Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Clasificación de Grupos»
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== Introducción ==
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Los razonamientos anteriores muestran que la única posibilidad de grupo de
orden 6, aparte del cíclico, será entonces <math>
tenemos lo siguiente:
Línea 166 ⟶ 163:
<li> el grupo cíclico de orden 6, o
<li> el grupo <math>
b^2=e, ba=ab^2></math>. </ol></div>
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Supongamos que haya otro elemento de orden 4, digamos <math>b</math> tal
que <math>b </math> no está en <math>H</math>. Sea <math>K =
\{e\}</math>, por el teorema de la cardinalidad de productos, tenemos que
{{Eqn|<math>|HK| = |H|\,|K|/|H \cap K|= 16.</math>}}
Lo que es imposible, luego <math>H \cap K \neq \{e\}</math>. Entonces, <math>|H \cap K| = 2</math> o 4. No puede ser 4, porque entonces <math>H=K</math>. Por lo que <math>|H \cap K| =2</math>.
De donde sigue que <math>|HK|=8,</math> o sea que <math>G = HK</math>.
¿Qué elementos hay comunes en la intersección? Observemos que <math>H
\cap K <H, K</math>, por lo que <math>H \cap K =
\{a^2\} = \{b^2\}</math>. Observemos que entonces, <math>ab</math> es un elemento que no está en <math>H</math>, porque <math>ab = a<sup>k</sup></math>
implica que <math>b</math> estaría en <math>H</math>. Se tiene que
<math>(ab)^2 = a^2b^2=a^2a^2=a^4 =e</math>, por lo que hay un elemento de
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<math>G \cong H
\times L
\cong
\times
\
Si fuera de <math>H</math> todos los elementos tuvieran orden 2. Escogiendo,
Línea 209 ⟶ 204:
digamos, <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math>, tendríamos que
{{Eqn|<math>G
\cong
\times
<div style="background: white; border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt
Línea 223 ⟶ 218:
Sea <math>G</math> un grupo cuyo orden es <math>9</math>. Si
<math>G</math> tiene un elemento de orden 9, <math>G</math> es el grupo
cíclico de orden 9, <math>\
elementos diferentes del neutro deben tener orden 3. Sean <math>H=
subgrupos diferentes generados por elementos de orden 3. Se tiene que
<math>H \cap K =
Línea 244 ⟶ 239:
<math>x</math> diferentes del neutro son de orden 3, tenemos que
<math>x^{-1}=x^{2}</math>. Además, <math>ab \neq e</math> y <math>ba \neq
e</math>, ya que, en caso contrario, tendríamos que <math
<a
entonces (**) implica que <math>bab^{-1} =b<sup>j</sup></math> lo que implica
que <math>a = b^{-1}b^{j}b \in <b></math>, lo que no puede ser. Luego, <math>i
Línea 274 ⟶ 269:
Es decir que cualquier grupo con 9 elementos es el grupo cíclico de 9 elementos,
<math>
Resumiendo,
{{Caja|<math>|G|=9 \implies G \cong
\times
conmutativos de orden 9.
Línea 332 ⟶ 327:
donde <math>p</math> y <math>q</math> son números primos diferentes.
Probar que hay elementos <math>x</math>, <math>y</math> tales que
<math>o(x) = p</math>, <math>o(y) = q</math> y que <math>G \cong
\times
<li> Clasificar los grupos de orden 10, 14 y 15.
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