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Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Acciones de Grupos»

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Línea 56:
<hr>
 
{{DefRht|G-morfismo|
Sean <math>X,</math> <math>Y</math> dos <math>G</math>-conjuntos. Decimos que una función <math>f : X \longrightarrow Y</math> es un <math>G</math>-morfismo, ssi, <math>f</math> permuta con la acción. Es decir, ssi,
<center><math>f(g \cdot x ) = g \cdot f(x).</math></center>
Línea 163:
donde los <math>C_j</math> denotan a las distintas clases de conjugación de <math>G,</math> concluir que hay elementos diferentes del neutro que tienen clases de conjugación consistentes de un único elemento. ¿Cuál es el número mínimo de esos elementos?
</ol>
 
<li> El <i>centro</i> de un grupo consiste de todos aquellos elementos que permutan con todos los elementos del grupo.
<center><math>z(G) := \{ g \in G : \forall x \in G, gx = xg \}.</math></center>
Línea 179:
 
<li> Sea <math>G</math> el subgrupo de <math>\textsf{S}_5</math> generado por <math>(12) (34)</math> y <math>(12) (35).</math> Considérese la acción natural izquierda de <math>G</math> en <math>\{1,2,3,4,5\}.</math> ¿Cuáles son las órbitas de cada elemento? ¿Cuáles son sus grupos de isotropía?
 
<li> Sean <math>X,</math> <math>Y</math> dos <math>G</math>-conjuntos. Definir una estructura de <math>G</math>-conjunto en <math>X \times Y</math> de modo que las proyecciones sean <math>G</math>-morfismos.
 
<li> Sea <math>X</math> un conjunto, <math>X^n</math> el producto cartesiano de <math>n</math> copias de <math>X.</math> Para <math>\sigma</math> en <math>\textsf{S}_n,</math> definir
<center><math>\sigma \cdot (x_1, \ldots, x_n) = (x_{\sigma^{-1}(1)}, \ldots, x_{\sigma^{-1}(n)}).</math></center> Probar que la definición anterior define una acción de <math>\textsf{S}_n</math> en <math>X^n.</math>
Línea 188:
== Los Grupos Geométricos ==
 
{{Marco|El apéndice \ref{chGeometrico} contiene definiciones, nociones y teoremas relacionados con la Geometría. En particular, los grupos asociados a las nociones geométricas.
}}
 
Línea 195:
=== Acción de las Traslaciones ===
 
La traslación por $<math>C$ </math> es la transformación biyectiva $<math>t_C: P \mapsto C+P$ </math>. Luego, $<math>P$ </math> es fijo por $<math>t_C$ </math>, ssi, $<math>C+P = P$ </math>, ssi, $<math>C=0$ </math>. Es decir, que una traslación deja fijo un punto, ssi, es la traslación por el vector nulo, ssi, $<math>t=id$ </math>. Luego, si una traslación fija un punto, fija a todos los puntos.
 
Las traslaciones determinan el subgrupo $<math>\GT_2textsf{T}_2(\R)$ </math> de transformaciones (ver la sección citada).
 
Notemos que dados puntos $<math>A$ </math> y $<math>B$ </math> del plano, poniendo $<math>C =B-A$ </math>, tenemos que $<math>t_C(A)=B$ </math>. Es decir que el grupo de las traslaciones tiene una sola órbita, lo que equivale a afirmar que actúa transitivamente en el plano.▼
 
▲Notemos que dados puntos $A$ y $B$ del plano, poniendo $C =B-A$, tenemos que $t_C(A)=B$. Es decir que el grupo de las traslaciones tiene una sola órbita, lo que equivale a afirmar que actúa transitivamente en el plano.
=== Acción de las Transformaciones Lineales ===
 
El grupo $<math>\GL_2textsf{GL}_2(\R)$ </math> es el grupo de las matrices $<math>2 \times 2$ </math> (equivalente a las transformaciones lineales invertibles).
Cuando $<math>M= \begin{bmatrix} a& b \\c & d \end{bmatrix}$ </math>, su acción sobre un punto $<math>P$ </math> (representado por una matrix columna) es la multiplicación de matrices. Es decir,
$$<center><math>M(P) = M P = \begin{bmatrix}a& b \\c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix}p_1 & p_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ap_1 + bp_2 \\ cp_1 + dp_2 \end{bmatrix}.$$</math></center>
 
Se verifica (ver apéndice~\ref{chGeometrico}) que cuando $<math>u$ </math> es un elemento de $<math>\GL_2textsf{GL}_2(\R)$ </math>, $<math>u$ </math> envía líneas sobre líneas y preserva el paralelismo (si dos líneas son paralelas, sus imágenes también lo son).
 
Las rotaciones alrededor del origen forma un grupo que simbolizaremos aquí por $<math>\textsf{Rot}_0$ </math>, se verifica que tales rotaciones son lineales con matriz dada por▼
$$<center><math>\begin{bmatrix} \cos(\theta) & - \sen(\theta) \\ \sen(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix},$$</math></center>▼
donde $<math>\theta$ </math> es el ángulo de la rotación.▼
 
Un cómputo algebraico prueba que si $<math>r \neq id$ </math> es un rotación alrededor del origen, el único punto fijo por $<math>r$ </math> es el origen. Cuando $<math>P \neq (0,0)$ </math>, se tiene que la orbita de $<math>P$ </math> es la circunferencia con centro en el origen y radio la distancia de $<math>P$ </math> al origen.▼
▲Las rotaciones alrededor del origen forma un grupo que simbolizaremos aquí por $\textsf{Rot}_0$, se verifica que tales rotaciones son lineales con matriz dada por
▲$$\begin{bmatrix} \cos(\theta) & - \sen(\theta) \\ \sen(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix},$$
▲donde $\theta$ es el ángulo de la rotación.
 
▲ Un cómputo algebraico prueba que si $r \neq id$ es un rotación alrededor del origen, el único punto fijo por $r$ es el origen. Cuando $P \neq (0,0)$, se tiene que la orbita de $P$ es la circunferencia con centro en el origen y radio la distancia de $P$ al origen.
=== Clasificación de las Congruencias ===
 
Ilustraremos la importancia de la noción de punto fijo, clasificando a las congruencias, es decir haciendo un listado de todas las posibles congruencias del plano.
 
Usaremos el siguiente resultado de la Geometría (ver apéndice citado arriba).
\begin{proposicion} Los puntos equidistantes a dos puntos dados forman una línea que es perpendicular a la linea que pasa por los puntos y corta a esa línea en el punto medio entre los puntos. ▼
\end{proposicion}
Llamamos \textbf{simetral ortogonal} de los puntos a la línea de la proposición.▼
 
▲\begin{proposicion}<b>Proposición. </b><i> Los puntos equidistantes a dos puntos dados forman una línea que es perpendicular a la linea que pasa por los puntos y corta a esa línea en el punto medio entre los puntos.
Notemos que dada una línea $\ell$ la reflexión $\sigma$ entorno a esa línea, fija cada punto de la línea, y envía cada punto $P$ que no está en la línea en un punto $\sigma(P)$ tal que la línea es la simetral ortogonal de $P$ y $\sigma(P)$.▼
</i>
▲Llamamos \textbf{<b>simetral ortogonal}</b> de los puntos a la línea de la proposición.
 
▲Notemos que dada una línea $<math>\ell$ </math> la reflexión $<math>\sigma$ </math> entorno a esa línea, fija cada punto de la línea, y envía cada punto $<math>P$ </math> que no está en la línea en un punto $<math>\sigma(P)$ </math> tal que la línea es la simetral ortogonal de $<math>P$ </math> y $<math>\sigma(P)$ </math>.
 
Sea $<math>f$ </math> una congruencia del plano.▼
<ul> ▼
<li> <i>Si $<math>f$ </math> tiene tres puntos no colineales fijos entonces $<math>f=id$ </math>; es decir $<math>f$ </math> deja a todos los puntos fijos</i>.▼
 
Supongamos que $<math>A$ </math>, $<math>B$ </math> y $<math>C$ </math> son los tres puntos fijos. Supongamos que $<math>f \neq id$ </math>, es decir supongamos que hay un punto $<math>P$ </math> tal que $<math>f(P) \neq P$ </math>. Sea $<math>X$ </math> fijo por $<math>f$ </math>, o sea $<math>f(X) = X$ </math>. Entonces,▼
$$<center><math>d(f(P),X) = d(f(P),f(X)) = d(P,X)$$</math></center>.▼
Lo que dice que $<math>X$ </math> equidista de $<math>P$ </math> y $<math>f(P)$ </math>, por lo que está en la simetral ortogonal de esos puntos. Como esto implica que $<math>A$ </math>, $<math>B$ </math> y $<math>C$ </math> son colineales (están en la misma línea), hemos llegado a una contradicción. Por lo que $<math>f$ </math> debe ser la identidad. \qedhere▼
 
<li> <i>Si $<math>f$ </math> tiene dos puntos fijos, $<math>f$ </math> es la identidad o una reflexión entorno a la línea que pasa por esos dos puntos</i>.▼
 
Sean $<math>A$ </math> y $<math>B$ </math> los puntos fijos. Supongamos que $<math>f$ </math> no es la identidad. Entonces, debe haber un punto $<math>P$ </math> que no es colineal con $<math>A$ </math> y $<math>B$ </math>, tal que $<math>f(P) \neq P$ </math>. Sea $<math>\sigma$ </math> la reflexión en la simetral ortogonal $<math>\ell$ </math> de $<math>P$ </math> y $<math>f(P)$ </math>. Entonces, razonando, como en el caso anterior, tenemos que $<math>A$ </math> y $<math>B$ </math> están en $<math>\ell$ </math>, por lo que son fijas por $<math>\sigma$ </math>. Tenemos entonces, que▼
<center><math>\sigma(f(A))= A, \quad \sigma(f(B))= B, \quad\text{ y } \sigma(f(P)) = P, </math></center> por lo que $<math>\sigma f$ </math> es una congruencia que fija tres puntos no colineales. del caso anterior, tenemos que $<math>\sigma f = id$ </math>, de donde, $<math>\sigma \sigma f = \sigma$ </math>, de donde $<math>f=\sigma$ </math>. \qedhere▼
 
<li> <i>Si <math>f </math> tiene un único punto fijo, entonces <math>f </math> es un producto de dos reflexiones cuyos ejes se cortan en el punto fijo</i>.
 
Sea $<math>A$ </math> el punto fijo. Entonces, para todo $<math>P \neq A$ </math>, $<math>f(P) \neq P$ </math>. Razonando como arriba, $<math>A$ </math> pertenece a la simetral ortogonal a $<math>P$ </math> y $<math>f(P)$ </math>. Sea $<math>\sigma$ </math> la reflexión entorno a esa simetral. Entonces,▼
▲Sea $f$ una congruencia del plano.
$$<center><math>\sigma(f(A))= \sigma(A) =A, \quad \sigma(f(P)) = P.$$</math></center>▼
▲<ul>
Por lo tanto, $<math>\sigma f$ </math> es una congruencia que deja dos puntos fijos, Por lo que es una reflexión, digamos que $<math>\sigma f = \sigma_1$ </math>. Luego, (multiplicando por $<math>\sigma$ </math> en ambos lados, tenemos que %f = \sigma sigma_1$ </math>.▼
▲<li> <i>Si $f$ tiene tres puntos no colineales fijos entonces $f=id$; es decir $f$ deja a todos los puntos fijos</i>.
▲ Supongamos que $A$, $B$ y $C$ son los tres puntos fijos. Supongamos que $f \neq id$, es decir supongamos que hay un punto $P$ tal que $f(P) \neq P$. Sea $X$ fijo por $f$, o sea $f(X) = X$. Entonces,
▲ $$d(f(P),X) = d(f(P),f(X)) = d(P,X)$$.
▲ Lo que dice que $X$ equidista de $P$ y $f(P)$, por lo que está en la simetral ortogonal de esos puntos. Como esto implica que $A$, $B$ y $C$ son colineales (están en la misma línea), hemos llegado a una contradicción. Por lo que $f$ debe ser la identidad. \qedhere
▲<li> <i>Si $f$ tiene dos puntos fijos, $f$ es la identidad o una reflexión entorno a la línea que pasa por esos dos puntos</i>.
▲ Sean $A$ y $B$ los puntos fijos. Supongamos que $f$ no es la identidad. Entonces, debe haber un punto $P$ que no es colineal con $A$ y $B$, tal que $f(P) \neq P$. Sea $\sigma$ la reflexión en la simetral ortogonal $\ell$ de $P$ y $f(P)$. Entonces, razonando, como en el caso anterior, tenemos que $A$ y $B$ están en $\ell$, por lo que son fijas por $\sigma$. Tenemos entonces, que
$$\sigma(f(A))= A, \quad \sigma(f(B))= B, \quad\text{ y } \sigma(f(P)) = P, $$
▲por lo que $\sigma f$ es una congruencia que fija tres puntos no colineales. del caso anterior, tenemos que $\sigma f = id$, de donde, $\sigma \sigma f = \sigma$, de donde $f=\sigma$. \qedhere
 
<li> <i>Si $<math>f$ tiene</math> unno tiene únicopuntos punto fijofijos, entonces $<math>f$ </math> es unel producto de dostres reflexiones cuyos ejes se cortan en el punto fijo.</i>.
▲ Sea $A$ el punto fijo. Entonces, para todo $P \neq A$, $f(P) \neq P$. Razonando como arriba, $A$ pertenece a la simetral ortogonal a $P$ y $f(P)$. Sea $\sigma$ la reflexión entorno a esa simetral. Entonces,
▲ $$\sigma(f(A))= \sigma(A) =A, \quad \sigma(f(P)) = P.$$
▲ Por lo tanto, $\sigma f$ es una congruencia que deja dos puntos fijos, Por lo que es una reflexión, digamos que $\sigma f = \sigma_1$. Luego, (multiplicando por $\sigma$ en ambos lados, tenemos que %f = \sigma sigma_1$.
<li> <i>Si $f$ no tiene puntos fijos, $f$ es el producto de tres reflexiones.</i>
 
Sea $<math>A$ </math> un punto cualquiera y sea $<math>\sigma$ </math> la reflexión entorno a la simetral ortogonal de $<math>A$ </math> y $<math>f(A)$ </math>. Entonces, $<math>\sigma(f(A)) = A$ </math>, lo que prueba que $<math>\sigma f$ </math> tiene un punto fijo, por lo que es un producto de dos reflexiones, digamos $<math>\sigma_1\sigma_2$ </math>. Procediendo, como arriba, se tiene que
$<math>f= \sigma\sigma_1\sigma_2$ </math>.
</ul>
Los razonamientos anteriores prueban el siguiente teorema.
 
Línea 259:
 
 
 
=== Ejercicios ===
 
<ol>
<li> Sea $<math>A$ </math> un punto del plano. Verificar que las congruencias que fijan al punto $<math>A$ </math> forman un grupo de transformaciones
 
<li> Sea $<math>A$ </math> un punto del plano. Probar que las rotaciones alrededor de $<math>A$ </math> forman un grupo $<math>\textsf{Rot}_A$ </math>. Sea $<math>t= t_A$ </math> y sea $<math>r$ </math> una rotación alrededor del origen, o sea un elemento de $<math>\textsf{Rot}_0$ </math>.
<ol type="a">
<li> Probar que $<math>trt^{-1}$ </math> es una rotación alrededor de $<math>A$ </math>.
<li> Probar que $<math>\textsf{Rot}_A$ </math> y $<math>\textsf{Rot}_)$ </math> son subgrupos conjugados del grupo de transformaciones del plano.
</ol>
 
<li> Una simetría central con centro en un punto $<math>C$ </math> es una transformación $<math>s_C$ </math> que envía cada punto $<math>P$ </math> en un punto $<math>s_C(P) = 2C - P$ </math>.
<ol type="a">
<li> Probar que $<math>C = (1/2)(P + \S_C(P))$ </math> (punto medio entre $<math>P$ </math> y su imagen.
<li> Probar que las líneas que pasan por $<math>P$ </math> quedan fijas globalmente por $<math>s_C$ </math>.
<li> Probar que $<math>s_C^2 = d$ </math> y que $<math>s_Cs_D$ </math>, $<math>C \neq D$ </math> es una traslación.
<li> Probar que el producto de una traslación por una simetría central es una simetría central.
\item<li> Si $<math>C$ </math> es el origen, $<math>s_C$ </math> es lineal. Hallar la correspondiente matriz.
</ol>
 
</ol>
 
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