Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Funciones»
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Página creada con «<!-- LAS FUNCIONES --> == Introducción == En este apéndice, revisamos la noción de función y varias nociones asociadas. No todos los resultados son usados en el texto...» |
Sin resumen de edición |
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Línea 26:
La expresión <math>f:A \longrightarrow B::x \mapsto f(x)</math> se lee como ``la función <math>f</math> del conjunto <math>A</math> en el conjunto <math>B</math> tal que asigna a cada <math>x</math> de <math>A</math> el elemento <math>f(x)</math> de <math>B</math>. Ejemplo: <math>f : \R \longrightarrow \R::x \mapsto x^2</math>.
<li> Llamamos la <b>imagen</b> de <math>f</math> al subconjunto de <math>B</math> denotado por <math>\text{im}{f}</math> y definido como el conjunto formado por todos elementos de <math>B</math> que son imagen de algún elemento de
</math>A</math>. <center><math>\text{im}{f} := \{ y \in B: \exists x \in A, f(x) = y \}.</math></center>
<li> Simbolizamos por <math>F(A,B)</math> al conjunto formado por todas las funciones de <math>A</math> en <math>B</math>.
Línea 110:
(f \circ (g \circ h))(x) & = f((g \circ h)(x)) = f(g(h(x))) \mbox{, y } \\
((f \circ g) \circ h))(x) & = (f \circ g)(h(x))= f(g(h(x))).
\end{array}</math></center>
{{QED}} </ul> <hr>
Línea 141:
& h(x_1) & = & h (x_2) & \\
\implies & g(f(x_1)) & = & g(f(x_2)) & \\
\implies & f(x_1) & = & f(x_2) & g \text{
\implies & x_1 & = & x_2 & f \text{
\end{array}</math></center>
Lo que implica que la composición es inyectiva.
Línea 149:
{{QED}} </ul> <hr>
== La Función Inversa
{{DefRht|Inversa de una Función| Sea <math>f: A \longrightarrow B</math> una función. Decimos que una función <math>g: B \longrightarrow A</math> es una <b>inversa</b> de <math>f</math>, ssi,
<center><math>g \circ f = 1_A \
}}
Línea 175:
<ul> <i>
Demostración: </i> Directo de la definición, ya que
<center><math>f \circ f^{-1} = id_A \
</math></center>
{{QED}} </ul> <hr>
Línea 236:
== Extensión al Conjunto Potencia ==
Sea <math>A</math> un conjunto. Simbolizaremos por <math>\
potencia de <math>A</math>, es decir al conjunto formado por todos los
subconjuntos de <math>A</math>.
Línea 242:
<ol>
<li> Llamamos <b>imagen directa</b> de <math>f</math> a la función
</math>f_* : \
por
<center><math>f_*(X) := \{ y \in B : \exists x \in X \ni f(x)=y \}.</math></center>
<li> Llamamos <b>imagen inversa</b> de <math>f</math> a la función
</math>f^*: \
<center><math>f^*(Y) := \{ x \in A : f(x) \in Y \}.</math></center>
</ol>
Línea 273:
<ol type="a">
<li> <math>(g \circ f)_* = g_{*} \circ f_{*}</math>.
<li> <math>f_{*}(1_A) = 1_{\
</ol>
</i>
Línea 328:
<ol type="a">
<li> <math>(g \circ f)_* = g_{*} \circ f_{*}</math>.
<li> <math>f_{*}(1_A) = 1_{\
</ol>
</i>
Línea 409:
La terminología de ``aplicación'' y ``mapeo'' responden más a consideraciones que llamaría folclóricas, es decir, son usadas en ciertos países y en otros no. Algunos autores e instructores usas esa terminología con fines didácticos, usan funciones para contextos numéricos y aplicaciones o mapeos para funciones entre conjuntos que no son numéricos. Es decir el nombre usado depende de la naturaleza de los objetos considerados. En Álgebra Abstracta el énfasis en las propiedades de las operaciones abstrayendo (es decir ignorando) la naturaleza de los elementos donde se trabaja. Principalmente, por esa razón hemos usado función en forma uniforme.
<-- abc -->
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