Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Funciones»

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}}
 
<b>Observación.</b> Algunas veces tendremos la situación indicada en los diagramas siguientesiguientes:
 
<center>
<!--
[[Archivo:DiagComm.jpg|central|300px]]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
</center>
\xymatrix{
Cuando, en tales diagramas, haya dos "caminos''" de un conjunto a otro mediante funciones que producenrepresentan porcomposicióniguales funciones iguales(por composicion), decimos que el diagrama correspondiente es <b>conmutativo</b>. En el ejemplo anterior, tenemos un triángulo y un cuadrado conmutativo, lo que quiere decir que <math>h = g \circ f</math> y <math>k \circ h = g \circ f</math> respectivamente.
A \ar[r]^f \ar[dr]_{h} & B \ar[d]^g \\
& C}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
<center><math> \xymatrix{
A \ar[r]^f \ar[d]_{h} & B \ar[d]^g \\
C \ar[r]_{k} & D}
</math></math>
\end{minipage}
-->
Cuando, en tales diagramas, haya dos "caminos'' de un conjunto a otro mediante funciones que producen porcomposición funciones iguales, decimos que el diagrama correspondiente es <b>conmutativo</b>. En el ejemplo anterior, tenemos un triángulo y un cuadrado conmutativo, lo que quiere decir que <math>h = g \circ f</math> y <math>k \circ h = g \circ f</math> respectivamente.
 
<b>Proposición. </b><i> La composición, cuando está definida, es asociativa.
Línea 117 ⟶ 107:
<ol type="a">
<li> <math>f \circ 1_A = f</math>.
<li> [b)] <math>1_B \circ f = f</math>.
</ol>
</i>
Línea 129 ⟶ 119:
<b>Proposición. </b><i> La composición de dos funciones inyectivas (resp. suprayectivas, biyectivas) es inyectiva (resp. suprayectiva, biyectiva).
</i>
<ul> <i> Demostración: </i> Sean <math>f:A \longrightarrow B</math>, <math>g:B \longrightarrow C</math> y <math>h = g \circ f</math>.<br>
 
<ib>Caso Suprayectivo.</ib> Supongamos que <math>f</math> y <math>g</math> fueran suprayectivas. Debemos probar que para cualquier <math>c</math> en <math>C</math>, hay un <math>x</math> en <math>A</math> tal que <math>h(x) = g(f(x))= c</math>. Como <math>g</math> es suprayectiva debe haber al menos un <math>y</math> en <math>B</math> tal que <math>g(y) = c</math>. Por su parte, como <math>f</math> es suprayectiva, se debe tener que hay un <math>x</math> tal que <math>f(x) = y</math>. Luego, <center><math>h(x) = g(f(x)) = g(y) = c.</math></center>
Lo que prueba que la composición es suprayectiva.
 
<ib>Caso Inyectivo.</ib> Supongamos que <math>f</math> y <math>g</math> son
inyectivas. Sean <math>x_1</math> y <math>x_2</math> elementos de <math>A</math> que tienen la misma imagen por <math>h</math>. Entonces,
<center><math>\begin{array}{lrcll}
Línea 144 ⟶ 134:
Lo que implica que la composición es inyectiva.
 
\par<ib>Caso Biyectivo.</ib> Sigue de los casos anteriores.
{{QED}} </ul> <hr>