|
<noinclude> {{navegar|libro=Álgebra/Álgebra Abstracta (Primer
<noinclude>
Curso)/Contenidos |actual=Clasificación de Grupos |anterior=Teoremas de
{{navegar|libro=Álgebra/Álgebra Abstracta (Primer Curso)/Contenidos
Homomorfismos |siguiente=Teoremas de Cardinalidad }} </noinclude>
|actual=Clasificación de Grupos
|anterior=Teoremas de Homomorfismos
|siguiente=Teoremas de Cardinalidad
}}
</noinclude>
== Introducción ==
Clasificar familias de grupos significa, hallar todos los posibles tipos (no
isomorfos) de los grupos de la familia. En este capítulo, veremos la clasificación
por orden de grupos finitos.
Sea ''<math>G''</math> un grupo con <math>|G| = n</math>. SaaemosSabemos que:
<ul>
<li> cuando ''n'' es un número primo, ''<math>G''</math> es cíclico
<li> hay un único grupo de orden ''n'', cuando ''n=1,2,3'' y que
<li> para cada ''n'', hay al menos un grupo de orden ''n'', el grupo cíclico de ese
orden
</ul>
== Clasificación de los Grupos de Orden 4 ==
Sea ''<math>G = \{e,a,b,c\}''</math> un grupo de orden 4, que no sea cíclico.
Como ''<math>G''</math> no es cíclico, todos los elementos diferentes del neutro
deben tener orden 2. Por lo que ''<math>G''</math> tiene tres subgrupos de orden
2, <imath>\{e,x\}</imath>, donde <imath>x=a,b,c.</imath>
Sea <math>z=ab</math>. <ul> <li> Si ''z=e'', se tiene que ''ab = e'', lo que implica
Sea <i>z=ab</i>.
que ''aab=a'', o sea que ''b= a''. Imposible. <li> Si ''z=a'' o ''z=b'' se concluye,
<ul>
<li>respectivamente Sique ''zb=e'', se tieneo que ''aba = e'',. loImposible. que</ul> implicaLa queúnica ''aab=a'',posibilidad o sea que ''b= a''. Imposible.es
que <math>z=ab=c</math>. Por simetría entre ''a'' y ''b'', concluimos que,
<li> Si ''z=a'' o ''z=b'' se concluye, respectivamente que ''b=e'' o que ''a =e''. Imposible.
también, ''ba=c''. Por lo tanto, si existe un grupo no cíclico <math>G</math> de
</ul>
orden 4, debería ser
La única posibilidad es que <i>z=ab=c</i>.
Por simetría entre ''a'' y ''b'', concluimos que, también, ''ba=c''.
Por lo tanto, si existe un grupo no cíclico ''G'' de orden 4, debería ser
{{Eqn|<math>\langle a,b | a^2=b^2=e, ab =ba\rangle.</math>}}
Claramente, este grupo existe, es nuestro viejo conocido:el
grupo de Klein.
<div style="background: white; border: 1px solid navy; width:50%; margin:10pt
80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: normal;">
<center><b>Grupos de Orden 4</b></center><br /> Un grupo de orden 4 es
Unisomorfo a: <ol type="i"> <li> el grupo cíclico de orden 4, eso isomorfo<li> a:el grupo de Klein.
</ol> type="i"</div>
<li> el grupo cíclico de orden 4, o
<li> el grupo de Klein.
</ol>
</div>
== La Cardinalidad del Producto de dos Subgrupos ==
Antes de continuar nuestros estudios de clasificación, probaremos un resultado
acerca de la cardinalidad del conjunto producto de dos subgrupos, que nos
ayudará en clasificaciones futuras.
Recordemos que el conjunto producto de dos subgrupos no necesariamente
determina un subgrupo. Sean <imath>H</imath> y <imath>K</imath> subgrupos de
<imath>G</imath>, ¿cuántos elementos tiene <imath>HK</imath> ? Suponiendo
<imath>|H|=m</imath> y <imath>|K|=n</imath>. tendremos que todos los productos
que podemos tomar con primer factor en <imath>H</imath> y segundo en
<imath>K</imath> serán <imath>mn</imath>. Sin embargo, algunos de esos
productos podrían ser iguales entre si. Es decir que podemos afirmar que:
<center><math>|HK| \le |H||K| = mn.</math></center> ¿Cuándo dos de esos
¿Cuándo dos de esos productos son iguales? Si <i>h<sub>1</sub>k<sub>1</submath>h_1k_1=h<sub>2h_2k_2</sub>k<sub>2</sub></imath> se tiene que
tiene que <i>h<sub>2</sub><supmath>h_2^{-1</sup>h<sub>1</sub>}h_1=k<sub>2</sub>k<sub>1</sub><sup>k_2k_1^{-1}</sup></imath>. Llamando <imath>x</imath> a este elemento,
elemento, tendremos por su representación de la izquierda que <imath>x</imath> está en
está en <imath>H</imath>. mientras que su representación de la derecha nos
dice que <imath>x</imath> está en <imath>K</imath>. Por lo que <imath>x</imath>
está en <math>H \cap K</math>. Esto nos indica que debemos velar por los
que debemos velar por los productos de elementos que provienen de la intersección de los dos subgrupos.
la intersección de los dos subgrupos.
En efecto, supongamos que <imath>g = hk</imath> es un elemento cualquiera de
<imath>HK</imath> y sea <imath>x</imath> un elemento de <math>H \cap K</math>. Entonces,
K</math>. Entonces, <center><math>g = hk = (hx)(x^{-1}k)=h_1k_1.</math></center>
=h_1k_1.</math></center> Lo que prueba que para cada <imath>x</imath> en <math>H \cap K</math>. podemos escribir
<math>H \cap K</math>. podemos escribir <math>g</math> de una manera
<i>g</i> de una manera distinta como producto de un elemento de <i>H</i> por
distinta como producto de un elemento de <math>H</math> por
<i>K</i>. Es decir que en los productos <i>hk</i>. cada elemento aparecerá
<math>K</math>. Es decir que en los productos <math>hk</math>. cada
repetido al menos <math>|H \cap K|</math> veces. El argumento del párrafo
elemento aparecerá repetido al menos <math>|H \cap K|</math> veces. El
anterior muestra que las repeticiones ocurren exactamente cuando
argumento del párrafo anterior muestra que las repeticiones ocurren
el elemento proviene de dicha intersección; por lo que la cantidad
exactamente cuando el elemento proviene de dicha intersección; por lo que la
de repeticiones es exactamente <math>|H \cap K|</math>. Luego, se tiene la
cantidad de repeticiones es exactamente <math>|H \cap K|</math>. Por lo que
siguiente proposición.
tenemos la siguiente proposición.
{{PropRht|<b>Proposición (Cardinalidad de un conjuntoConjunto productoProducto de subgrupos| SeanSubgrupos) <i>H</ib> y <i>K</i> subgrupos de <i>G</i>. Entonces,
Sean <centermath>H</math>{\quad |HK|y = \frac{|H||<math>K|}{|H</math> \capsubgrupos K|}de \quad}.</math>G</centermath>.
Entonces,
}}
<center><math>{\quad |HK| =\frac{|H||K|}{|H \cap K|} \quad}.</math></center> </i>
== Clasificación de los grupos de orden 6 ==
Aplicaremos los resultados anteriores a la clasificación de los grupos de orden 6.
Clasificar significa, hallar todos los posibles tipos (no isomorfos) de una familia
de grupos, en este caso de los grupos cuyo orden es 6.
Sea <imath>G</imath> un grupo de orden 6. Como, para cada posible orden tenemos
tenemos un grupo cíclico de orden 6, nos podemos preguntar ¿aparte del cíclico
cíclico cuántos (tipos de) grupos diferentes de orden 6 hay? Nosotros conocemos al
conocemos al menos uno adicional, <imath>S<sub>3</sub>=D<sub>3</sub></imath>.
Supongamos que <math>G</math> no fuera cíclico. Por el teorema de Lagrange,
sabemos que los únicos ordenes posibles para los subgrupos y, por lo tanto,
para los elementos son 1, 2, 3 y 6.
El neutro es el único elemento de orden <math>1</math>.
Supongamos que <i>G</i> no fuera cíclico. Por el teorema de Lagrange,
sabemos que los únicos ordenes posibles para los subgrupos y, por
lo tanto, para los elementos son 1, 2, 3 y 6.
ElSi neutrohubiera es el únicoun elemento decon orden <i>1</i>6, el grupo sería cíclico. Lo que nos deja como
posibles ordenes para subgrupos 2 y 3, por lo que esos subgrupos
necesariamente tienen que ser cíclicos.
Supongamos que todos los elementos diferentes del neutro tuvieran orden 2. En
Si hubiera un elemento con orden 6, el grupo sería cíclico. Lo que
tal caso, como <math>x^{2}=e</math>. sigue que <math>x =x^{-1}</math> para
nos deja como posibles ordenes para subgrupos 2 y 3, por lo que
todo <math>x</math>. Además, <math>(xy)^{2}=xyxy=e</math> implicará que
esos subgrupos necesariamente tienen que ser cíclicos.
<math>yx=x^{-1}y^{-1}=xy</math>, o sea que el grupo sería abeliano. Sean
<math>a</math> y <math>b</math> dos de esos elementos de orden
<math>2</math>. Entonces, <math>H = <a,b></math> sería un subgrupo de
<math>G</math>. Por la conmutatividad, <math>H</math> consistiría
exactamente de los productos de la forma <math>a^ib^j</math>
<math>i,j=0,1</math>. o sea, <math>H=\{e,a,b,ab\}</math>. Pero esto es
imposible, ya que no puede haber un subgrupo de orden 4 en un grupo de orden
6. Conclusión: no todos los elementos pueden tener orden 2; lo cual implica que
debe haber al menos un elemento de orden 3, digamos <math>a</math>.
Como <math>a</math> tiene orden 3, el subgrupo <math><a>=
Supongamos que todos los elementos diferentes del neutro tuvieran
\{e,a,a^{2}\}</math> también tiene orden 3, lo que implica <math>a</math> y
orden 2. En tal caso, como <i>x<sup>2</sup>=e</i>. sigue que <i>x =x<sup>-1</sup></i> para
<math>a^{2}</math> son elementos con orden 3. ¿Habrá algún otro subgrupo de
todo <i>x</i>. Además, <i>(xy)<sup>2</sup>=xyxy=e</i> implicará que <i>yx=x<sup>-1</sup>y<sup>-1</sup>=xy</i>, o sea que el grupo sería abeliano. Sean <i>a</i> y <i>b</i> dos de esos elementos de orden <i>2</i>. Entonces, <i>H = <a,b></i> sería un subgrupo de
orden <math>3</math>? Supongamos que sí y que se tratara de
<i>G</i>. Por la conmutatividad, <i>H</i> consistiría exactamente de los
<math>H</math>. Como este subgrupo sería distinto de <math><a></math>,
productos de la forma <math>a^ib^j</math> <i>i,j=0,1</i>. o sea,
tendríamos que <math> H \cap <a> = \{e,a,b,ab\}</math>. PeroPor estolo es imposibletanto, ya que no puede habercalculando unla
cantidad de elementos del producto <math>H \, <a></math>, tendríamos que
subgrupo de orden 4 en un grupo de orden 6. Conclusión: no todos los elementos pueden tener orden 2; lo cual implica que debe haber al menos un elemento de orden 3, digamos <i>a</i>.
<center><math>|H <a>| =
\dfrac{|H||<a>|}{|H \cap <a>|} = 9;</math></center> lo cual es imposible. Por lo
tanto, hay solamente un subgrupo de orden <math>3</math> y todos los
elementos restantes, diferentes del neutro, deberán tener orden 2.
Sea <math>b</math> uno de ellos, entonces la clase lateral derecha
Como <i>a</i> tiene orden 3, el subgrupo <i><nowiki><a></nowiki>={e,a,a<sup>2</sup>}</i> también tiene orden 3, lo que implica <i>a</i> y <i>a<sup>2</sup></i> son elementos con orden 3. ¿Habrá algún otro subgrupo de orden <i>3</i> ? Supongamos que sí y
<math><a>b</math> tendrá tres elementos y, por ser disjunta con
que se trata de <i>H</i>. Como este subgrupo sería distinto de <i><nowiki><a></nowiki></i>, tendríamos que <math> H \cap <a> = \{e\}</math>. Por lo tanto, calculando la cantidad de elementos del producto <math>H \, <a></math>, tenemos que
<center><math> |H <a> | = \dfrac{|H||< a/math> |}{|H, \capcoincide <a>|}con el complemento =de 9;< /math ><a></ centermath> . por loque contendrá a todos los elementos de orden 2. Se tiene así que
lo cual es imposible. Por lo tanto, hay solamente un subgrupo de
<center><math>G=\{e,a,a^2, b, ab, a^2b\}.</math></center> Para completar la
orden <i>3</i> y todos los elementos restantes, diferentes del neutro,
estructura de <math>G</math>. bastará con conocer el producto de
deberán tener orden 2.
<math>ba</math>.
Sea <i>b</i> uno de ellos, entonces la clase lateral derecha <i><nowiki><a></nowiki>b</i> tendrá tres elementos y, por ser disjunta con <i><nowiki><a></nowiki></i>, coincide con el complemento de <i><nowiki><a></nowiki></i>. por lo que contendrá a todos los elementos
de orden 2. Se tiene así que
<center><math>G=\{e,a,a^2, b, ab, a^2b\}.</math></center>
Para completar la estructura de <i>G</i>. bastará con conocer el
producto de <i>ba</i>.
<ul>
<li> Si <imath>ba=e</imath> entonces, <imath>b</imath> es el inverso de
<imath>a</imath> y tendría su mismo orden, lo que no puede ser.
<li> Si <imath>ba=a</imath> entonces <imath>b=e</imath>. imposible.
<li> Si <imath>ba=a<sup>^{2}</sup></imath> entonces, <imath>b=a</imath>. imposible.
<li> Si <imath>ba=b</imath>. entonces <imath>a = e</imath>. imposible.
<li> Si <imath>ba=ab</imath>. el grupo sería abeliano y el elemento
<imath>ab</imath> tendría orden 6, por lo que el grupo sería cíclico; imposible.
<li> Por lo tanto la única posibilidad es que <imath>ba=ab<sup>2</sup>a^2b</imath>
</ul>
Los razonamientos anteriores muestran que la única posibilidad de grupo de
grupo de orden 6, aparte del cíclico, será entonces <imath>S<sub>3S_3</sub></imath>. Resumiendo
tenemos lo siguiente:
<div style="background: white; border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt
80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: normal;">
<center><b> Grupos de orden 6 </b></center> Un grupo <math>G</math> con
Un grupo ''G'' con seis elementos es isomorfo a uno de los dos grupos siguientes: <ol type = "i">
<ol type = "i">
<li> el grupo cíclico de orden 6, o
<li> el grupo <math>D_6=S_3</math>. caracterizado como <math><a,b: a^3=e,
<math><a,b: a^3=e, b^2=e, ba=ab^2></math>. </ol></div>
</ol></div>
== Clasificación de los Grupos Abelianos de orden 8 ==
Sea <imath>G</imath> un grupo abeliano tal que <imath>|G|=8</imath>. Si hay un
elemento en <imath>G</imath> cuyo orden sea igual a <imath>|G|</imath>, se
tiene que <imath>G</imath> es un grupo cíclico de orden 8.
Supongamos que <imath>G</imath> no es cíclico. Entonces, todos los elementos
no nulos deben tener ordenes 2 o 4.
Suponer que <imath>a</imath> de <imath>G</imath> tiene orden <imath>4</imath>
y sea <imath>H</imath> el subgrupo generado por <imath>a</imath>.
Supongamos que haya otro elemento de orden 4, digamos <imath>b</imath> tal
que <imath>b </imath> no está en <imath>H</imath>. Sea <imath>K =
<nowiki><b></nowiki></imath>. Si <math>H \cap K =
\{e\}</math>, por el teorema de la cardinalidad de productos, tenemos que
{{Eqn|<math>|HK| = |H|\,|K|/|H \cap K|= 16.</math>}} Lo que es imposible, luego
<math>H \cap K \neq
Lo que es imposible, luego <math>H \cap K \neq \{e\}</math>. Entonces, <math>|H \cap K| = 2</math> o 4. No puede ser 4, porque entonces <i>H=K</i>. Por lo que <i>|H \cap K| =2</i>. De donde sigue que <i>|HK|=8,</i> o sea que <i>G = HK</i>. ¿Qué elementos hay comunes en la intersección? Observemos que <math>H \cap K <H, K</math>, por lo que <math>H \cap K = \{a^2\} = \{b^2\}</math>. Observemos que entonces, <i>ab</i> es un elemento que no está en <i>H</i>, porque <i>ab = a<sup>k</sup></i> implica que <i>b</i> estaría en <i>H</i>. Se tiene que <math>(ab)^2 = a^2b^2=a^2a^2=a^4 =e</math>, por lo que hay un elemento de <i>G</i> con orden 2. Sea <i>L = <ab></i>. Entonces <math>H \cap L = \{e\}</math>, y <i>|HL|=8</i> o sea que <i>G=HL</i>. Sigue entonces, de la proposición acerca del producto de subgrupos normales, que <math>G \cong H \times L \cong C_4 \times \C_2</math>.
\{e\}</math>. Entonces, <math>|H \cap K| = 2</math> o 4. No puede ser 4,
porque entonces <math>H=K</math>. Por lo que <math>|H \cap K| =2</math>.
De donde sigue que <math>|HK|=8,</math> o sea que <math>G = HK</math>.
¿Qué elementos hay comunes en la intersección? Observemos que <math>H
\cap K <H, K</math>, por lo que <math>H \cap K =
\{a^2\} = \{b^2\}</math>. Observemos que entonces, <math>ab</math> es un elemento
que no está en <math>H</math>, porque <math>ab = a<sup>k</sup></math>
implica que <math>b</math> estaría en <math>H</math>. Se tiene que
<math>(ab)^2 = a^2b^2=a^2a^2=a^4 =e</math>, por lo que hay un elemento de
<math>G</math> con orden 2. Sea <math>L = <ab></math>. Entonces <math>H
\cap L = \{e\}</math>, y <math>|HL|=8</math> o sea que <math>G=HL</math>. Sigue
entonces, de la proposición acerca del producto de subgrupos normales, que
<math>G \cong H
\times L
\cong C_4
\times
\C_2</math>.
Si fuera de <imath>H</imath> todos los elementos tuvieran orden 2. Escogiendo,
uno cualesquiera de ellos, podríamos repetir el argumento anterior. Supongamos
Supongamos que todos los elementos no nulos tuvieran orden 2. Seleccionando tres de ellos,
digamos, <imath>a</imath>, <imath>b</imath> y <imath>c</imath>, tendríamos que
{{Eqn|<math>G
\cong C_2
\times C_2 \times C_2.</math>}}
<div style="background: white; border: 1px solid navy; width:80%; margin:10pt
80pt 10pt 50pt; padding: 1.5ex; font-family: Arial; font-style: normal;" >
<center><b>Grupos abelianos de orden 8</b></center> Un grupo abeliano de
Unorden 8 es <ol type="i"> <li> un grupo abelianocíclico de orden 8, eso <li> el producto de un
grupo cíclico de orden 4 con uno de orden 2, o <li> el producto de tres grupos
<ol type="i">
cíclicos de orden 2 cada uno. </ol> </div>
<li> un grupo cíclico de orden 8, o
<li> el producto de un grupo cíclico de orden 4 con uno de orden 2, o
<li> el producto de tres grupos cíclicos de orden 2 cada uno.
</ol> </div>
== Clasificación de los Grupos de orden 9 ==
Sea <math>G</math> un grupo cuyo orden es <math>9</math>. Si
Sea <i>G</i> un grupo cuyo orden es <i>9</i>. Si <i>G</i> tiene un elemento de orden 9, <i>G</i> es el grupo cíclico de orden 9, <i>\GC_9</i>. En caso contrario, todos los elementos diferentes del neutro deben tener orden 3. Sean <i>H= <nowiki><a></nowiki></i> y <i>K = <nowiki><b></nowiki></i> dos subgrupos diferentes generados por elementos de orden 3. Se tiene que <math>H \cap K = \{e\}</math>, por lo que <i>|HK| =|H||K|=9</i>. Es decir que <i>G=HK</i>. Primeramente, probaremos que <i>H</i> es normal en <i>G</i>. Es decir que, para todo <i>g</i> en <i>G</i> se cumple que <i>gag<sup>-1</sup></i> es un elemento de <i>H</i>. El típico elemento de <i>G</i> es
{{Eqn|<math>g=a^{i}G</math> b^j\quadtiene \text{un conelemento de }\quadorden 0 \le i9,j <3.math>G</math>|*}} es el grupo
cíclico de orden 9, <math>\GC_9</math>. En caso contrario, todos los
Observando que <math>(a^{i}b^j) a (a^{i}b^{j}) ^{-1} = a^{i} b^j a( b^j)^{-1}(a^{i})^{-1},</math>
elementos diferentes del neutro deben tener orden 3. Sean <math>H=
vemos que basta verificar que <i>bab<sup>-1</sup></i> está en <i>H</i>.
<nowiki><a></nowiki></math> y <math>K = <nowiki><b></nowiki></math> dos
subgrupos diferentes generados por elementos de orden 3. Se tiene que
<math>H \cap K =
\{e\}</math>, por lo que <math>|HK| =|H||K|=9</math>. Es decir que
<math>G=HK</math>. Primeramente, probaremos que <math>H</math> es
normal en <math>G</math>. Es decir que, para todo <math>g</math> en
<math>G</math> se cumple que <math>gag^{-1}</math> es un elemento de
<math>H</math>. El típico elemento de <math>G</math> es
{{Eqn|<math>g=a^{i} b^j\quad
\text{ con }\quad 0
\le i,j <3.</math>|*}} Observando que <math>(a^{i}b^j) a (a^{i}b^{j}) ^{-1} = a^{i}
b^j a( b^j)^{-1}(a^{i})^{-1},</math> vemos que basta verificar que
<math>bab^{-1}</math> está en <math>H</math>.
Se tiene que {{Eqn|<math>bab^{-1} = a^ ib^j.</math>|**}} para <math>i,j</math>
Se tiene que
{{Eqn|tales que <small><math>bab^{-1}0 =\le a^i, ib^j. <3</math>|**}}</small>. Queremos probar, que
necesariamente <math>j=0</math>. Recordemos, que como los elementos
para <i>i,j</i> tales que <small><math>0 \le i, j <3</math></small>.
<math>x</math> diferentes del neutro son de orden 3, tenemos que
Queremos probar, que necesariamente <i>j=0</i>. Recordemos, que como los elementos <i>x</i> diferentes del neutro son de orden 3, tenemos que <i>x<sup>-1</sup>=x<sup>2</sup></i>. Además, <math>ab \neq e</math> y <math>ba \neq e</math>, ya que, en caso contrario, tendríamos que <i><nowiki> <a></nowiki> = <nowiki><b></nowiki></i>
<math>x^{-1}=x^{2}</math>. Además, <math>ab \neq e</math> y <math>ba \neq
<ul>
e</math>, ya que, en caso contrario, tendríamos que <math><nowiki>
<li> Si <i>i=0</i>, entonces (**) implica que <i>bab<sup>-1</sup> =b<sup>j</sup></i> lo que implica que <math>a = b^{-1}b^{j}b \in <b></math>, lo que no puede ser. Luego, <i>i > 0</i>.
<a></nowiki> = <nowiki><b></nowiki></math> <ul> <li> Si <math>i=0</math>,
entonces (**) implica que <math>bab^{-1} =b<sup>j</sup></math> lo que implica
que <math>a = b^{-1}b^{j}b \in <b></math>, lo que no puede ser. Luego, <math>i
> 0</math>.
<li> < imath>bab <sup>^{-1 </sup>} = ab ==>\implies abab <sup>^{-1 </sup>} = a <sup>^{2 </sup>}b ==>\implies abab <sup>^{2 </sup>} =ab ==> \impliesabab=a <sup>^{2 }</ sup></imath>. Esto dice que <math><ab> = \{e, ab, (ab)^2\} \cap \{e,a,a^2\} \neq {e}</math>. Esto dice que < imath>ab=a</ imath> o que < imath>ab=a <sup>^{2 }</ sup></imath>, y ambas posibilidades son contradictorias a las elecciones de < imath>a</ imath> y < imath>b</ imath>.
<li> <imath>bab<sup>^{-1</sup>} = ab<sup>^{2</sup>}=ab<sup>^{-1}</sup></imath> implica que <imath>ba = a</imath>, o sea que <i>b=e</i>.
o sea que <math>b=e</math>.
<li> <imath>bab<sup>^{-1</sup>} = a<sup>^{2</sup>}b ==>\implies a(bab<sup>^{2</sup>}) = a<sup>^{2</sup>}b ==>\implies ab ab<sup>^{2</sup>} = a<sup>^{2</sup>}b ==> abab = a<sup>2</sup></i>, lo que sabemos que es contradictorio.
\implies abab = a^{2}</math>, lo que sabemos que es contradictorio.
<li> <math>bab^{-1} = a^{2}^{2} \implies bab^{2}=a^{2}b^{2} \implies ba
<li> <i>bab<sup>_1</sup> = a<sup>2</sup><sup>2</sup> ==> bab<sup>2</sup>=a<sup>2</sup>b<sup>2</sup> ==> ba =a<sup>2</sup> ==> b=a</i>. Una contradicción.
=a^{2} \implies b=a</math>. Una contradicción. </ul> Como todos los casos con
</ul>
<math>j
Como todos los casos con <i>j >0</i> conducen a contradicción, debemos concluir que <i>j=0</i>. Lo que prueba que <i>H</i> es normal en <i>G</i>.
>0</math> conducen a contradicción, debemos concluir que <math>j=0</math>. Lo
que prueba que <math>H</math> es normal en <math>G</math>.
Por la simetría de la situación, tenemos que <imath>K</imath> es, también,
normal en <imath>G</imath>. Por la proposición \ref{propInternoNormales},
tenemos que <math>G=HK \cong H \times K</math>.
Es decir que cualquier grupo con 9 elementos es el grupo cíclico de 9 elementos,
<math>C_9</math>, o el producto de dos grupos cíclicos de orden 3 cada uno.
Resumiendo,
{{Caja|<math>|G|=9 \implies G \cong C_9 \text{ o } G \cong C_3 \times C_3. </math>}}
\times C_3. </math>}} Además, lo anterior implica que no hay grupos no
conmutativos de orden 9.
== Caracterización de los Grupos Cíclicos Finitos ==
Sabemos que cada elemento <imath>g</imath> de un grupo finito tiene un orden
que es un divisor del orden del grupo. Introduciremos la noción de ''exponente'' de
un grupo que nos ayudará en la caracterización de los grupos cíclicos finitos.
{{DefRht|Exponente de un Grupo| Sea <math>G</math> un grupo finito.
Sea <i>G</i> un grupo finito. Llamamos '''exponente''' del grupo al menor entero positivo <imath>r</imath> tal
que <math>x^r=e</math> para todo elemento <imath>x</imath> dell grupo. Lo
denotaremos por <math>\exp(G)</math>.}}
Por ejemplo, <imath>exp(S<sub>3</sub>)=6</imath>, <imath>exp(D<sub>8</sub>)= 4</imath>.
Como <math>x^{\exp(G)}=e</math>, tenemos que <imath>exp{G}</imath> es un
múltiplo de <imath>o(x)</imath>.
Un grupo cíclico <imath>G</imath> es un grupo tal que <imath>exp(G) =
|G|</imath>. El objetivo de esta sección es mostrar que esa relación caracteriza
a los grupos cíclicos.
Necesitaremos el siguiente lema que provee una caracterización para el
exponente.
<b>Lema. </b> <i>Sea <math>G</math> un grupo finito abeliano y sea
{{Ejmpl|Lema}}
<i>Sea <i>G</i> un grupo finito abeliano y sea <imath>g</imath> un elemento cuyo orden es maximal entre los ordenes de los
elementos de <imath>G</imath>. Entonces, <math>\exp(G) = o(g)</math>.}} </i>
<ul> <i>
Demostración: </i> Debemos probar que <math>h<sup>o(g)</sup>=e</math> para t6do ''h'' en <math>G</math>. Supongamos que tenemos descomposiciones en factores primos de <math>o(g)</math> y <math>o(h)</math> dadas por {{Eqn|<math>o(g) = p_1^{r_1}p_2^{r_2} \dots p_k^{r_k} \text{ y } o(h) = p_1^{s_1}p_2^{s_2}\dots p_k^{s_k},</math>}}
donde los <math>p_i</math>'s son primos diferentes entre si y los exponentes <math>r_i</math>'s, <math>s_i</math>'s son mayores o iguales que cero.
Si <math>h^{o(g)} \neq e</math>, se tendría que habría un <math>s_i>r_i</math>, sin perdida de generalidad, podemos suponer que <math>s_1 > r_1</math>. Sean <math>u =p_1^{r_1}</math>, <math> v= p_2^{s_2}\dots p_k^{s_k}</math>, <math>g'= g^u</math> y <math>h'= h^v</math>. Entonces, tenemos que <math>o(h')= p_1^{s_1}</math> y <math>o(g') = p_2^{r_2} \dots p_k^{r_k}</math>.
:<i>Demostración: </i> Debemos probar que <i>h<sup>o(g)</sup>=e</i> para t6do ''h'' en ''G''. Supongamos que tenemos descomposiciones en factores primos de <i>o(g)</i> y <i>o(h)</i> dadas por
Se tiene entonces que el máximo común divisor de <math>o(h')</math> y <math>o(g')</math> es 1, por lo que <math>o(h'g') = o(h')o(g') = p_1^{s_1}p_2^{r_2} \dots p_k^{r_k} >o(g)</math>. Pero esto contradice la maximalidad de <math>o(g)</math>.
{{Eqn|<math>o(g) = p_1^{r_1}p_2^{r_2} \dots p_k^{r_k} \text{ y }
{{QED}} </ul>
o(h) = p_1^{s_1}p_2^{s_2}\dots p_k^{s_k},</math>}}
:donde los <i>p_i</i>'s son primos diferentes entre si y los exponentes <i>r_i</i>'s, <i>s_i</i>'s son mayores o iguales que cero.
:Si <math>h^{o(g)} \neq e</math>, se tendría que habría un <math>s_i>r_i</math>, sin perdida de generalidad, podemos suponer que <math>s_1 > r_1</math>. Sean <math>u =p_1^{r_1}</math>, <math> v= p_2^{s_2}\dots p_k^{s_k}</math>, <math>g'= g^u</math> y <math>h'= h^v</math>. Entonces, tenemos que <math>o(h')= p_1^{s_1}</math> y <math>o(g') = p_2^{r_2} \dots p_k^{r_k}</math>. :Se tiene entonces que el máximo común divisor de <i>o(h')</i> y <i>o(g')</i> es 1, por lo que <math>o(h'g') = o(h')o(g') = p_1^{s_1}p_2^{r_2} \dots p_k^{r_k} >o(g)</math>. Pero esto contradice la maximalidad de <i>o(g)</i>. {{QED}}
<hr>
<!--- \label{propCarGC}-->
{{PropRht|<b>Proposición. (Caracterización de Grupos Cíclicos|Sea) </b><i>Sea <math>G</imath> un grupo finito abeliano. Entonces,
<imath>G</imath> es cíclico, ssi, <math>\exp(G)=|G|</math>.}}</i>
<ul><i>
:<i>Demostración: </i>Si <imath>G=<g></imath>, entonces
<imath>exp(G)=o(g)=|G|</imath>. Recíprocamente, supongamos que
<imath>exp(G)=|G|</imath>; entonces hay un elemento <imath>g</imath> tal que
<imath>o(g)=exp(G)=|G|</imath>, por lo que <imath>G</imath> es cíclico.
{{QED}} </ul>
<hr>
== Ejercicios del Capítulo ==
<ol> <li> Probar que el producto de dos grupos abelianos es un grupo abeliano.
<ol>
<li> Probar que el producto de dos grupos abelianos es un grupo abeliano.
<li> Sea <imath>G</imath> un grupo abeliano tal que <imath>|G| = pq</imath>
donde <imath>p</imath> y <imath>q</imath> son números primos diferentes.
Probar que hay elementos <imath>x</imath>, <imath>y</imath> tales que
<imath>o(x) = p</imath>, <imath>o(y) = q</imath> y que <math>G \cong C_p
\times C_q</math>.
<li> Clasificar los grupos de orden 10, 14 y 15.
</ol>
== Comentarios ==
== Referencias ==
{{QED}}
<!-- abc -->
<!-- 05-18-2015 -->
| 