Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Funciones»
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Línea 24:
<li> Supongamos que <math>f</math> es una función de <math>A</math> en <math>B</math>. Podemos simbolizar la regla de asignación por <math>x \mapsto f(x)</math>. Cuando queramos mencionar el nombre de la función, lo hacemos de una de las dos maneras siguientes:
<center><math>f : x \mapsto f(x), \quad x \overset{f}{\mapsto} f(x).</math></center>
La expresión <math>f:A \longrightarrow B::x \mapsto f(x)</math> se lee como
Ejemplo: <math>f : \R \longrightarrow \R::x \mapsto x^2</math>. <li> Llamamos la <b>imagen</b> de <math>f</math> al subconjunto de <math>B</math> denotado por <math>\text{im}{f}</math> y definido como el conjunto formado por todos elementos de <math>B</math> que son imagen de algún elemento de
Línea 59 ⟶ 60:
<center><math>\forall x_1, x_2 \in A, f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2.</math></center>
<li> Decimos que <math>f</math> es <b>biyectiva</b> o que es una <b>biyección</b>, ssi, para todo <math>b</math> en <math>B</math>, la ecuación <math>f(x)=b</math> tiene exactamente una solución. Claramente esto pasa cuando la función es inyectiva y suprayectiva a la vez.
</ol>
}}
Línea 69 ⟶ 70:
<li> La función definida por la inclusión de un subconjunto es inyectiva, por lo que decimos que se trata de la <i>inyección canónica</i>. Tal función no es suprayectiva, a menos que el subconjunto coincida con el conjunto.
<li> La función de $\R
<li> La función de <math>\R^+_0</math> (reales positivos junto con el cero) en si mismo que asigna a cada número real no negativo su cuadrado es suprayectiva, pero no inyectiva. Ya que, <math>f(x) = b</math> tiene como soluciones a <math>\pm \sqrt{b}</math>.
Línea 102 ⟶ 103:
\end{minipage}
-->
Cuando, en tales diagramas, haya dos
<b>Proposición. </b><i> La composición, cuando está definida, es asociativa.
Línea 158 ⟶ 159:
</i>
<ul> <i>
Demostración: </i>
Sea <math>f: A \longrightarrow B </math> y sean <math>g</math> y <math>h</math> inversas de <math>f</math>. Entonces,
<center><math>
g = g \circ 1_B = g \circ (f \circ h) = (g \circ f) \circ h =
Línea 173 ⟶ 174:
<b>Proposición. </b><i> Cuando la inversa de una función existe, es invertible, y su inversa es la función original.
</i>
<ul> <i>
Demostración: </i> Directo de la definición, ya que
<center><math>f \circ f^{-1} = id_A \quad \
</math></center>
{{QED}} </ul> <hr>
Línea 196 ⟶ 197:
Una función es invertible, ssi, es biyectiva.
</i>
<ul> <i>
Demostración: </i> Sea <math>f: A \longrightarrow B</math>. <br>
(<math>\Longrightarrow</math>) Sea <math>g: B \longrightarrow A</math> la inversa de<math>f</math>. Sea <math>b</math> en <math>B</math>, como <math>f \circ g = 1_b</math> se tiene que <math>f(g(b)) = b</math>, lo que prueba que <math>f</math> es suprayectiva. Supongamos que <math>f(x_1) = f(x_2)</math>. Tenemos que
<center><math>\begin{array}{rcl}
f(x_1) = f(x_2) & \implies& g(f(x_1)) = g(f(x_2)) \implies 1_A(x_1) =
Línea 211 ⟶ 209:
(<math>\Longleftarrow</math>) Supongamos que <math>f</math> es biyectiva,
entonces para cada <math>b</math> en <math>B</math> hay un único elemento <math>b</math> tal que<math>f(a) =b</math>. Por lo tanto, la asignación <math>b \mapsto a</math> tal que <math>f(a) = b</math> define una función <math>g: B \longrightarrow A</math> tal que <math>g(f(a))=g(b) = b</math>. Sea <math>a</math> en <math>A</math>, entonces <math>g(f(a))</math> es un elemento <math>x</math> de <math>A</math> tal que <math>f(x) = f(a)</math>, por inyectividad, <math>x=a</math>; o sea que </math>g(f(a))=a</math>. Lo que prueba que <math>g</math> es una inversa de <math>f</math>.
{{QED}} </ul> <hr>
Línea 236 ⟶ 229:
== Extensión al Conjunto Potencia ==
Sea <math>A</math> un conjunto. Simbolizaremos por <math>\mathbb{P}(A)</math> al conjunto potencia de <math>A</math>, es decir al conjunto formado por todos los subconjuntos de <math>A</math>.
▲{{DefRht|\bf Imágenes Directas e Inversas| Sea <math>f : A \longrightarrow B</math> una función.
<ol>
<li> Llamamos <b>imagen directa</b> de <math>f</math> a la función
<
por
<li> Llamamos <b>imagen inversa</b> de <math>f</math> a la función
<
<center><math>f^*(Y) := \{ x \in A : f(x) \in Y \}.</math></center>
</ol>
Línea 258 ⟶ 249:
<b>Proposición. (Propiedades de la Imagen Directa) </b><i> Sea <math>f : A \longrightarrow B</math>. Entonces, cuando <math>X</math>, <math>Y</math> son subconjuntos de <math>A</math> se cumple que:
<ol type="a">
<li> <math>X \neq \emptyset</math>, ssi, <math>f_*(X) \neq \emptyset</math>.
<li> <math>f_*(\{x\}) = \{ f(x) \}</math>.
<li> Si <math>X \subset Y</math> entonces <math>f_*(X) \subset f_*(Y)</math>.
<li> <math>f_*(X \cap Y) \subset f_*(X) \cap f_*(Y)</math>.
<li> <math>f_*(X \cup Y) = f_*(X) \cup f_*(Y)</math>.
</ol>
Línea 273 ⟶ 264:
<ol type="a">
<li> <math>(g \circ f)_* = g_{*} \circ f_{*}</math>.
<li> <math>f_{*}(1_A) = 1_{\mathbb{P}(A)} \big|_{f(A)}</math>.
</ol>
</i>
<ul> <i>
Demostración: </i> \quad
Sea <math>X \subset A</math>. Entonces, <math>z \in (g \circ f)_{*}(X)</math>, ssi, hay
un <math>x</math> en <math>X</math> tal que <math>(g \circ f)(x) = z</math>, ssi, <math>g(f(x)) = z</math>,
ssi, <math>z \in g_*(f_*(X)).</math>
{{QED}} </ul> <hr>
Línea 294 ⟶ 285:
<li> <math>f^*(X' \setminus Y') =f^*(X') \setminus f^*(Y')</math>, cuando
<
</ol>
</i>
<ul> <i> Demostración: </i>Ejercicio.
{{QED}} </ul> <hr>
<b>Proposición. (Relaciones entre Imágenes Directas e Inversas) </b><i>
▲<b>Proposición. (Relaciones entre Imágenes Directas e Inversas) </b><i>[\bf Sea <math>f : A \longrightarrow B</math>. Entonces:
<ol type="a">
<li> <math>X' \subset B \implies f_*(f^*(X')) = X' \cap f(A)</math>.
<li> <math>X \subset A \implies f^*(f_*(X)) \supset X</math>.
Línea 328 ⟶ 317:
<ol type="a">
<li> <math>(g \circ f)_* = g_{*} \circ f_{*}</math>.
<li> <math>f_{*}(1_A) = 1_{\mathbb{P}(A)}</math>.
</ol>
</i>
<ul> <i>
Demostración: </i>
<ol type="a">
<li> Sea <math>X \subset A</math>. Entonces, <math>z \in (g \circ f)_{*}(X)</math>,
Línea 343 ⟶ 332:
<ol type="a">
<li> <math>(g \circ f)^* = f^{*} \circ g^{*}</math>.
<li> <math>f^{*}(1_B) = 1_A</math>.
</ol>
</i>
<ul> <i>
Demostración: </i>
<ol type="a">
<li> Sea <math>Z \subset C</math>. Entonces, <math>x \in (g \circ f)^{*}(Z)</math>,
Línea 366 ⟶ 355:
{{QED}} </ul> <hr>
<b>Teorema (Descomposición canónica de una función)<b> <i>
Sea <math>f:A \longrightarrow B</math> una función. Entonces, podemos factorizar <math>f</math> como:
<center><math>f = \imath \circ \bar{f} \circ \nu</math></center>
Línea 390 ⟶ 379:
</math>\sim_f</math>, si <math>a'</math> está en <math>[a]</math> entonces, <math>f(a') = f(a)</math>; lo que
muestra que <math>\bar{f}</math> está bien definida. Es claro además que
<
tendrá que <math>f(a)=f(a')</math> de donde, <math>[a]=[a']</math>probando la
inyectividad faltante.
Línea 408 ⟶ 397:
El uso de esos términos obedece a tradiciones (operadores, por ejemplo, para funciones entre espacios de funciones). Siguiendo el peso tradicional, nosotros usamos \textit{transformaciones} para ciertas funciones en contextos geométricos.
La terminología de
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