Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Introducción»
Contenido eliminado Contenido añadido
Sin resumen de edición |
|||
Línea 6:
}}
</noinclude>
{{En desarrollo}}
<div style="text-align:right";><i>Faire d'Algèbre, c'est esentiellement calculier ...</i><br> Nicolas Bourbaki.</div>
== Objetivos --
Este libro es un texto introductorio al Álgebra Abstracta. El Álgebra Abstracta es, como lo indica su nombre, una abstracción de propiedades algebraicas comunes a sistemas numéricos y otros. Específicamente, nos preocupamos de las propiedades de las operaciones y nos olvidamos de la naturaleza de los elementos que son los operandos. La suma de los números naturales, así como aquella de los Enteros, de los Reales, o de Funciones, etc. es asociativa. Lo que interesa es estudiar las consecuencias de suponer que la suma en un conjunto arbitrario sea asociativa.
Hay tres fuentes clásicas para el Álgebra Abstracta: la teoría de ecuaciones polinómicas, la teoría de números y la Geometría. Cada una de esas áreas se fue desarrollando de manera independiente de las otras. Con el pasar del tiempo, se observó varias semejanzas de los resultados obtenidos y se comenzó a abstraer de dichos resultados. Dicho desarrollo se produjo desde fines del siglo XVIII hasta los inicios del siglo XX, cuando las definiciones adquirieron una forma como la que expondremos en este texto.
Los trabajos de abstracción contribuyeron a identificar la noción de <i>estructura algebraica</i> como central al estudio del Álgebra. Una estructura es, básicamente, un conjunto provisto de una o más operaciones que poseen algunas propiedades especiales. La ventaja del enfoque abstracto es que permite al estudiar una estructura, estudiar propiedades de los variados ejemplos de tales estructuras (a veces infinitos ejemplos). En segundo lugar, podemos ver de manera más transparente las relaciones y consecuencias de las propiedades de las operaciones.
Como libro texto para un primer, supondremos que los lectores son novatos en la materia, lo que no excluye que pueda ser de provecho para lectores con mayor experiencia en el campo. Por lo anterior, hemos enfatizado en ejemplos y colocado una gran cantidad de ejercicios---que son parte integral del texto. Hemos colocado también comentarios que expanden los contenidos o apuntan a referencias tanto a los orígenes como a las aplicaciones.
== Contenidos ==
El libro está organizado en cuatro partes. La primera parte, que incluye esta introducción, presenta las generalidades acerca de las operaciones y algunas de los tipos de estructuras algebraicas básicas más importantes.
La segunda parte esta dedicada a la estructura de grupo (un conjunto con una operación con una serie de propiedades). Los ejemplos básicos de grupo que veremos son: los grupos cíclicos (provenientes de la teoría de números), los grupos simétricos (provenientes de la teoría de ecuaciones), y los grupos provenientes de la geometría ( grupo de las congruencias del y grupos de las simetrías de polígonos (diedrales)).
La tercera parte está dedicada a las estructuras de \textit{anillo} y \textit{cuerpo}, que son abstracciones de las propiedades algebraicas de los Enteros y de los Racionales respectivamente.
Los ejemplos básicos de anillos son los Enteros (usuales y algebraicos), los polinomios con coeficientes en un cuerpo. Los cuerpos más importantes serán los numéricos (Racionales, Reales y Complejos).
Finalmente, la cuarta parte son apéndices que contienen resúmenes de las definiciones y propiedades referentes a los sistemas numéricos, las funciones y relaciones.
Suponemos que el lector tiene familiaridad con las diferentes operaciones con los Sistemas Numéricos (Enteros, Racionales, Reales y Complejos). Mejor aún, si conoce acerca lo básico de teoría de números (divisibilidad, primos, congruencias) aunque dichos conceptos serán revisados en el texto. Las definiciones y resultados previos se han reunido en el apéndice [[../Contenidos]].
Nos gustaría, idealmente que el lector tuviera experiencias con las propiedades de los números enteros (divisibilidad, números primos), operaciones con fracciones, con números complejos como aquella que se obtiene en un curso de Álgebra Superior.
== Convenios de Nomenclatura ==
Diremos <b>los Naturales</b>, para referirnos al conjunto de los números naturales (denotado por <math>\N</math>), diremos los Naturales. Igualmente para los otros conjuntos de números, los Enteros ($\Z$), los Racionales (\Q), los Reales (\R) y los Complejos (\C).
Las notaciones y nomenclatura acerca de funciones se hallan en el apéndice \ref{chFunciones}, mientras que lo referente a relaciones se halla en el apéndice \ref{chRelaciones}.
== Sugerencias para el estudio ==
<ul>
<li> Las <b>definiciones</b> son importantes. Es necesario memorizarlas y reconocer instancias adonde se aplica la definición.
<li> Los resultados son identificados como <i>proposiciones<.y> y <i>corolarios</i>. Resultados muy importantes son identificados como <i> teoremas</i>.
En cada proposición (o corolario o teorema) es importante identificar claramente las hipótesis (los supuestos) y la tésis (la conclusión). Antes de leer al demostración, intentar pensar en alguno de los ejemplos principales y ver que significa el teorema para el ejemplo. Igualmente, tratar de buscar una demostración. Algunas proposiciones tienen pruebas relativamente triviales y pueden probarse sin mucho esfuerzo. Aquellas más dificultosas, vale la pena intentar la prueba, para poder apreciar mejor la ingeniosidad de la prueba, ver claramente los puntos principales de la demostración. Al revés de las definiciones, las demostraciones no necesitan ser memorizadas tal cual se presentan. Más importante son los "trucos" usados, que pueden ser usados en otras demostraciones o ejercicios. Después de aplicar los resultados, vale la pena preguntar si no habría otra manera de probar lo mismo.
<li> Los ejemplos se presentan para ilustrar propiedades y resultados de proposiciones y, a veces, para motivar o introducir un nuevo concepto. En el último caso, el ejemplo (o ejemplos) será seguido de una definición. Tratar de dar escuna definición antes de leer aquella dada en el texto.
</ul>
| |||