Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Acciones de Grupos»

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Línea 205:
El grupo <math>\textsf{GL}_2(\R) </math> es el grupo de las matrices <math>2 \times 2 </math> (equivalente a las transformaciones lineales invertibles).
Cuando <math>M= \begin{bmatrix} a& b \\c & d \end{bmatrix} </math>, su acción sobre un punto <math>P </math> (representado por una matrix columna) es la multiplicación de matrices. Es decir,
<center><math>M(P) = M P = \begin{bmatrix}a& b \\c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix}p_1 &\\ p_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ap_1 + bp_2 \\ cp_1 + dp_2 \end{bmatrix}.</math></center>
 
Se verifica (ver apéndice~\ref{chGeometrico}) [[../Grupos Geométricos|Los Grupos Geométricos]] que cuando <math>u </math> es un elemento de <math>\textsf{GL}_2(\R) </math>, <math>u </math> envía líneas sobre líneas y preserva el paralelismo (si dos líneas son paralelas, sus imágenes también lo son).
 
Las rotaciones alrededor del origen forma un grupo que simbolizaremos aquí por <math>\textsf{Rot}_0 </math>, se verifica que tales rotaciones son lineales con matriz dada por
Línea 213:
donde <math>\theta </math> es el ángulo de la rotación.
 
Un cómputo algebraico prueba que si <math>r \neq id </math> es un rotación alrededor del origen, el único punto fijo por <math>r </math> es el origen. Cuando <math>P \neq (0,0) </math>, se tiene que la orbita de <math>P </math> es la circunferencia con centro en el origen y radio la distancia de <math>P </math> al origen.
 
=== Clasificación de las Congruencias ===