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Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Acciones de Grupos»

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Línea 193:
En esta sección veremos algunas de las acciones de los grupos geométricos del plano.
 
=== Acción de las Traslaciones ===
 
La traslación por $C$ es la transformación biyectiva $t_C: P \mapsto C+P$. Luego, $P$ es fijo por $t_C$, ssi, $C+P = P$, ssi, $C=0$. Es decir, que una traslación deja fijo un punto, ssi, es la traslación por el vector nulo, ssi, $t=id$. Luego, si una traslación fija un punto, fija a todos los puntos.
Línea 227:
 
Sea $f$ una congruencia del plano.
<ul>
\begin{itemize}
\item<li> \textit{<i>Si $f$ tiene tres puntos no colineales fijos entonces $f=id$; es decir $f$ deja a todos los puntos fijos}</i>.
Supongamos que $A$, $B$ y $C$ son los tres puntos fijos. Supongamos que $f \neq id$, es decir supongamos que hay un punto $P$ tal que $f(P) \neq P$. Sea $X$ fijo por $f$, o sea $f(X) = X$. Entonces,
Línea 234:
Lo que dice que $X$ equidista de $P$ y $f(P)$, por lo que está en la simetral ortogonal de esos puntos. Como esto implica que $A$, $B$ y $C$ son colineales (están en la misma línea), hemos llegado a una contradicción. Por lo que $f$ debe ser la identidad. \qedhere
\item<li> \textit{<i>Si $f$ tiene dos puntos fijos, $f$ es la identidad o una reflexión entorno a la línea que pasa por esos dos puntos}</i>.
Sean $A$ y $B$ los puntos fijos. Supongamos que $f$ no es la identidad. Entonces, debe haber un punto $P$ que no es colineal con $A$ y $B$, tal que $f(P) \neq P$. Sea $\sigma$ la reflexión en la simetral ortogonal $\ell$ de $P$ y $f(P)$. Entonces, razonando, como en el caso anterior, tenemos que $A$ y $B$ están en $\ell$, por lo que son fijas por $\sigma$. Tenemos entonces, que
Línea 240:
por lo que $\sigma f$ es una congruencia que fija tres puntos no colineales. del caso anterior, tenemos que $\sigma f = id$, de donde, $\sigma \sigma f = \sigma$, de donde $f=\sigma$. \qedhere
 
\item<li> \textit{<i>Si $f$ tiene un único punto fijo, entonces $f$ es un producto de dos reflexiones cuyos ejes se cortan en el punto fijo}</i>.
Sea $A$ el punto fijo. Entonces, para todo $P \neq A$, $f(P) \neq P$. Razonando como arriba, $A$ pertenece a la simetral ortogonal a $P$ y $f(P)$. Sea $\sigma$ la reflexión entorno a esa simetral. Entonces,
Línea 246:
Por lo tanto, $\sigma f$ es una congruencia que deja dos puntos fijos, Por lo que es una reflexión, digamos que $\sigma f = \sigma_1$. Luego, (multiplicando por $\sigma$ en ambos lados, tenemos que %f = \sigma sigma_1$.
\item<li> \textit{<i>Si $f$ no tiene puntos fijos, $f$ es el producto de tres reflexiones.}</i>
 
Sea $A$ un punto cualquiera y sea $\sigma$ la reflexión entorno a la simetral ortogonal de $A$ y $f(A)$. Entonces, $\sigma(f(A)) = A$, lo que prueba que $\sigma f$ tiene un punto fijo, por lo que es un producto de dos reflexiones, digamos $\sigma_1\sigma_2$. Procediendo, como arriba, se tiene que
$f= \sigma\sigma_1\sigma_2$.
</ul>
\end{itemize}
Los razonamientos anteriores prueban el siguiente teorema.
 
\begin{teorema}[<b>Teorema de Cartan--Dieudonné] </b> <i>Cada congruencia del plano es el producto de a lo más tres reflexiones.</i>
 
\end{teorema}
 
Notemos que los cómputos anteriores muestran que las rotaciones son producto de dos reflexiones cuyos ejes se cortan. Se puede probar que el producto de dos reflexiones cuyos ejes son paralelos es una traslación.
Línea 262:
=== Ejercicios ===
 
<ol>
\begin{enumerate}
\item <li> Sea $A$ un punto del plano. Verificar que las congruencias que fijan al punto $A$ forman un grupo de transformaciones
\item <li> Sea $A$ un punto del plano. Probar que las rotaciones alrededor de $A$ forman un grupo $\textsf{Rot}_A$. Sea $t= t_A$ y sea $r$ una rotación alrededor del origen, o sea un elemento de $\textsf{Rot}_0$.
<ol>
\begin{enumerate}
\item <li> Probar que $trt^{-1}$ es una rotación alrededor de $A$.
\item <li> Probar que $\textsf{Rot}_A$ y $\textsf{Rot}_)$ son subgrupos conjugados del grupo de transformaciones del plano.
\end{enumerate}</ol>
 
\item <li> Una simetría central con centro en un punto $C$ es una transformación $s_C$ que envía cada punto $P$ en un punto $s_C(P) = 2C - P$.
<ol>
\begin{enumerate}
\item <li> Probar que $C = (1/2)(P + \S_C(P))$ (punto medio entre $P$ y su imagen.
\item <li> Probar que las líneas que pasan por $P$ quedan fijas globalmente por $s_C$.
\item <li> Probar que $s_C^2 = d$ y que $s_Cs_D$, $C \neq D$ es una traslación.
\item <li> Probar que el producto de una traslación por una simetría central es una simetría central.
\item Si $C$ es el origen, $s_C$ es lineal. Hallar la correspondiente matriz.
</ol>
\end{enumerate}
</ol>
\end{enumerate}
 
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