Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Homomorfismos»
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<noinclude>{{En desarrollo}}</noinclude>
{{navegar|libro=Álgebra/Álgebra
Abstracta (Primer Curso)/Contenidos |actual=Homomorfismos |anterior=Grupos
|siguiente=Subgrupos }}
== Introducción ==
Hemos visto en el capítulo anterior tres grupos de orden 4:
Línea 19:
\leftrightarrow & i^3 = -i \\ a^4 = e & \leftrightarrow & i^4 = 1
\end{array}
</math></center>
El pareo hace que el ''algebra'' de ambos grupos luzca
bastante similar. La manera formal de comparar grupos será la noción de
Línea 53:
cuando haya un supramorfismo de G en H. }}
{{Ejmpl|Ejemplo Clásico de Homomorfismo}} El prototipo de homomorfismo (de
hecho es un isomorfismo) es el <i>logaritmo</i> que transporta la estructura
multiplicativa de los Reales positivos en la estructura aditiva de los Reales.
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función biyectiva, que tiene a la función exponencial como inversa. <hr>
{{Ejmpl|Ejemplo. (Homomorfismo trivial)}} Sean ''G'' y ''H'' grupos cualesquiera. La
función que asigna a cada ''x'' de ''G'' el elemento neutro de ''H'' es un
homomorfismo que llamaremos el <i>homomorfismo trivial</i> <hr>
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isomorfos. <hr>
{{Ejmpl| Endomorfismo aditivo de <math>\Z</math>}} Sea <math> f : <\Z,+>
trata de un endomorfismo de grupos, ya que <math>\begin{array}{ll} (i) & f(x+y) = 5(x+y) = 5x + 5y = f(x) = f(y)\\ (ii) & f(0) = 0; \text{ y} \\ (iii) & f(-x) = -5(-x) = -5x =
-f(x).
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inyectivo, pero no suprayectivo. <hr>
== Propiedades de los Homomorfismos ==
La definición dada de homomorfismo es la definición general
de homomorfismo de estructuras<ref>Véase el apéndice sobre Estructuras
Algebraicas.</ref>. En el caso de los homomorfismos de grupos, tenemos que la
primera condición implica a las otras dos.
<b>Proposición 1. (Caracterización de Homomorfismos)</b>. <i> Sean
<math>G</math> y <math>G'</math> grupos. Una función <math>f: G \rightarrow
G'</math> es un homomorfismo, ssi, para todo x, y de G se cumple que
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lo que implica que <math>f(e) = e'.</math> Por su parte <math>e'= f(e) = f(x *
x^{-1}) = f(x) *'f(x^{-1})</math>; de donde <math>f(x^{-1})= f(x)^{-1}. </math> :Lo
que prueba la proposición. {{QED}}
<hr>▼
{{Ejmpl|Ejemplo}} La función
<math>z</math> su clase de congruencia módulo <i>m</i> es un supramorfismo,
ya que es suprayectiva y
{{Eqn|<math> \nu(x+y)= [x+y] = [x] + [y] = \nu(x)+\nu(y)
</math>}} {{QED}}
<hr>
{{Ejmpl|Ejemplo (Determinante)}} La función determinante (de matrices) tiene la
siguiente propiedad <center><math>\det(AB) = \det(A) \det(B)</math></center>▼
▲<center><math>\det(AB) = \det(A) \det(B)</math></center>
por lo que define un homomorfismo del grupo de matrices invertibles
<b>GL</b><sub>2</sub><math>(\R)</math> en el grupo multiplicativo de los
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<hr>
{{Ejmpl|Ejemplo (Grupo Producto)}} Sean G, H, K grupos tales que <math>G = H
<math>pr_H(h,k) = h</math> (proyección en la primera coordenada). <math>pr_H</math> es un supramorfismo, ya que
{{Eqn|<math>pr_H((h_1,k_1)(h_2k_2)) = pr_H(h_1h_2,k_1k_2)= h_1h_2 =
pr_H(h_1,k_1)pr_H(h_2,k_2).</math>}} Resultado análogo para la segunda
<b>Proposición 2. (Composición de Homomorfismos) </b><i> La composición de
dos homomorfismos es un homomorfismo.</i>
<ul><i>
Demostración: </i> Sean <math>f:G_1 \longrightarrow G_2</math> y <math>g: G_2 \longrightarrow G_3</math> homomorfismos. Entonces. <center><math>
\begin{array}{rcl}
(g \circ f)(xy) &=&
g(f(xy)) = g(f(x)f(y)) = g(f(x))g(f(y)) \\
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(f(x))^{n-1}f(x) = f(x)^n.</math>
<b>Proposición 3. (Homomorfismos y Potencias) </b> <i> Sea <math>f:G
\longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y sea <i>x</i> un
elemento de G. Entonces, para todo entero n se cumple que</i> <math>f(x^n) =
f(x)^n.</math></i>
<ul> <i>
Demostración: </i> La discusión previa al enunciado prueba el resultado para valores no negativos de <i>n</i>. Sea <i>n > 0</i>, entonces
{{Eqn|<math>f(x^{-n}) =f((x^{-1})^n) = f(x^{-1})^n = (f(x)^{-1})^n =
f(x)^{-n}, </math>}} {{QED}}
</ul>
<hr>
<b>Corolario 3.1.</b><i> Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y sea <i>x</i> un elemento de G. Entonces, el orden de f(x) divide al orden de x. </i>
<ul> <i>
Demostración: </i> Sea <i>n=o(x)</i>. Entonces, <i>x<sup>n</sup> = e <\i>,
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Recordemos que un isomorfismo de grupos es un homomorfismo biyectivo y que
<math> G \cong G'</math> significa que los grupos son isomorfos, es decir que
hay un isomorfismo de G en G'. Notemos que la relación de isomorfismo entre
grupos es reflexiva, simétrica y transitiva. <ul> <li> Si <math>f: G \longrightarrow
de ''f'' como función tenemos que<br /> para todo <i>x' = f(x), y' = f(y)</i> que
<i>g(x'y') = g(f(x)f(y)) = g(f(xy))= xy = g(x') g(y')</i>. Es decir que Es decir que la
isomorfismos <math>f:G\longrightarrow H</math> y <math>g:H \longrightarrow
K</math>, entonces su composición es un homomorfismo biyectivo, por lo que
es un isomorfismo. <hr> Al pasar, hemos probado la siguiente proposición.▼
<b>Proposición 4. (Propiedades de Isomorfismos)</b> <i> <ol type = "a"> <li> La▼
función inversa de un isomorfismo es un isomorfismo. <li> La composición de
▲<li> Si <math>f: G \longrightarrow H</math> un isomorfismo y <math>g: H \longrightarrow G</math> es la inversa de ''f'' como función tenemos que<br />
▲isomorfismos <math>f:G\longrightarrow H</math> y <math>g:H \longrightarrow K</math>, entonces su composición es un homomorfismo biyectivo, por lo que es un isomorfismo.
▲Al pasar, hemos probado la siguiente proposición.
▲<b>Proposición. (Propiedades de Isomorfismos)</b> <i>
▲<li> La función inversa de un isomorfismo es un isomorfismo.
▲<li> La composición de isomorfismos es un isomorfismo. </ol></i>
▲<hr>
<b>Observaciones. </b> El logaritmo fue el primer ejemplo conocido de un
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que decimos que hay un único grupo con un elemento.
{{Ejmpl|Clasificación de los grupos de orden 2}} Hay un único grupo de orden 2,
Vimos este resultado, anteriormente, analizando las posibilidades para el
Línea 243 ⟶ 235:
elementos neutros son <i>e</i> y <i>e'</i> respectivamente. Sea <i>g</i> la
función de <i>G</i> en <i>H</i> tal que <i>g(e)=e'</i> y <i>g(a) = a'</i>.
Entonces,
<center><math>
\begin{array}{l}
g(e*e) = g(e)= e'= ee' =g(e)g(e)\\
g(e*a) = g(a) = e'g(a) = g(e) g(a) \\ g(a*e) = g(a) = g(a)e' = g(a)g(e) \\ g(a*a) =
Línea 251 ⟶ 243:
\end{array}
</math></center>
Lo que prueba que <i>g</i> es un isomorfismo.
<hr>
Línea 262 ⟶ 254:
más adelante.
{{Ejmpl|Dos grupos de orden 4 que no son isomorfos}} Los grupos cíclicos de
de las tablas de grupo en el capítulo anterior, no son isomorfos. En efecto, en
C<sub>4</sub> hay, por definición de grupo cíclico un elemento de orden 4,
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Nuestra próxima proposición formaliza algo que habíamos instuido.
<b>Proposición 5. (Isomorfismo de Cíclicos)<b>
<ul><i>
Demostración: </i> Sean G=C_<sub>n,a</sub> y H =
C_<sub>n,b.</sub> Definamos f:G en H por ''f(a<sup>k</sup>) =
Línea 282 ⟶ 274:
<math>f(a^k) = f(a^j)</math>. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que
<math>j \le k</math>, por lo que tenemos que $0 \le j \le k <n$. Se tiene que
<math>f(a^k) = f(a^j) \implies b^k=b^j \implies b^{k-j}=e'</math>> Si <math> k
\neq j</math>, <math>k-j</math> sería un número positivo menor que
Línea 287 ⟶ 280:
el menor entero positivo con la propiedad de que <math>a^n=e'.</math>. Luego
<math>k=j</math>, o sea que <math>f</math> es inyectiva. Lo que concluye la
prueba. {{QED}} </ul><hr>
==== Isomorfismo de Grupos Simétricos ====
Línea 319 ⟶ 311:
prueba que se trata de un isomorfismo de grupos.
<b>Proposición 6. (Isomorfismo de Grupos Simétricos)</b> <i> Cuando <math>X</math> y <math>Y</math> son conjuntos con igual cantidad de elementos, sus grupos simétricos son congruentes. <math>S_X \cong S_Y</math>.</i>
<b>Corolario 6.1. </b><i> El grupo simétrico de cualquier conjunto con <math>n</math> elementos es isomorfo a <math>S_n</math> el grupo simétrico de <math>S_{I_n}</math>.
</i>
Línea 335 ⟶ 327:
contenido en <math>\textsf{S}_G</math>.
{{Ejmpl|Automorfismos de <math>C_n</math>}}
Sea <math>f: C_n \longrightarrow C_n</math> un automorfismo de grupos. Entonces como [1] es un generador del grupo, su imagen debe ser un generador del grupo. <ul>
<li>
(n=5) Supongamos que ''a'' es un generador de <math>C_5</math>. Por
inspección, podemos ver que los generadores del grupo son <math>a^i</math>
Línea 357 ⟶ 349:
\cong C_2.</math> </ul> <hr>
== Ejercicios del Capítulo ==
<ol>
<li> Sea <i>P</i> el subconjunto de
<math>\Z</math> formado por todos los enteros pares. Probar que la función
Línea 476 ⟶ 468:
homomorfismos para semigrupos y monoides. </ol>
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== Referencias ==
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