Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Clasificación de Grupos»
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cíclico de orden 9, <math>\textsf{C}_9</math>. En caso contrario, todos los
elementos diferentes del neutro deben tener orden 3. Sean <math>H=
<a></math> y <math>K = <b></math> dos subgrupos diferentes generados por elementos de orden 3. Se tiene que <math>H \cap K =
\{e\}</math>, por lo que <math>|HK| =|H||K|=9</math>. Es decir que
<math>G=HK</math>. Primeramente, probaremos que <math>H</math> es
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<math>G</math> se cumple que <math>gag^{-1}</math> es un elemento de
<math>H</math>. El típico elemento de <math>G</math> es
{{Eqn|<math>g=a^{i} b^j\quad \text{ con }\quad 0 \le i,j <3.</math>|*}}
▲\le i,j <3.</math>|*}} Observando que <math>(a^{i}b^j) a (a^{i}b^{j}) ^{-1} = a^{i}
b^j a( b^j)^{-1}(a^{i})^{-1},</math> vemos que basta verificar que
<math>bab^{-1}</math> está en <math>H</math>.
Se tiene que
{{Eqn|<math>bab^{-1} = a^ para <math>i,j</math> tales que <small><math>0 \le i, j <3</math></small>. Queremos probar, que
necesariamente <math>j=0</math>. Recordemos, que como los elementos
<math>x</math> diferentes del neutro son de orden 3, tenemos que
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e</math>, ya que, en caso contrario, tendríamos que <math>
<a> = <b></math> <ul> <li> Si <math>i=0</math>,
entonces (**) implica que <math>bab^{-1} = b
que <math>a = b^{-1}b^{j}b \in <b></math>, lo que no puede ser. Luego, <math>i
> 0</math>.
<li> <math>bab^{-1} = ab \implies abab^{-1} = a^{2}b \implies abab^{2} =ab \implies abab=a^{2}</math>. Esto dice que <math><ab> = \{e, ab, (ab)^2\}
\cap \{e,a,a^2\} \neq {e}</math>. Esto dice que <math>ab=a</math> o que
<math>ab=a^{2}</math>, y ambas posibilidades son contradictorias a las
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o sea que <math>b=e</math>.
<li> <math>bab^{-1} = a^{2}b \implies a(bab^{2}) = a^{2}b \implies ab ab^{2} = a^{2}b \implies abab = a^{2}</math>, lo que sabemos que es contradictorio.
<li> <math>bab^{-1} = a^{2}^{2} \implies bab^{2}= a^{2}b^{2} \implies ba
=a^{2} \implies b=a</math>. Una contradicción.
</ul> Como todos los casos con <math>j>0</math> conducen a contradicción, debemos concluir que <math>j=0</math>. Lo que prueba que <math>H</math> es normal en <math>G</math>.▼
▲>0</math> conducen a contradicción, debemos concluir que <math>j=0</math>. Lo
Por la simetría de la situación, tenemos que <math>K</math> es, también,
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