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Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Acciones de Grupos»

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\section{== Los Grupos Geométricos} ==
 
{{Marco| El apéndice \ref{chGeometrico} contiene definiciones, nociones y teoremas relacionados con la Geometría. En particular, los grupos asociados a las nociones geométricas. ▼
\begin{center}
\framebox{\parbox{0.9\textwidth}{%
▲El apéndice \ref{chGeometrico} contiene definiciones, nociones y teoremas relacionados con la Geometría. En particular, los grupos asociados a las nociones geométricas.
}}
\end{center}
 
En esta sección veremos algunas de las acciones de los grupos geométricos del plano.
 
 
=== Acción de las Traslaciones ==
%Una transformación afín $\varphi$ es una transformación del plano tal que
%\begin{equation}\tag{Trans--Afín}
%\varphi=t u,
%\end{equation}
%donde $t$ es una traslación (ver la sección \ref{secTras}) y $u$ es lineal %invertible, o sea un elemento de $\GL_2(\R)$ (ver la sección~\ref{secTL}).
 
\subsection{Acción de las Traslaciones} La traslación por $C$ es la transformación biyectiva $t_C: P \mapsto C+P$. Luego, $P$ es fijo por $t_C$, ssi, $C+P = P$, ssi, $C=0$. Es decir, que una traslación deja fijo un punto, ssi, es la traslación por el vector nulo, ssi, $t=id$. Luego, si una traslación fija un punto, fija a todos los puntos.
 
Las traslaciones determinan el subgrupo $\GT_2(\R)$ de transformaciones (ver la sección citada).
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Notemos que dados puntos $A$ y $B$ del plano, poniendo $C =B-A$, tenemos que $t_C(A)=B$. Es decir que el grupo de las traslaciones tiene una sola órbita, lo que equivale a afirmar que actúa transitivamente en el plano.
\subsection{=== Acción de las Transformaciones Lineales} ===
 
El grupo $\GL_2(\R)$ es el grupo de las matrices $2 \times 2$ (equivalente a las transformaciones lineales invertibles).
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Un cómputo algebraico prueba que si $r \neq id$ es un rotación alrededor del origen, el único punto fijo por $r$ es el origen. Cuando $P \neq (0,0)$, se tiene que la orbita de $P$ es la circunferencia con centro en el origen y radio la distancia de $P$ al origen.
\subsection{=== Clasificación de las Congruencias} ===
Ilustraremos la importancia de la noción de punto fijo, clasificando a las congruencias, es decir haciendo un listado de todas las posibles congruencias del plano.
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\subsection{=== Ejercicios} ===
 
\begin{enumerate}
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\end{enumerate}
 
%\section{<!-- == Comentarios} == -->
 
== Notas ==
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