Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Homomorfismos»
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<noinclude>{{En desarrollo}}</noinclude>
<noinclude>
{{navegar|libro=Álgebra/Álgebra Abstracta (Primer Curso)/Contenidos
|anterior=Grupos
|siguiente=Subgrupos
}}
</noinclude>
== Introducción ==
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cuando haya un supramorfismo de G en H. }}
{{Ejmpl|Ejemplo Clásico de Homomorfismo}}
El prototipo de homomorfismo (de hecho es un isomorfismo) es el <i>logaritmo</i> que transporta la estructura multiplicativa de los Reales positivos en la estructura aditiva de los Reales. <math>\ln:<\R^+,\cdot> \rightarrow <\R, +> </math> ya que
<ol type = "i">
<li> <math>\ln
<li> <math>\ln(1/x) = - \ln(x)</math>.
</ol>Además, se trata de un isomorfismo ya que el logaritmo es una función biyectiva, que tiene a la función exponencial como inversa.
<hr> {{Ejmpl|Ejemplo. (Homomorfismo trivial)}}
Sean ''G'' y ''H'' grupos cualesquiera. La función que asigna a cada ''x'' de ''G'' el elemento neutro de ''H'' es un homomorfismo que llamaremos el <i>homomorfismo trivial</i>
<hr>
{{Ejmpl|Ejemplo. (Los grupos U<sub>4</sub> y C<sub>4</sub> son isomorfos)}}
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\end{array}
</math></center> Claramente, f es biyectiva, por lo que los grupos son
isomorfos.
<hr> {{Ejmpl| Endomorfismo aditivo de <math>\Z</math>}}
Sea <math> f : <\Z,+> \rightarrow <\Z, _></math> tal que <math>f(x) = 5x.</math> Es fácil ver que se trata de un endomorfismo de grupos, ya que
<math>
\begin{array}{ll}
(i) & f(x+y) = 5(x+y) = 5x + 5y = f(x) = f(y)\\
(ii) & f(0) = 0; \text{ y} \\
(iii) & f(-x) = -5(-x) = -5x = -f(x).
\end{array}</math>
Luego, tenemos un endomorfismo (porque va de un grupo en si mismo) que es
inyectivo, pero no suprayectivo.
<hr> == Propiedades de los Homomorfismos ==
La definición dada de homomorfismo es la definición general
de homomorfismo de estructuras<ref>Véase el apéndice sobre Estructuras
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<hr>
{{Ejmpl|Ejemplo}}
La función <math>\nu:\Z \longrightarrow \Z_m</math> que asocia a cada entero
<math>z</math> su clase de congruencia módulo <i>m</i> es un supramorfismo,
ya que es suprayectiva y
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<hr>
{{Ejmpl|Ejemplo (Determinante)}}
La función determinante (de matrices) tiene la siguiente propiedad <center><math>\det(AB) = \det(A) \det(B)</math></center>
por lo que define un homomorfismo del grupo de matrices invertibles
<b>GL</b><sub>2</sub><math>(\R)</math> en el grupo multiplicativo de los
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<hr>
{{Ejmpl|Ejemplo (Grupo Producto)}}
Sean G, H, K grupos tales que <math>G = H \times K</math>. Sea <math>pr_H:G \longrightarrow H</math> tal que
<math>pr_H(h,k) = h</math> (proyección en la primera coordenada).
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{{Eqn|<math>pr_H((h_1,k_1)(h_2k_2)) = pr_H(h_1h_2,k_1k_2)= h_1h_2 =
pr_H(h_1,k_1)pr_H(h_2,k_2).</math>}} Resultado análogo para la segunda
proyección.
<hr> <b>Proposición 2. (Composición de Homomorfismos) </b><i> La composición de
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que decimos que hay un único grupo con un elemento.
{{Ejmpl|Clasificación de los grupos de orden 2}}
Hay un único grupo de orden 2, excepto por isomorfismos. Vimos este resultado, anteriormente, analizando las posibilidades para el
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más adelante.
{{Ejmpl|Dos grupos de orden 4 que no son isomorfos}}
Los grupos cíclicos de orden 4, <b>C<sub>4</sub></b> y <b>K</b> (grupo de Klein) vistos a propósito de las tablas de grupo en el capítulo anterior, no son isomorfos. En efecto, en C<sub>4</sub> hay, por definición de grupo cíclico un elemento de orden 4, mientas que en el grupo de Klein todos los elementos diferentes del neutro tienen orden 2. Por lo tanto, los grupos no pueden ser isomorfos.
<hr>
==== Isomorfismo de Grupos Cíclicos ====
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