> Además, dichos grupos coincidirán, cuando <math>\phi</math> sea inyectiva.
</i>
Sean <math>X</math> un <math>G</math>-conjunto, <math>x,</math> <math>y</math> elementos de <math>X,</math> y <math>z</math> un elemento en las órbitas de <math>x</math> y <math>y.</math> Entonces, podremos hallar <math>g,</math> <math>g'</math> en <math>G</math> tales que <math>z = gx = g'y.</math> Por lo que, <math>x = g^{-1}g'y;</math> lo que implica que <math>x</math> está en la órbita de <math>y</math> y viceversa. Por lo tanto, las órbitas o son iguales o no se intersecan. Es decir, las órbitas de la acción de <math>G</math> definen una partición de <math>X.</math> En otras palabras:
<b>Proposición 2. </b> <i>Sea <math>X</math> un <math>G</math>c-onjunto. Si definimos la relación <math>\sim_G</math> por <math>x \sim_G y,</math> ssi, <math>x = gy</math> para algún <math>g</math> en <math>G,</math> se tiene que: <math>\sim_G</math> es una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia coinciden con las órbitas de <math>G</math> en <math>X.</math>
</i>
Línea 136 ⟶ 137:
La función estará bien definida, ya que si <math>g'=gh,</math> se tendría que <math>g'x = (gh)x = g(hx) = gx.</math> Además <math>\phi(eH)=x,</math> y <math>\phi(g' (gH)) = \phi((g'g)H)= (g'g)x = g'(gx) g' \phi(gH);</math> Es decir, <math>\phi</math> es un <math>G</math>-morfismo. Es decir, que hemos probado la siguiente proposición.
<b>Proposición 3. </b> <i>Sea <math>X</math> un <math>G</math>-conjunto, <math>H</math> un subgrupo de <math>G.</math> y un <math>G</math>-mor\-fismo <math>\phi</math> de <math>G/H</math> en <math>X</math> tal que <math>\phi(eH)=H,</math> ssi, <math>H < G_x.</math> Dicha aplicación es un <math>G</math>-isomorfismo cuando <math>H=G_x;</math> Es decir, como <math>G</math>-conjuntos son isomorfos <math>G/G_x</math> y <math>G\cdot x</math> (la órbita de <math>x</math>). </i>
<b>Corolario 3.1. </b> <i> Sea <math>G</math> un grupo finito que actúa en el conjunto finito <math>X.</math> Entonces,
<center><math>|G|/|G_x| = |G : G_x| = |G \cdot x |.</math></center>
</i> <hr>
Línea 144 ⟶ 145:
Las órbitas de <math>G</math> en el <math>G</math>-conjunto <math>X</math> determinan una partición de <math>X.</math> Llamaremos <i>conjunto de representantes de las órbitas</i>, a un subconjunto <math>Y</math> de <math>X</math> que contiene exactamente un elemento de cada una de las órbitas.
<b>Corolario 3.2. (Conteo para <math>G</math>-conjuntos) </b><i>
Sea <math>X</math> un <math>G</math>-conjunto finito. Entonces,
<center><math>|X| = \sum_{y \in Y} |G:G_y|.</math></center>
Línea 220 ⟶ 221:
Usaremos el siguiente resultado de la Geometría (ver apéndice citado arriba).
<b>Proposición 4. </b><i> Los puntos equidistantes a dos puntos dados forman una línea que es perpendicular a la linea que pasa por los puntos y corta a esa línea en el punto medio entre los puntos.
</i>
Llamamos <b>simetral ortogonal</b> de los puntos a la línea de la proposición.
Línea 237 ⟶ 238:
Sean <math>A </math> y <math>B </math> los puntos fijos. Supongamos que <math>f </math> no es la identidad. Entonces, debe haber un punto <math>P </math> que no es colineal con <math>A </math> y <math>B </math>, tal que <math>f(P) \neq P </math>. Sea <math>\sigma </math> la reflexión en la simetral ortogonal <math>\ell </math> de <math>P </math> y <math>f(P) </math>. Entonces, razonando, como en el caso anterior, tenemos que <math>A </math> y <math>B </math> están en <math>\ell </math>, por lo que son fijas por <math>\sigma </math>. Tenemos entonces, que
<center><math>\sigma(f(A))= A, \quad \sigma(f(B))= B, \quad\text{ y } \sigma(f(P)) = P, </math></center> por lo que <math>\sigma f </math> es una congruencia que fija tres puntos no colineales. del caso anterior, tenemos que <math>\sigma f = id </math>, de donde, <math>\sigma \sigma f = \sigma </math>, de donde <math>f=\sigma </math>.
<li> <i>Si <math>f </math> tiene un único punto fijo, entonces <math>f </math> es un producto de dos reflexiones cuyos ejes se cortan en el punto fijo</i>.
Línea 284 ⟶ 285:
== Notas ==
<!-- abc -->
<!-- 05-
| |||