Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Funciones»
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Línea 2:
== Introducción ==
En este apéndice, revisamos la noción de función y varias nociones asociadas. No todos los resultados son usados en el texto y
== Las Definiciones ==
{{DefRht|Función| Llamamos <b>función</b> del conjunto <math>A</math> en el conjunto <math>B</math> a la asignación a cada elemento de <math>A</math> de un único elemento de <math>B</math>.
La asignación puede ser una regla, una fórmula, una expresión verbal o cualquier cosa que nos permita dado un elemento de <math>
}}
Línea 13:
<li> Una función de <math>A</math> en <math>B</math> se simboliza por <math>f: A \longrightarrow B</math>. Llamamos <b>dominio</b> o <b>conjunto de partida</b> de la función al conjunto <math>A</math>, mientras que el conjunto <math>B</math> es el <b>codominio</b> o <b>conjunto de llegada</b> de <math>f</math>. La flecha representa la <b>regla de la función</b>, o sea lo que asigna a cada elemento de <math>A</math> un elemento de <math>B</math>.
<li> Supongamos que <math>f</math> es una función del conjunto <math>A</math> en el conjunto <math>B</math>. Sea <math>x</math> un elemento del conjunto <math>A</math> y sea <math>y</math> el elemento de <math>B</math> asignado por <math>f</math> a <math>x</math>. Nos referimos a esa situación por
<ol>
<li> El <i>valor</i> de <math>f</math> en <math>x</math> es <math>y</math>.
Línea 28:
<li> Llamamos la <b>imagen</b> de <math>f</math> al subconjunto de <math>B</math> denotado por <math>\text{im}{f}</math> y definido como el conjunto formado por todos elementos de <math>B</math> que son imagen de algún elemento de
<math>A</math>. <center><math>\text{im}{f} := \{ y \in B: \
<li> Simbolizamos por <math>F(A,B)</math> al conjunto formado por todas las funciones de <math>A</math> en <math>B</math>.
<li> (<b>Igualdad de Funciones</b>.) Decimos que dos funciones, <math>f</math> y <math>g</math>, en <math>F(A,B)</math>, son iguales, y escribimos <math>f = g</math>, ssi, <math>f</math> y <math>g</math> asigna el mismo elemento de <math>B</math> a cada uno de los elementos de <math>A</math>. Simbólicamente, <math>f = g
</ol>
Línea 54:
{{DefRht|Suprayectividad, Inyectividad, Biyectividad| Sea <math>f: A \longrightarrow B</math>.
<ol>
<li> Decimos que <math>f</math> es <b>suprayectiva</b> o que es una <b>suprayección</b>, ssi, para todo <math>b</math> en <math>B</math>, la ecuación <math>f(x) = b</math> tiene al menos una solución. <center><math>\
Algunos textos, llaman <b>epiyectivas</b> a estas funciones.
<li> Decimos que <math>f</math> es <b>inyectiva</b> o que es una <b>inyección</b>, ssi, para todo <math>b</math> en <math>B</math>, la ecuación <math>f(x) = b</math> tiene a lo más una solución. Es decir que dos elementos de <math>A</math> tienen la misma imagen por <math>f</math>, ssi, los elementos son iguales.
<center><math>\
<li> Decimos que <math>f</math> es <b>biyectiva</b> o que es una <b>biyección</b>, ssi, para todo <math>b</math> en <math>B</math>, la ecuación <math>f(x)=b</math> tiene exactamente una solución. Claramente esto pasa cuando la función es inyectiva y suprayectiva a la vez.
Línea 76:
<li> Sea <math>A</math> un conjunto y <math>\sim</math> una relación de equivalencia en <math>A</math>. Simbolizaremos por <math>\bar{A}</math> al conjunto cociente de <math>A</math> respecto a esa relación. La correspondencia que asigna a cada <math>a</math> en <math>A</math> su clase de equivalencia en <math>\bar{A}</math> es una suprayección.
<li> Sean <math>A</math> y <math>B</math> dos conjuntos cualesquiera. La función de <math>A \times B</math> en <math>A</math> (resp. en <math>B</math>) que asigna a cada par <math>(a,b)</math> su primera (resp. su segunda) coordenada es una función suprayectiva, llamada la <b>primera</b> (resp. la <b>segunda</b>) <b>proyección</b>.
</ol>
<hr>
Línea 222:
<math>f_* : \mathbb{P}(A) \longrightarrow \mathbb{P}(B)</math> definida para cada <math>X</math> en <math>\mathbb{P}(A)</math>
por
<center><math>f_*(X) := \{ y \in B : \
<li> Llamamos <b>imagen inversa</b> de <math>f</math> a la función
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