Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Homomorfismos»
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{{navegar|libro=Álgebra/Álgebra
Abstracta (Primer Curso)/Contenidos |actual=Homomorfismos |anterior=Grupos |siguiente=Subgrupos }}
== Introducción ==
Hemos visto en el capítulo anterior tres grupos de orden 4:
C<sub>4,a</sub>, el grupo de Klein y el grupo de las raíces cuartas de la unidad,
U<sub>4</sub> = U<sub>4</sub>(<math>\scriptstyle \C</math>). ¿Son esos
grupos distintos? La respuesta sería aparentemente si, si nos fijáramos
solamente en sus elementos. Sin embargo, en Álgebra Abstracta estamos más
interesados en las propiedades de las operaciones que en la manera como
simbolizamos a los elementos. Observemos que tanto C<sub>4,a</sub> como
U<sub>4</sub> son grupos cíclicos con generadores ''a'' e ''i'' respectivamente y
que tenemos el siguiente pareo. <center><math>
\begin{array}{lcl}
C_4 && U_4 \\ \hline a & \leftrightarrow & i \\ a^2 & \leftrightarrow & i^2=-1\\ a^3 &
\leftrightarrow & i^3 = -i \\ a^4 = e & \leftrightarrow & i^4
\end{array}
</math></center>
El pareo hace que el ''algebra'' de ambos grupos luzca
bastante similar. La manera formal de comparar grupos será la noción de homomorfismo, que formalizará la noción de semejanza de dos grupos. En este capítulo, veremos como usar funciones especiales (
grupos para realizar comparaciones que nos permitan detectar o verificar isomorfías como las indicadas arriba. De forma más general, estudiaremos homomorfismos que son funciones que preservan los parámetros de la estructura de grupo. == Definiciones ==
{{DefRht|Homomorfismo de Grupos| Sean <math><G,*,e,x
Un '''homomorfismo''' del grupo G en el grupo G' es una función <math>f:G
\rightarrow G' </math> tal que ::(i) <math> f</math> permuta con las operaciones:
<math>f(e) = e'</math> ::(iii) <math>f</math> envía inversos en inversos: <math>
f(x^{-1}) = f(x)^{-1}</math>.
'''Tipos de Homomorfismos '''<br /> Un homomorfismo <math>f:G \rightarrow
G'</math> es un: : '''monomorfismo''', cuando <math>f</math> es inyectiva. :
'''supramorfismo''', cuando <math>f</math> es suprayectiva. : '''isomorfismo''',
cuando <math>f</math> es biyectiva. : '''endomorfismo''', cuando es un
homomorfismo de <math>G</math> en si mismo. : '''automorfismo''', cuando es
un isomorfismo de <math>G</math> en si mismo.
grupos son '''isomorfos''' y escribimos <math>G \cong G'</math>.
Decimos que un grupo H es una <b>imagen homomórfica</b> de un grupo G,
cuando haya un supramorfismo de G en H. }}
{{Ejmpl|Ejemplo Clásico de Homomorfismo}} El prototipo de homomorfismo (de
hecho es un isomorfismo) es el <i>logaritmo</i> que transporta la estructura
multiplicativa de los Reales positivos en la estructura aditiva de los Reales.
<math>\ln:<\R^+,\cdot> \rightarrow <\R, +> </math> ya que ::(i) <math>\ln(x \cdot
y) = \ln(x) + \ln(y) </math>, ::(ii) <math>\ln(1) = 0</math>, y ::(iii) <math>\ln(1/x) = -
\ln(x)</math>. Además, se trata de un isomorfismo ya que el logaritmo es una
función biyectiva, que tiene a la función exponencial como inversa. <hr>
{{Ejmpl|Ejemplo. (Homomorfismo trivial)}} Sean ''G'' y ''H'' grupos cualesquiera. La
función que asigna a cada ''x'' de ''G'' el elemento neutro de ''H'' es un
homomorfismo que llamaremos el <i>homomorfismo trivial</i> <hr>
{{Ejmpl|Ejemplo. (Los grupos U<sub>4</sub> y C<sub>4</sub> son isomorfos)}}
Sea f la función que envía <math> a^k</math> en <math>i^k</math>. Como
todos los elementos de ambos grupos son potencias de sus generadores tenemos que <center><math>
\begin{array}{ll}
(i) & f(a^m a^n) = f(a^{m+n}) = i^{m+n} = i^m i^n = f(a^m)f(a^n). \\ (ii)& f(e) =
f(
\end{array}
</math></center> Claramente, f es biyectiva, por lo que los grupos son
isomorfos. <hr>
{{Ejmpl| Endomorfismo aditivo de <math>\Z</math>}} Sea <math> f : <\Z,+>
trata de un endomorfismo de grupos, ya que <math>\begin{array}{ll} (i) & f(x+y) = 5(x+y) = 5x + 5y = f(x) = f(y)\\ (ii) & f(0) = 0; \text{ y} \\ (iii) & f(-x) = -5(-x) = -5x =
-f(x).
\end{array}</math>
Luego, tenemos un endomorfismo (porque va de un grupo en si mismo) que es
inyectivo, pero no suprayectivo. <hr> == Propiedades de los Homomorfismos ==
La definición dada de homomorfismo es la definición general
de homomorfismo de estructuras<ref>Véase el apéndice sobre Estructuras Algebraicas.</ref>. En el caso de los homomorfismos de grupos, tenemos que la primera condición implica a las otras dos. <b>Proposición (Caracterización de Homomorfismos)</b>. <i> Sean
<math>G</math> y <math>G'</math> grupos. Una función <math>f: G \rightarrow
G'</math> es un homomorfismo, ssi, para todo x, y de G se cumple que
<math>f(x * y)= f(x) *' f(y).</math>'' </i>
<ul><i>
Demostración: </i> Las condiciones son claramente necesarias. Veamos
que son suficientes. Observemos que <math>f(e) = f(e * e) = f(e) *'f(e) </math>,
lo que implica que <math>f(e) = e'.</math> Por su parte <math>e'= f(e) = f(x *
x^{-1}) = f(x) *'f(x^{-1})</math>; de donde <math>f(x^{-1})= f(x)^{-1}. </math> :Lo
que prueba la proposición. {{QED}}
<hr>
{{Ejmpl|Ejemplo
<math>\nu:\Z \longrightarrow \Z_m</math> que asocia a cada entero
<math>z</math> su clase de congruencia módulo <i>m</i> es un supramorfismo,
ya que es suprayectiva y
{{Eqn|<math> \nu(x+y)= [x+y] = [x] + [y] = \nu(x)+\nu(y)
</math>}} {{QED}}
<hr>
{{Ejmpl|Ejemplo (Determinante)}} La función determinante (de matrices) tiene la
siguiente propiedad <center><math>\det(AB) = \det(A) \det(B)</math></center>
por lo que define un homomorfismo del grupo de matrices invertibles
<b>GL</b><sub>2</sub><math>(\R)</math> en el grupo multiplicativo de los
Reales. Por la proposición, tenemos que el determinante de la matriz identidad
es 1 y el determinante de la inversa de una matriz es el recíproco del
determinante de la matriz.
<hr>
{{Ejmpl|Ejemplo (Grupo Producto)}} Sean G, H, K grupos tales que <math>G = H
\times K</math>. Sea <math>pr_H:G \longrightarrow H</math> tal que
<math>pr_H(h,k) = h</math> (proyección en la primera coordenada).
<math>pr_H</math> es un supramorfismo, ya que
{{Eqn|<math>pr_H((h_1,k_1)(h_2k_2)) = pr_H(h_1h_2,k_1k_2)= h_1h_2 =
pr_H(h_1,k_1)pr_H(h_2,k_2).</math>}} Resultado análogo para la segunda
proyección. <hr>
<b>Proposición. (Composición de Homomorfismos) </b><i> La composición de
dos homomorfismos es un homomorfismo.</i>
<ul><i>
Demostración: </i> Sean <math>f:G_1 \longrightarrow G_2</math> y <math>g: G_2 \longrightarrow G_3</math> homomorfismos. Entonces. <center><math>
\begin{array}{rcl}
(g \circ f)(xy) &=&
g(f(xy)) = g(f(x)f(y)) = g(f(x))g(f(y)) \\
&=& (g\circ f)(x)(g\circ f)(y).
\end{array}</math></center> {{QED}}
</ul><hr>
Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y sea
<i>x <math>n</math> natural, <math>f(x^n) = f(x)^n</math>. Si <math>n=0</math>, valores menores de n, tenemos <math>f(x^n)=f(x^{n-1}x) = f(x^{n-1})f(x) = \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y sea <i>x</i> un
f(x)^n.</math></i>
<ul> <i>
Demostración: </i> La discusión previa al enunciado prueba el resultado para valores no negativos de <i>n</i>. Sea <i>n > 0</i>, entonces
{{Eqn|<math>f(x^{-n}) =f((x^{-1})^n) = f(x^{-1})^n = (f(x)^{-1})^n =
f(x)^{-n}, </math>}} {{QED}}
</ul>
<hr>
<b>Corolario</b><i> Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y sea <i>x</i> un elemento de G. Entonces, el orden de f(x) divide al orden de x. </i>
<ul> <i>
Demostración: </i> Sea <i>n=o(x)</i>. Entonces, <i>x<sup>n</sup> = e <\i>,
lo que implica que <math>f(x)^n)=f(x^n) =f(e) = e'</math>. Por lo que <i>n</i> es
un múltiplo de <i>o(f(x))</i>. {{QED}} </ul>
<hr>
=== Ejercicios ===
<ol> <li> ¿Cuáles de las funciones siguientes son homomorfismos de grupos?
grupo multiplicativo de los Reales no nulos. <ol type = "a">
<li> <math>f: \R \longrightarrow \R:: t \mapsto 3t</math>.
Línea 139 ⟶ 178:
</ol>
<li> Sea <math>G=H \times K</math>. Sea <math>\iota_H: H \longrightarrow
G</math> tal que <math>\iota_H(h)=(h,e_K)</math>. Probar que <math>\iota_H</math> es un monomorfismo de grupos. Definir un == Isomorfismos de Grupos ==
Recordemos que un isomorfismo de grupos es un homomorfismo biyectivo y que
<math> G \cong G'</math> significa que los grupos son isomorfos, es decir que hay un isomorfismo de G en G'. Notemos que la relación de isomorfismo entre
grupos es reflexiva, simétrica y transitiva. <ul> <li> Si <math>f: G \longrightarrow
de ''f'' como función tenemos que<br /> para todo <i>g(x'y') = g(f(x)f(y)) = g(f(xy))= xy = g(x') g(y') K</math>, entonces su composición es un homomorfismo biyectivo, por lo que es un isomorfismo. <hr> Al pasar, hemos probado la siguiente proposición.
función inversa de un isomorfismo es un isomorfismo. <li> La composición de
otra. Multiplicar es más difícil que sumar, por lo que para multiplicar dos números, sumamos sus logaritmos y, luego, usando, la inversa (que es la exponencial) obtenemos el resultado de la multiplicación. Esto podrá parecer muy complicado al lector acostumbrado a las calculadoras
electrónicas, pero cuando estas no existían, los cómputos de productos se realizaban obteniendo valores de logaritmos y de antilogaritmos (la función inversa) desde libros con tablas de valores de dichas funciones. {{Caja|<center>'''La Clasificación de Grupos'''</center> El objetivo central de la
posibles tipos de grupos no isomorfos entre si.}} Desde el punto de vista de la teoría de grupos, dos grupos isomorfos son
esencialmente el mismo grupo, la única diferencia reside en el nombre usado para los elementos del grupo, como lo discutido al inicio del capítulo. Por lo que, a veces, diremos que grupos con una cierta propiedad son únicos, significando que cualquier par de grupos con la propiedad son isomorfos. Esto significa que para probar que dos grupos no son isomorfos basta con verificar que hay una propiedad de uno de ellos que no tiene el otro. Por ejemplo, grupos con un solo elemento son todos isomorfos entre si, por lo
que decimos que hay un único grupo con un elemento. {{Ejmpl|Clasificación de los grupos de orden 2}} Hay un único grupo de orden 2,
Vimos este resultado, anteriormente, analizando las posibilidades para el
producto del elemento diferente del neutro. Aquí, veremos el mismo resultado pero usando isomorfismos. Sean elementos neutros son función de Entonces, <center><math>
\begin{array}{l} g(e*e) = g(e)= e'= ee' =g(e)g(e)\\ g(e*a) = g(a) =
g(
\end{array}
Lo que prueba que
<hr>
Los isomorfismos preservan la estructura interna de un grupo. En particular,
preservan ordenes de elementos. En efecto, sean <math>f:G \longrightarrow
H</math> un isomorfismo y <i>x</i> un elemento de <i>G</i>, entonces tenemos,
por un corolario anterior, que <math>o(f(x)|o(x)</math>. como <math>x =
f^{-1}(f(x))</math> y <math>f^{-1}</math> es un homomorfismo, tenemos que
<math>o(x)|o(f(x))</math>. de donde, la igualdad. Aplicaremos esta observación
más adelante.
{{Ejmpl|Dos grupos de orden 4 que no son isomorfos}} Los grupos cíclicos de
orden 4, <b>C<sub>4</sub></b> y <b>K</b> (grupo de Klein) vistos a propósito
de las tablas de grupo en el capítulo anterior, no son isomorfos. En efecto, en
C<sub>4</sub> hay, por definición de grupo cíclico un elemento de orden 4,
mientas que en el grupo de Klein todos los elementos diferentes del neutro tienen
orden 2. Por lo tanto, los grupos no pueden ser isomorfos. <hr>
==== Isomorfismo de Grupos Cíclicos ====
Nuestra próxima proposición formaliza algo que habíamos
<b>Proposición (Isomorfismo de Cíclicos)<b>.<i> Dos grupos cíclicos de igual orden son isomorfos.</i>
<ul><i>
Demostración: </i> Sean G=C_<sub>n,a</sub> y H =
C_<sub>n,b.</sub> Definamos f:G en H por ''f(a<sup>k</sup>) =
b<sup>k</sup>''. Se tiene entonces que <center><math>f(a^ja^k) = f(a^{j+k})=
b^{j+k} = b^jb^k = f(a^j)f(b^k) = f(a^j)f(a^k).</math></center> Lo que prueba que
f es un homomorfismo. Además, claramente, f es suprayectiva. Supongamos que
<math>f(a^k) = f(a^j)</math>. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que
<math>j \le k</math>, por lo que tenemos que $0 \le j \le k <n$. Se tiene que
<math>f(a^k) = f(a^j) \implies b^k=b^j \implies b^{k-j}=e'</math>> Si <math> k
\neq j</math>, <math>k-j</math> sería un número positivo menor que
<math>n</math>. Lo que es imposible, porque por definición <math>n</math> es
el menor entero positivo con la propiedad de que <math>a^n=e'.</math>. Luego
<math>k=j</math>, o sea que <math>f</math> es inyectiva. Lo que concluye la
prueba. {{QED}} </ul><hr>
==== Isomorfismo de Grupos Simétricos ====
Recordemos que el grupo simétrico <math>\textsf{S}_X</math> es el grupo
formado por todas las biyecciones del conjunto <math>X</math> en si mismo.
Probaremos que cuando dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos, sus
grupos simétricos son isomorfos. por lo que el grupo simétrico dependerá
solamente de la cardinalidad del conjunto, pero no necesariamente del conjunto
específico.
Recordemos que dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos (o igual
cardinal) cuando, y solo cuando, hay una biyección de un en el otro. Sean ''X'', ''Y''
conjuntos con el mismo cardinal y sea <math>f:X \longrightarrow y</math> la
función biyectiva que establece la igualdad de cardinales. Definamos <math>S_f:
S_X \rightarrow S_Y</math> tal que para todo <math>\sigma</math> en
<math>S_X</math>, asociamos la función <math>S_f(\sigma) = f \circ \sigma
\circ f^{-1}</math> de ''Y'' en si mismo.
[[Archivo:IsoGruposSimetricos.jpg|derecha|200px]]
Como <math>S_f(\sigma)</math> es una composición de biyecciones, se trata
de una biyección de <math>S_Y</math>. Veamos, ahora, que <math>S_f</math> es un homomorfismo. <center><math> S_f(\sigma \tau) = f (\sigma \tau) f^{-1} =
la asignación para cada <math>\eta</math> de <math>S_Y</math> de
<math>S_f</math> por lo que <math>S_f</math> es una biyección, lo que prueba que se trata de un isomorfismo de grupos. <b>Proposición. (Isomorfismo de Grupos Simétricos)</b> <i> Cuando <math>X</math> y <math>Y</math> son conjuntos con igual cantidad de elementos, sus grupos simétricos son congruentes. <math>S_X \cong S_Y</math>.</i>
</i>
Recordemos que un automorfismo de un grupo es un isomorfismo del grupo en si
mismo.
Sea ''G'' un grupo, por ''Aut(G)'' denotaremos al conjunto formado por todos los
automorfismos del grupo. Como la composición de automorfismo es un
automorfismo, lo mismo que la identidad y el inverso de un automorfismo,
tenemos que ''Aut(G'') con la composición de funciones forman un grupo,
{{Ejmpl|Automorfismos de <math>C_n</math>}}
Sea <math>f: C_n \longrightarrow C_n</math> un automorfismo de grupos. Entonces como [1] es un generador del grupo, su imagen debe ser un generador del grupo. <ul>
<li>
(n=5) Supongamos que ''a'' es un generador de <math>C_5</math>. Por
inspección, podemos ver que los generadores del grupo son <math>a^i</math>
para <math>i=1, 2, 3, 4</math>. Luego, hay cuatro automorfismos, definidos
tales que <math>f_i (a) = a^i</math> para <math>i=1,2,3,4</math> Observemos
que <math>f_1(a) = a</math> implica que <math>f_1(a^j) =f_1(a)^j = a^j</math>,
es decir que <math>f_1=id</math>, la función identidad, y, por lo tanto, el neutro
del grupo de automorfismos. Por simple computación, obtenemos la siguiente
tabla para <math>\rm{Aut}(C_5).</math> {{Eqn|<math>\begin{array}{c|cccc}
& f_1 & f_2 & f_3 & f_4 \\ \hline
f_1 & f_1 & f_2 & f_3 & f_4 \\ f_2 & f_2 & f_4 & f_1 & f_3 \\ f_3 & f_3 & f_1 & f_4
\end{array}</math>}}
Lo que prueba que <math>\rm{Aut}(C_5) \cong C_4.</math>
<li> (n=6) En <math>C_6</math> hay solo dos generadores, [1] y [5]. Por lo que
hay solamente dos automorfismos: <math>id: [1] \longrightarrow [1]</math> y <math>\sigma: [1] \longrightarrow [5]</math>. Por lo que <math>\rm{Aut}(C_6) \cong C_2.</math> </ul> <hr> == Ejercicios del Capítulo ==
<ol>
<li> Sea <i>P</i> el subconjunto de
<math>\Z</math> formado por todos los enteros pares. Probar que la función
<math>x \mapsto 2x</math> es un homomorfismo de grupos desde
<math>\Z</math> en <i>P</i> ¿Es un isomorfismo?
<li> Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos.
Probar las siguientes afirmaciones. <ol type= "a">
<li> Para todo <i>a</i> de <i>G</i> y <i>n</i> entero se cumple que <math>f(a)^n = f(a^n)</math>.
Línea 264 ⟶ 368:
</ol>
<li> Sea <math>H</math> una imagen homomórfica de <math>G</math>. Probar
que las afirmaciones siguientes. <ol type="a">
<li> Si <i>G</i> es abeliano, <i>H</i> también lo es.
<li> Si <i>G</i> es cíclico, <i>H</i> también lo es.
</ol>
<li> Sea <math>f: G \longrightarrow H</math> un isomorfismo. Probar que para
cada <math>x^n=e</math> en la ecuación en <li> Sea <math>f: G \longrightarrow H</math> un isomorfismo. Probar que la
inversa de <math>f</math>, <math>f^{-1} : H \longrightarrow G</math> es un isomorfismo. Línea 287 ⟶ 397:
<li> ¿Pueden haber dos grupos finitos con diferente orden que sean isomorfos?
<li> Sea <math>G = (\Q \times \Q) \setminus\{(0,0)\}</math> (pares ordenados
de números racionales que no tienen ambas componentes nulas). Definamos, una nueva operación <math>\otimes</math> en <math>(a,b) \otimes (c,d) := (ac - 5bd, ad +bc).</math>
Sea <i>f</i> la función de <i>G</i> en el grupo multiplicativo de los complejos, <math>\C^*</math> tal que <math>f(a,b) = a + ib\sqrt{5}</math>, donde <math>i^2=-1</math>.
Probar que <i>G</i> es un grupo abeliano y que <i>f</i> es un monomorfismo de grupos.
<li> Sean <math>G = H \times K</math> un producto de grupos . Sean
<math>pr_1: G \longrightarrow H</math> y <math>pr_2: G \longrightarrow K</math> tales que k <i>pr<sub>2</sub> <li> Sean <math>f: K \longrightarrow G</math> y <math>g: K \longrightarrow
H</math> homomorfismos de grupos. Sea <math>\varphi: K \longrightarrow G \times H</math> tal que <math>\varphi(x) = (f(x), g(x))</math>. Probar que <math>\varphi</math> es un homomorfismo de grupos. <li> Sean
<ol type= "a">
<li> <math>G \times H \cong H \times G</math>.
Línea 304 ⟶ 423:
</ol>
<li> Sea
función) de <math>G \times G</math> en grupos, ssi, <li> Probar que <math>\Z_2 \oplus \Z_2</math> es isomorfo al grupo de Klein
(comparar las tablas de operaciones), por lo que no puede ser isomorfo a <math>\Z_4</math>. <li> Probar que dos grupos con tres elementos son siempre isomorfos.
Línea 316 ⟶ 439:
</ol>
<li> Sea
un elemento de orden 2. <li> Hallar los
ellos son isomorfismos? <li> Hallar, si existe, un homomorfismo no trivial entre los grupos. indicados. Si no
existe, explicar por qué no existe. <table> <tr> <td width = 5 %> a. <td width=35%> <math>\Z_2 \longrightarrow
\Z_4</math>. <td width = 5 %> b. <td width = 35 %><math>\Z_2 \longrightarrow
\Z_5. </math> </tr>
<tr> <td width = 5 %> c. <td width=35%> <math>\Z_{12} \longrightarrow \Z_4
</math>. <td width = 5 %>
\Z_5 </math>. </tr>
<tr> <td width = 5 %> e. <td width=55%> <math>\Z \longrightarrow S_3 </math>.
<td width = 5 %>
<tr> <td width = 5 %> g. <td width=35%> <math>Z \times Z \longrightarrow 2\Z
</math>. <td width = 5 %>
<tr> <td width = 5 %> i. <td width=35%> <math>S_3 \longrightarrow S_4 </math>.
<td width = 5 %>
</math>. </tr> </table> <li> (Homomorfismos de Semigrupos y Monoides) Definir
homomorfismos para semigrupos y monoides. </ol>
<!-- == Comentarios ==
== Referencias ==
abc 05=07-2015
-->
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