Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Acciones de Grupos»

Contenido eliminado Contenido añadido
Sin resumen de edición
Línea 185:
<center><math>\sigma \cdot (x_1, \ldots, x_n) = (x_{\sigma^{-1}(1)}, \ldots, x_{\sigma^{-1}(n)}).</math></center> Probar que la definición anterior define una acción de <math>\textsf{S}_n</math> en <math>X^n.</math>
</ol>
 
\section{Los Grupos Geométricos}
 
\begin{center}
\framebox{\parbox{0.9\textwidth}{%
El apéndice \ref{chGeometrico} contiene definiciones, nociones y teoremas relacionados con la Geometría. En particular, los grupos asociados a las nociones geométricas.
}}
\end{center}
 
En esta sección veremos algunas de las acciones de los grupos geométricos del plano.
 
 
%Una transformación afín $\varphi$ es una transformación del plano tal que
%\begin{equation}\tag{Trans--Afín}
%\varphi=t u,
%\end{equation}
%donde $t$ es una traslación (ver la sección \ref{secTras}) y $u$ es lineal %invertible, o sea un elemento de $\GL_2(\R)$ (ver la sección~\ref{secTL}).
 
\subsection{Acción de las Traslaciones} La traslación por $C$ es la transformación biyectiva $t_C: P \mapsto C+P$. Luego, $P$ es fijo por $t_C$, ssi, $C+P = P$, ssi, $C=0$. Es decir, que una traslación deja fijo un punto, ssi, es la traslación por el vector nulo, ssi, $t=id$. Luego, si una traslación fija un punto, fija a todos los puntos.
 
Las traslaciones determinan el subgrupo $\GT_2(\R)$ de transformaciones (ver la sección citada).
 
Notemos que dados puntos $A$ y $B$ del plano, poniendo $C =B-A$, tenemos que $t_C(A)=B$. Es decir que el grupo de las traslaciones tiene una sola órbita, lo que equivale a afirmar que actúa transitivamente en el plano.
\subsection{Acción de las Transformaciones Lineales}
 
El grupo $\GL_2(\R)$ es el grupo de las matrices $2 \times 2$ (equivalente a las transformaciones lineales invertibles).
Cuando $M= \begin{bmatrix} a& b \\c & d \end{bmatrix}$, su acción sobre un punto $P$ (representado por una matrix columna) es la multiplicación de matrices. Es decir,
$$M(P) = M P = \begin{bmatrix}a& b \\c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix}p_1 & p_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ap_1 + bp_2 \\ cp_1 + dp_2 \end{bmatrix}.$$
Se verifica (ver apéndice~\ref{chGeometrico}) que cuando $u$ es un elemento de $\GL_2(\R)$, $u$ envía líneas sobre líneas y preserva el paralelismo (si dos líneas son paralelas, sus imágenes también lo son).
 
Las rotaciones alrededor del origen forma un grupo que simbolizaremos aquí por $\textsf{Rot}_0$, se verifica que tales rotaciones son lineales con matriz dada por
$$\begin{bmatrix} \cos(\theta) & - \sen(\theta) \\ \sen(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix},$$
donde $\theta$ es el ángulo de la rotación.
 
Un cómputo algebraico prueba que si $r \neq id$ es un rotación alrededor del origen, el único punto fijo por $r$ es el origen. Cuando $P \neq (0,0)$, se tiene que la orbita de $P$ es la circunferencia con centro en el origen y radio la distancia de $P$ al origen.
\subsection{Clasificación de las Congruencias}
Ilustraremos la importancia de la noción de punto fijo, clasificando a las congruencias, es decir haciendo un listado de todas las posibles congruencias del plano.
Usaremos el siguiente resultado de la Geometría (ver apéndice citado arriba).
\begin{proposicion} Los puntos equidistantes a dos puntos dados forman una línea que es perpendicular a la linea que pasa por los puntos y corta a esa línea en el punto medio entre los puntos.
\end{proposicion}
Llamamos \textbf{simetral ortogonal} de los puntos a la línea de la proposición.
 
Notemos que dada una línea $\ell$ la reflexión $\sigma$ entorno a esa línea, fija cada punto de la línea, y envía cada punto $P$ que no está en la línea en un punto $\sigma(P)$ tal que la línea es la simetral ortogonal de $P$ y $\sigma(P)$.
 
Sea $f$ una congruencia del plano.
\begin{itemize}
\item \textit{Si $f$ tiene tres puntos no colineales fijos entonces $f=id$; es decir $f$ deja a todos los puntos fijos}.
Supongamos que $A$, $B$ y $C$ son los tres puntos fijos. Supongamos que $f \neq id$, es decir supongamos que hay un punto $P$ tal que $f(P) \neq P$. Sea $X$ fijo por $f$, o sea $f(X) = X$. Entonces,
$$d(f(P),X) = d(f(P),f(X)) = d(P,X)$$.
Lo que dice que $X$ equidista de $P$ y $f(P)$, por lo que está en la simetral ortogonal de esos puntos. Como esto implica que $A$, $B$ y $C$ son colineales (están en la misma línea), hemos llegado a una contradicción. Por lo que $f$ debe ser la identidad. \qedhere
\item \textit{Si $f$ tiene dos puntos fijos, $f$ es la identidad o una reflexión entorno a la línea que pasa por esos dos puntos}.
Sean $A$ y $B$ los puntos fijos. Supongamos que $f$ no es la identidad. Entonces, debe haber un punto $P$ que no es colineal con $A$ y $B$, tal que $f(P) \neq P$. Sea $\sigma$ la reflexión en la simetral ortogonal $\ell$ de $P$ y $f(P)$. Entonces, razonando, como en el caso anterior, tenemos que $A$ y $B$ están en $\ell$, por lo que son fijas por $\sigma$. Tenemos entonces, que
$$\sigma(f(A))= A, \quad \sigma(f(B))= B, \quad\text{ y } \sigma(f(P)) = P, $$
por lo que $\sigma f$ es una congruencia que fija tres puntos no colineales. del caso anterior, tenemos que $\sigma f = id$, de donde, $\sigma \sigma f = \sigma$, de donde $f=\sigma$. \qedhere
 
\item \textit{Si $f$ tiene un único punto fijo, entonces $f$ es un producto de dos reflexiones cuyos ejes se cortan en el punto fijo}.
Sea $A$ el punto fijo. Entonces, para todo $P \neq A$, $f(P) \neq P$. Razonando como arriba, $A$ pertenece a la simetral ortogonal a $P$ y $f(P)$. Sea $\sigma$ la reflexión entorno a esa simetral. Entonces,
$$\sigma(f(A))= \sigma(A) =A, \quad \sigma(f(P)) = P.$$
Por lo tanto, $\sigma f$ es una congruencia que deja dos puntos fijos, Por lo que es una reflexión, digamos que $\sigma f = \sigma_1$. Luego, (multiplicando por $\sigma$ en ambos lados, tenemos que %f = \sigma sigma_1$.
\item \textit{Si $f$ no tiene puntos fijos, $f$ es el producto de tres reflexiones.}
 
Sea $A$ un punto cualquiera y sea $\sigma$ la reflexión entorno a la simetral ortogonal de $A$ y $f(A)$. Entonces, $\sigma(f(A)) = A$, lo que prueba que $\sigma f$ tiene un punto fijo, por lo que es un producto de dos reflexiones, digamos $\sigma_1\sigma_2$. Procediendo, como arriba, se tiene que
$f= \sigma\sigma_1\sigma_2$.
\end{itemize}
Los razonamientos anteriores prueban el siguiente teorema.
 
\begin{teorema}[Teorema de Cartan--Dieudonné] Cada congruencia del plano es el producto de a lo más tres reflexiones.
\end{teorema}
 
Notemos que los cómputos anteriores muestran que las rotaciones son producto de dos reflexiones cuyos ejes se cortan. Se puede probar que el producto de dos reflexiones cuyos ejes son paralelos es una traslación.
 
 
\subsection{Ejercicios}
 
\begin{enumerate}
\item Sea $A$ un punto del plano. Verificar que las congruencias que fijan al punto $A$ forman un grupo de transformaciones
\item Sea $A$ un punto del plano. Probar que las rotaciones alrededor de $A$ forman un grupo $\textsf{Rot}_A$. Sea $t= t_A$ y sea $r$ una rotación alrededor del origen, o sea un elemento de $\textsf{Rot}_0$.
\begin{enumerate}
\item Probar que $trt^{-1}$ es una rotación alrededor de $A$.
\item Probar que $\textsf{Rot}_A$ y $\textsf{Rot}_)$ son subgrupos conjugados del grupo de transformaciones del plano.
\end{enumerate}
 
\item Una simetría central con centro en un punto $C$ es una transformación $s_C$ que envía cada punto $P$ en un punto $s_C(P) = 2C - P$.
\begin{enumerate}
\item Probar que $C = (1/2)(P + \S_C(P))$ (punto medio entre $P$ y su imagen.
\item Probar que las líneas que pasan por $P$ quedan fijas globalmente por $s_C$.
\item Probar que $s_C^2 = d$ y que $s_Cs_D$, $C \neq D$ es una traslación.
\item Probar que el producto de una traslación por una simetría central es una simetría central.
\item Si $C$ es el origen, $s_C$ es lineal. Hallar la correspondiente matriz.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
%\section{Comentarios}