Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Estructuras»

== Introducción ==

Cuando a un conjunto lo proveemos de una o más operaciones, obtenemos una <i>''estructura algebraica</i>''. En este capítulo, veremos algunas de las estructuras clásicas con una o dos operaciones.

Presentaremos diversos tipos de estructuras con ejemplos de cada uno de esos tipos. Resultará importante familiarizarse con esos ejemplos, ya que nos referiremos a la mayoría de ellos en capítulos posteriores.

Una <b>'''Estructura Algebraica</b> ''' o <b>'''Sistema Algebraico</b>''' es un lista de la forma <E, p₁, p₂, ...> donde E es un conjunto (llamado el <i>''conjunto base</i>'' o <i>portador<i> de la estructura) y p₁, p₂, ... son los parámetros de la estructura. Dichos parámetros pueden ser .operaciones en E, incluyendo operaciones externas---operaciones tales como la multiplicación por constante de una función, o escalar por matriz. También puede haber relaciones de E.

El Álgebra Abstracta es el estudio de las diferentes estructuras---definiciones, propiedades, relaciones entre ellas, etc--- independiente de la naturaleza de los elementos del conjunto base. Como veremos en el texto, varios conjuntos diferentes sirven de conjunto base de una misma estructura. A medida que avancemos en el texto, discutiremos más detalles acerca de las estructuras.

Nuestro estudio empezará con estructuras muy simples ya que la lista de parámetros incluye solamente a una operación.

Veremos las estructuras de magma, semigrupos, monoides y grupos. <ref> Además, han surgido recientemente otras estructuras con una operación tales como grupoides, lazos, etc.</ref>

<li> Los Enteros con la suma, <math>< \Z, +></math>, o con la multiplicación, <math><\Z, \cdot> </math>.

<li> Los Racionales, los Reales, los Complejos con respecto a la suma y también a la multiplicación.

<li> Los Enteros con la resta.

Sea <E,*> un magma. Cuando no haya ambigüedad acerca de la operación de un magma, podremos hablar simplemente del magma E. Otras veces, podremos hablar del magma E con la operación *.

<li>Un magma (resp. semigrupo, monoide, grupo) es '''conmutativo''' (o '''abeliano''') cuando la operación es conmutativa.

<li> Decimos que un magma (resp. semigrupo, monoide, grupo) es <b>'''aditivo</b>''' (resp. <b>'''multiplicativo</b>''') cuando la operación se denote como una suma (resp. multiplicación). Usualmente, cuando la operación es conmutativa se denota aditivamente.

<li> Los Naturales positivos con la suma forman un semigrupo (la suma es asociativa) que no es un monoide, ya que el neutro 0 no está en el conjunto.

<li> Los Naturales con la suma forman un monoide que no es grupo, ya que los opuestos aditivos de los naturales positivos no están en el conjunto.

<li> En rigor, debiéramos decir, por ejemplo, que <math><\Z,+></math> "tiene o posee una estructura de grupo", o que es una "instancia de la estructura de grupo", pero simplemente decimos <math><\Z,+></math> es un grupo o hablamos del grupo (aditivo) de los Enteros.

<li> En rigor, deberíamos especificar a un monoide como (que tiene) una estructura <math><M,*,e></math> para indicar la existencia del neutro <i>e<i>. Igualmente, un grupo debiera especificarse como <math><G,*,e, x \mapsto x^{-1} ></math> para indicar que hay, además, inversos para cada elemento. Sin embargo, cuando no haya riesgo de confusión mencionamos solamente el conjunto, la operación y el tipo de estructura.

Decimos que una estructura es <i>''descendiente</i>'' de una segunda estructura, cuando sea un caso especial de la otra. En tal situación, decimos que la segunda estructura es un <i>''antecesora</i>'' de la primera. Por ejemplo, las estructuras de semigrupos, monoides y grupos son descendientes de la estructura de magma.

Cuando una estructura es descendiente de otra, decimos también que la segunda estructura es <i>''subyacente</i>'' a la primera. Por ejemplo, el grupo <math><\Z,+></math>, o sea, <math><\Z,+,0, x \mapsto -x></math> tiene una estructura subyacente de monoide <math><\Z,+,0></math> (nos olvidamos de los opuestos aditivos). También tiene una estructura subyacente de semigrupo, <math><\Z,+></math>.

Un monoide puede contener elementos invertibles, aunque no sea un grupo. Por ejemplo, los Enteros no nulos con la multiplicación forman un monoide que no es grupo, ya que los enteros diferentes de 1, -1 no tienen recíprocos. Sin embargo, 1 y -1 tienen inversos que son ellos mismos. Esto implica que el conjunto U = {1,-1} determina con la multiplicación un grupo. La situación es bastante general, como lo muestra la siguiente proposición.

<b>'''Proposición 1. (Grupo de invertibles de un Monoide)</b>''' <i> Sea <M,*> un monoide y sea U_M el conjunto formado por todos los elementos de M que son invertibles. Entonces < U_M, *> es un grupo.

Demostración: </i> Como el producto de invertibles es invertible, U_M es cerrado respecto a la operación, por lo que la restricción de la operación a U_M define allí una operación. El neutro siempre es invertible, por lo que el neutro es un elemento de U_M. Finalmente, los inversos de elementos invertibles son invertibles, por lo que cada elemento de U_M tiene inverso en U_M. Es decir que < U_M, *> es efectivamente un grupo.</i> {{QED}} </ul>

<li> Los Reales con la multiplicación forman un monoide cuyo grupo de invertibles esta determinado por los Reales no nulos. Igualmente, para los Racionales y los Complejos.

<li> Las matrices cuadradas con la multiplicación forman un monoide, cuyo grupo de invertibles, está formado por las matrices invertibles.

{{DefRht|Orden de un Elemento| Sea <math>M</math> un monoide (o grupo) con neutro <math>e</math> y <math>a</math> un elemento de <math>M</math>, Cuando haya un número natural positivo <math>n</math> tal que <math>a^n=e</math>, llamaremos <b>'''orden</b>''' de <math>e</math> al menor entero positivo con esa propiedad. Cuando el conjunto de potencias de un elemento consista de elementos diferentes entre si, diremos que el elemento tiene orden infinito. Notación: <math>o(a)</math>.}}

<li> El número imaginario <math>i</math> es tal que <math>i^2=-1,\quad i^3 = -i, \quad i^4 =1</math>. Por lo que su orden es 4.

<li> En un grupo aditivo, los múltiplos son las potencias. Por lo que un elemento ''a'' tiene orden finito n, cuando ''na = 0''. En los Enteros, no hay números ''n'' positivos tales que <math>n \cdot 1</math>, por lo que el orden de 1 es infinito.

<b>'''Proposición 2.</b>''' <i>'' Sea a un elemento de un monomio M con <math>o(a)=n</math>, o sea, tal que hay un entero positivo n tal que <math>a^n = e.</math> Entonces, a es invertible con inverso <math>a^{n-1}.</math></i>''

== Ejemplos ==

El Álgebra Abstracta como su nombre lo indica tiene su origen en la abstracción de propiedades de ejemplos existentes. Esta (relativamente larga sección, quiere mostrar algunos de esos ejemplos). Es importante que los lectores se familiaricen con ellos. Deben procurar, además, identificar las nociones vistas en el capítulo anterior: elementos neutros, invertibles, cancelables, partes cerradas.

=== Los Sistemas Numéricos ===

Nuestros sistemas numéricos son los Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos. A ellos siempre agregaremos los Enteros módulo cierto número.

<li> <X, +> es un grupo abeliano, cuando <math>X = \Z, \Q, \R, \C.</math> <br />

Las relaciones de inclusión entre esos conjuntos producen subestructuras. (cuya definición formal veremos posteriormente). Como se trata de la misma operación, el mismo neutro y los mismos opuestos, decimos que los Enteros son un subgrupo aditivo de los Racionales (y de los Reales y de los Complejos). Igualmente, los Racionales son un subgrupo de los Reales y Racionales. Finalmente Los Reales forman un subgrupo de los Complejos.

<li> <X^*, <math>\cdot</math>> es un grupo abeliano cuando <math> X = \Q, \R , \C.</math> X^* indica los elementos no nulos de X.

<li> Los Enteros módulo m son un grupo respecto a la adición. Con respecto a la multiplicación, sus elementos no nulos, en general, forman un monoide.

=== El Grupo Simétrico ===

En el capitulo "[[../Operaciones|Las Operaciones]]" destacamos al ejemplo <math>F(X, X)</math> formado por todas las funciones de <math>X</math> en si mismo. Vimos que dicho conjunto con la composición de funciones tiene una estructura de monoide. Por lo tanto, de acuerdo a la proposición 1, los elementos invertibles de dicho conjunto determinan con la composición un grupo al que llamamos el <b>'''grupo simétrico</b>''' de <math>X</math> y que denotamos por <math>\textsf{S}_X</math>. Notemos que los elementos invertibles de <math>F(X,X)</math> son las funciones biyectivas de <math>X</math> en si mismo. Se puede verifica que cuando el conjunto <math>X</math> tiene más de dos elementos, dicho grupo no es conmutativo.

Cuando <math>X=I_n := \{1,2, \dots, n\}</math> es el conjunto formado por los primeros <math>n</math> números naturales positivos, denotamos a <math>\textsf{S}_X</math> por <math>\textsf{S}_n</math> y le llamamos grupo de las <b>'''permutaciones de n símbolos</b>''' o <b>'''grupo simétrico de grado n</b>'''. Una permutación, en este contexto, es una función biyectiva de cualquier conjunto finito en si mismo.

<i>''Representación matricial de permutaciones.</i>'' Cuando <math>f</math> sea una función de I_n en si mismo, escribiremos la tabla de valores de la función de la siguiente manera

Las permutaciones están asociadas, usualmente, con reordenamientos. Mirando a la segunda fila, vemos porque llamamos permutaciones a esas funciones.

La siguiente tabla muestra los resultados de la composición de esas funciones, es decir la tabla del grupo.

<center> La tabla de S_3.</center>

Mirando la falta de simetría respecto a la diagonal principal, vemos que la operación no es conmutativa. Claramente, f₀ es la identidad (como función) que es el neutro del grupo.

¿Cómo obtuvimos los resultados? Simplemente por composición de funciones.

=== Las Matrices 2 x 2 ===

<li> La suma de matrices es asociativa, conmutativa, tiene neutro <math>\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0& 0\end{bmatrix}</math> y cada matriz A tiene opuesto aditivo -A. Lo que nos dice que las matrices con la suma determinan un grupo abeliano.

Dicho grupo se llama <b>'''grupo lineal</b>''' (de dimensión 2) sobre los Reales y se denota por <math>GL_2(\R)</math>.

<li> Sea <math>GL_2(\Q)</math> el subconjunto formado por todas las matrices invertibles cuyas entradas son todas números racionales. Probar que dicho conjunto con la multiplicación tiene una estructura de grupo.

En esta sección, construiremos de manera formal el conjunto de los Enteros módulo <math>m</math>, así como sus operaciones de adición y multiplicación. Esta construcción servirá de modelo más adelante en la construcción de los llamados grupos cocientes.

lo que prueba la transitividad. Nos referiremos a esta relación como la ''congruencia módulo m''.

Llamando clase de equivalencia de un elemento $x$ al subconjunto formado por todos los elementos relacionados con $x$ y que denotamos por $x$, se sabe que dichas clases forman una \text it{partición} del conjunto $X$. Es decir que son disjuntas dos a dos y que su (re)unión es todo $X$. Ver los detalles en el apéndice \ref{chRelaciones}.

Las clases de equivalencia con respecto a la relación de congruencia se llaman también <i>clases de congruencia</math>. La clase de congruencia módulo <math>m</math> de un número <math>x</math> está formado por todos aquellos números <math>y</math> tales que <math>y -x</math> es un múltiplo de <math>m</math>, o sea tales que <math>y=x =km</math>, para algún <math>m</math>.

Simbolizaremos por <math>\mathbf{\Z_m}</math> al conjunto formado por todas las clases de equivalencia módulo <math>m</math> y diremos que sus elementos son los \textit{enteros módulo <math>m</math>}. Cada elemento de una clase es un \textit{representante} de la clase. Simbolizaremos por <code><math>\Z_m</math></code> el conjunto formado por todas las clases de equivalencia módulo ''m'' y diremos que sus elementos son los '' Enteros módulo m''. Cada elemento de una clase es un ''representante'' de la clase.

En este caso dos elementos son equivalentes, o lo que es lo mismo definen la misma clase de equivalencia cuando su diferencia es un múltiplo de 2 (o sea un número par). Por lo que la clase del 0, [0] está formado por todos los ''x'' tales que ''x - 0=x'' es un número par, por lo que la clase del 0 está formada por todos los números enteros pares.

Busquemos ahora la clase de equivalencia del 1. Como <math>x \equiv_5 1</math> , ssi, <math>x =1 +5s</math> , ssi, <math>x = 1 + 5s</math> . La clase del [1] estará formada por todos los enteros que son 1 más que un múltiplo de 5.

Notemos que <math>[5] = [0]</math> , <math>[6] = [1]</math> etc.

Es decir que la suma de la clase de ''x'' con la clase de ''y'' sea la clase de ''x+y'' y análogamente para la multiplicación. Hay, sin embargo, un problema con tal definición. La suma (y, lo mismo, el producto) se obtienen sumado (resp. multiplicando) dos <code>representantes</code>, uno de cada clase; por lo que resulta natural preguntar, ¿qué pasaría si escogiéramos otras representantes? La siguiente proposición no asegurará que no importa los representantes que escojamos, siempre obtendremos el mismo resultado.

<b>'''Proposición 3. (Compatibilidad con las operaciones)</b>'''<i> Sean ''a, b, c, d'' números enteros tales que <math>a \equiv_m b</math> y <math>c \equiv_m d.</math> Entonces,}}

<b>'''Corolario.</b>''' <i>''Suponer que <math>[a] = [b]</math> y que <math>[c] = [d].</math> Entonces,</i>''

<center><math> [a+c] = [b+d]</math> y <math> [ac] = [bd].</math></center>

Sean <math>a, b, c</math> números enteros.

Finalmente, para cada <math>a</math>, tenemos que <math>[a] +[m-a] = [m]=[0] </math>, lo que prueba que <math>[m-a] = -[a].</math> Es decir cada elemento tiene un opuesto. Esto concluye la prueba.

La asociatividad y la conmutatividad se prueban de manera análoga al caso de la suma. Además, <math>[a][1]=[a\cdot 1]=[a]</math>, por lo que [1] es un neutro.

Se puede verificar que cuando ''m'' es un número primo, <math>\Z_m^*</math>, los elementos no nulos de <math>\Z_m</math>, forman un grupo abeliano respecto a la multiplicación. Cuando ''m'' es compuesto aparecen unas ''cosas raras'' en la multiplicación. Por ejemplo, en <math>\Z_6</math>, la clase del 2 y la clase del 3 son distintas de la clase del 0, ya que ninguno de ellos es un múltiplo de 6, pero <math>[2] \cdot [3] =[6]= [0]</math>. Dos elementos no nulos al multiplicarse producen el elemento nulo.

=== Ejercicios ===

<li> Construir las tablas de operaciones (adición y multiplicación) de <math>\Z_{10}</math>

<li> Hallar los cuadrados y los cubos de todos los elementos de <math>\Z{10}</math>.

<li> Hallar los recíprocos de todos los elementos no nulos de <math>\Z_[13]</math>.

<li> Resolver en <math>\Z_5</math>, el sistema de ecuaciones

'''Definición (Anillos, Cuerpos)''' Un '''anillo''' es un trío <math><A.+.\cdot></math> tales que

<li> La multiplicación es distributiva respecto a la adición.

<b>Proposición 4.<b> <i>'' Cuando p es un número primo, los Enteros módulo p son un cuerpo.</i>''

Demostración: </i> Vimos anteriormente que para cualquier <math>m</math> los Enteros módulo m está provisto de operaciones de suma y multiplicación definidas por

Probaremos que cuando <i>''p</i>'' es un número primo, los elementos no nulos de <math>\Z_p</math>.

Si <math>[a]</math> es un elemento no nulo de <math>\Z_p</math>, el número <i>''a</i>'' no pude ser n múltiplo de p, por lo que el máximo común divisor de a y p debe ser 1. Luego, por la identidad de Bezout, hay enteros x, y tales que

Queremos aumentar nuestro caudal de ejemplos, definiendo matrices con entradas en un anillo con identidad o cuerpo cualquiera. Notemos que las definiciones de suma y multiplicación de matrices con entradas reales lo único que requieren de los Reales es que se pueden sumar y multiplicar. Como esto pasa en cualquier anillo, podemos considerar matrices cuyas entradas pertenecen a un anillo cualquiera.

Sea A un anillo con identidad o un cuerpo. Simbolizaremos por <math>M_2(A)</math> el conjunto de todas las matrices 2 x 2 cuyas entradas son elementos de A. Es un ejercicio largo, pero fácil, probar que <math<M_2(A)</math> con esas propiedades determina un anillo con identidad. El anillo no es conmutativo.

<li> Probar que <math>\Z_m</math> es un anillo conmutativo con identidad.

<li> Probar que cuando m no es un número primo, en <math>Z_m</math> hay elementos no nulos <math>[x], [y]</math> tales que <math>[x][y]=[0]</math>

<li> Probar que las matrices 2 x 2 con coeficientes en un anillo conmutativo con identidad determinan un anillo con identidad, pero que no es conmutativo.

<li> Sea <math>A = \begin{bmatrix} a& b \\ c & d \end{bmatrix}</math>. Probar o verificar las siguientes afirmaciones.

<li> <math>(\alpha \beta)\bullet x = \alpha \bullet (\beta \bullet x)</math>

<li> Un '''Espacio vectorial sobre un cuerpo K''', es un K-módulo (o sea los escalares forman un cuerpo).

<li> Un '''Álgebra sobre un anillo (o cuerpo) A''' es un A-modulo E provisto de una multiplicación tal que <math><E,+,\cdot></math> es un anillo y se cumple que

<li> (Potencias Negativas.) Sea ''<M,*>'' un monoide y sea ''a'' un elemento invertible de cualquiera de <i>''S.</i>'' Como <i>''S</i>'' es un monoide, <i>'' aⁿ </i>'' está definido, según los ejercicios anteriores, para todo <math>n \ge 0.</math> Cuando <i>''a</i>'' es invertible, podemos además definir potencias con exponentes negativos. Supongamos que <i>''a'</i>'' es el inverso de <i>''a</i > y <i>n</i>'' un número entero positivo. Entonces,

<li> Probar que <i>''a</i>'' elevado a -1 es igual al inverso de a; lo que prueba que la notación <i>''a^-1</i>'' no es ambigua.

<li> Probar que para todo <i>''m, n </i>'' enteros se cumplen las relaciones del ejercicio 1.

Sea <math> \alpha = \begin{bmatrix} \cos(120^\circ ) & - \sen(120 ^\circ ) \\ \sen(120 ^\circ ) & \ \cos(120^\circ ) \end{bmatrix},</math> una rotación por 120 grados, y sea <math>\beta= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}</math>, la reflexión entorno al eje X. Probar las afirmaciones siguientes.

<li> <math>\alpha^3 = {I},</math>, <math>\beta^2 = {I},</math> y <math> \beta \alpha \beta^{-1} = \alpha^2.</math>.

<li> Sea <math>H = \{{I}, \alpha, \alpha^2\}</math>. H es un conjunto cerrado respecto a la multiplicación de matrices (construir la tabla de operaciones), y que cada elemento de <math> H</math> es invertible. Es decir que H es un grupo respecto a la multiplicación de matrices.

<li> Sea <math> G= \{{I}, \alpha, \alpha^2,\beta, \alpha\beta , \alpha\beta^2\}</math>. G es un conjunto cerrado respecto a la multiplicación y cada elemento de G tiene inverso en G. Luego G es un grupo respecto a la multiplicación de matrices.

La evolución del Álgebra desde el estudio de ecuaciones polinómicas al estudio de las estructuras fue lenta. Primeramente, se estudiaron instancias de forma separada, para posteriormente darse cuenta que eran ejemplos de algo más abstracto.