Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Homomorfismos»

Hemos visto en el capítulo anterior tres grupos de orden 4: C_4,a, el grupo de Klein y el grupo de las raíces cuartas de la unidad, U₄ = U₄(<math>\scriptstyle \C</math>). ¿Son esos grupos distintos? La respuesta sería aparentemente si, si nos fijáramos solamente en sus elementos. Sin embargo, en Álgebra Abstracta estamos más interesados en las propiedades de las operaciones que en la manera como simbolizamos a los elementos. Observemos que tanto C_4,a como U₄ son grupos cíclicos con generadores ''a'' e ''i'' respectivamente y que tenemos el siguiente pareo.

En este capítulo, veremos como usar funciones especiales (jhomomorfismos) entre grupos para realizar comparaciones que nos permitan detectar o verificar isomorfías como las indicadas arriba. De forma más general, estudiaremos homomorfismos que son funciones que preservan los parámetros de la estructura de grupo.

{{DefRht|Homomorfismo de Grupos| Sean <math><G,*,e,x \mapsto x^{-1}> </math> y <math><G', *', e', x \mapsto x'> </math> grupos.<br />

Cuando haya un isomorfismo de un grupo G en un grupo G', decimos que los grupos son '''isomorfos''' y escribimos <math>G \cong G'</math>.

Decimos que un grupo H es una <b>'''imagen homomórfica</b>''' de un grupo G, cuando haya un supramorfismo de G en H.

El prototipo de homomorfismo (de hecho es un isomorfismo) es el <i>''logaritmo</i>'' que transporta la estructura multiplicativa de los Reales positivos en la estructura aditiva de los Reales.

<math>\ln:<\R^+,\cdot> \rightarrow <\R, +> </math> ya que

::(ii) <math>\ln(1) = 0</math>, y

Además, se trata de un isomorfismo ya que el logaritmo es una función biyectiva, que tiene a la función exponencial como inversa.

Sean ''G'' y ''H'' grupos cualesquiera. La función que asigna a cada ''x'' de ''G'' el elemento neutro de ''H'' es un homomorfimso que llamaremos el <i>''homomorfismo trivial</i>''

:<i>'' Demostración: </i>'' Las condiciones son claramente necesarias. Veamos que son suficientes. Observemos que <math>f(e) = f(e * e) = f(e) *'f(e) </math>, lo que implica que <math>f(e) = e'.</math> Por su parte <math>e'= f(e) = f(x * x^{-1}) = f(x) *'f(x^{-1})</math>; de donde <math>f(x^{-1})= f(x)^{-1}. </math>

La función <math>\nu:\Z \longrightarrow \Z_m</math> que asocia a cada entero <math>z</math> su clase de congruencia módulo <i>''m</i>'' es un supramorfismo, ya que es suprayectiva y

por lo que define un homomorfismo del grupo de matrices invertibles <b>'''GL</b>'''₂<math>(\R)</math> en el grupo multiplicativo de los Reales. Por la proposición, tenemos que el determinante de la matriz identidad es 1 y el determinante de la inversa de una matriz es el recíproco del determinante de la matriz.

Sean G, H, K grupos tales que <math>G = H \times K</math>. Sea <math>pr_H:G \longrightarrow H</math> tal que <math>pr_H(h,k) = h</math> (proyección en la primera coordenada). <math>pr_H</math> es un supramorfismoo, ya que

:''Demostración: '' Sean <math>f:G \longrightarrow G'</math> y <math>g: G'\longrightarrow G''</math> homomorfismos. Entonces.

Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y sea <i>''x</i>'' un elemento de <math>g</math>. Probaremos que para todo <math>n</math> natural, <math>f(x^n) = f(x)^n</math>.

<b>'''Proposición.(Homomorfismosy Potencias) </b>'''

Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y sea <i>''x</i>'' un elemento de G. Entonces, para todo entero n se cumple que</i> <math>f(x^n) = f(x)^n.</math><br />

<i>''Demostración: </i>'' La discusión previa al enunciado prueba el resultado para valores no negativos de <i>''n</i>''. Sea <i>''n > 0</i>'', entonces

<b>'''Corolario</b>'''<i>

Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y sea <i>''x</i>'' un elemento de G. Entonces, el orden de f(x) divide al orden de x. </i>

<i>''Demostración: </i> '' Sea <i>''n=o(x)</i>''. Entonces, <i>''xⁿ = e <\i>, lo que implica que <math>f(x)^n)=f(x^n) =f(e) = e'</math>. Por lo que <i>n</i>'' es un múltiplo de <i>''o(f(x))</i>''. {{QED}}

<li> ¿Cuáles de las funciones siguientes son homomorfismos de grupos? <math>\R</math> es el grupo aditivo de los Reales y <math>\R^*</math> el grupo multiplicativo de los Reales no nulos.

<li> Sea <math>G=H \times K</math>. Sea <math>\iota_H: H \longrightarrow G</math> tal que <math>\iota_H(h)=(h,e_K)</math>. Probar que <math>\iota_H</math> es un monomorfismo de grupos.

<li> Si <math>f: G \longrightarrow H</math> un isomorfismo y <math>g: H \longrightarrow G</math> es la inversa de ''f'' como función tenemos que<br /> para todo <i>''x' = f(x), y' = f(y)</i>'' que <i>''g(x'y') = g(f(x)f(y)) = g(f(xy))= xy = g(x') g(y')</i>''. Es decir que

<b>'''Proposición. (Propiedades de Isomorfismos)</b>''' <i>

<li> La función inversa de un isomorfismo es un isomorfismo.

<li> La composición de isomorfismos es un isomorfismo.</i>

<b>'''Observaciones. </b>'''

Esto podrá parecer muy complicado al lector acostumbrado a las calculadoras electrónicas, pero cuando estas no existían, los cómputos de productos se realizaban obteniendo valores de logaritmos y de antilogaritmos (la función inversa) desde libros con tablas de valores de dichas funciones.

Desde el punto de vista de la teoría de grupos, dos grupos isomorfos son esencialmente el mismo grupo, la única diferencia reside en el nombre usado para los elementos del grupo, como lo discutido al inicio del capítulo. Por lo que, a veces, diremos que grupos con una cierta propiedad son únicos, significando que cualquier par de grupos con la propiedad son isomorfos. Esto significa que para probar que dos grupos no son isomorfos basta con verificar que hay una propiedad de uno de ellos que no tiene el otro.

Vimos este resultado, anteriormente, analizando las posibilidades para el producto del elemento diferente del neutro. Aquí, veremos el mismo resultado pero usando isomorfismos. Sean <i>''G={e,a}</i>'' y <i>''H = {e',a'}</i>'' donde los elementos neutros son <i>''e</i>'' y <i>''e'</i> '' respectivamente. Sea <i>''g</i>'' la función de <i>''G</i>'' en <i>''H</i>'' tal que <i>''g(e)=e'</i> '' y <i>''g(a) = a'</i>''. Entonces,

Lo que prueba que <i>''g</i> '' es un isomorfismo.

Los isomorfismos preservan la estructura interna de un grupo. En particular, preservan ordenes de elementos. En efecto, sean <math>f:G \longrightarrow H</math> un isomorfismo y <i>''x</i>'' un elemento de <i>''G</i>'', entonces tenemos, por un corolario anterior, que <math>o(f(x)|o(x)</math>. como <math>x = f^{-1}(f(x))</math> y <math>f^{-1}</math> es un homomorfismo, tenemos que

<math>o(x)|o(f(x))</math>. de donde, la igualdad. Aplicaremos esta observación más adelante.

Los grupos cíclicos de orden 4, <b>'''C₄</b> ''' y <b>'''K</b>''' (grupo de Klein) vistos a propósito de las tablas de grupo en el capítulo anterior, no son isomorfos. En efecto, en C₄ hay, por definición de grupo cíclico un elemento de orden 4, mientas que en el grupo de Klein todos los elementos diferentes del neutro tienen orden 2. Por lo tanto, los grupos no pueden ser isomorfos.

<b>Proposición (Isomorfismo de Cíclicos)<b>.<i>'' Dos grupos cíclicos de igual orden son isomorfos.</i>''</div>

''Demostración:'' Sean G=C__n,a y H = C__n,b. Definamos f:G en H por ''f(a^k) = b^k''. Se tiene entonces que

<math>f(a^k) = f(a^j) \implies b^k=b^j \implies b^{k-j}=e'</math>> Si <math> k \neq j</math>, <math>k-j</math> sería un número positivo menor que <math>n</math>. Lo que es imposible, porque por definición <math>n</math> es el menor entero positivo con la propiedad de que <math>a^n=e'.</math>. Luego <math>k=j</math>, o sea que <math>f</math> es inyectiva.

Recordemos que el grupo simétrico <math>\textsf{S}_X</math> es el grupo formado por todas las biyecciones del conjunto <math>X</math> en si mismo. Probaremos que cuando dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos, sus grupos simétricos son isomorfos. por lo que el grupo simétrico dependerá solamente de la cardinalidad del conjunto, pero no necesariamente del conjunto específico.

Recordemos que dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos (o igual cardinal) cuando, y solo cuando, hay una biyección de un en el otro. Sean ''X'', ''Y'' conjuntos con el mismo cardinal y sea <math>f:X \longrightarrow y</math> la función biyectiva que establece la igualdad de cardinales. Definamos <math>S_f: S_X \rightarrow S_Y</math> tal que para todo <math>\sigma</math> en <math>S_X</math>, asociamos la función <math>S_f(\sigma) = f \circ \sigma \circ f^{-1}</math> de ''Y'' en si mismo.

Como <math>S_f(\sigma)</math> es una composición de biyecciones, se trata de una biyección de <i>''Y</i>'' en <i>''Y</i>'', o sea de un elemento de <math>S_Y</math>. Veamos, ahora, que <math>S_f</math> es un homomorfismo.

Claramente, la asignación para cada <math>\eta</math> de <math>S_Y</math> de <math>f^{-1} \eta f</math> de <math>S_X</math> es una función inversa de <math>S_f</math> por lo que <math>S_f</math> es una biyección, lo que prueba que se trata de un isomorfismo de grupos.

<b>'''Corolario. </b>'''<i> El grupo simétrico de cualquier conjunto con <math>n</math> elementos es isomorfo a <math>S_n</math> el grupo simétrico de <math>S_{I_n}</math>.

Sea ''G'' un grupo, por ''Aut(G)'' denotaremos al conjunto formado por todos los automorfismos del grupo. Como la composición de automorfismo es un automorfismo, lo mismo que la identidad y el inverso de un automorfismo, tenemos que ''Aut(G'') con la composición de funciones forman un grupo, contenido en <math>S_G</math>.

Sea <math>f: C_n \longrightarrow C_n</math> un automorfismo de grupos. Entonces como [1] es un generador del grupo, su imagen debe ser un generador del grupo.

<li> (n=5) Supongamos que ''a'' es un generador de <math>C_5</math>. Por inspección, podemos ver que los generadores del grupo son <math>a^i</math> para <math>i=1, 2, 3, 4</math>. Luego, hay cuatro automorfismos, definidos tales que

== Ejercicios del Capítulo ==

<li> Sea <i>''P</i>'' el subconjunto de <math>\Z</math> formado por todos los enteros pares. Probar que la función <math>x \mapsto 2x</math> es un homomorfismo de grupos desde <math>\Z</math> en <i>''P</i> '' ¿Es un isomorfismo?

<li> Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos. Probar las siguientes afirmaciones.

<li> Sea <math>H</math> una imagen homomórfica de <math>G</math>. Probar que las afirmaciones siguientes.

<li> Sea <math>f: G \longrightarrow H</math> un isomorfismo. Probar que para cada <i>''n</i>'' natural, la cantidad de elementos que satisfacen la ecuación <math>x^n=e</math> en <i>''G</i>'', es la misma que los elementos que satisfacen la ecuación en <i>''H</i>''.

<li> Sea <math>f: G \longrightarrow H</math> un isomorfismo. Probar que la inversa de <math>f</math>, <math>f^{-1} : H \longrightarrow G</math> es un isomorfismo.

<li> Probar las siguientes afirmaciones.

<li> ¿Pueden haber dos grupos finitos con diferente orden que sean isomorfos?

<li> Sea <math>G = (\Q \times \Q) \setminus\{(0,0)\}</math> (pares ordenados de números racionales que no tienen ambas componentes nulas). Definamos, una nueva operación <math>\otimes</math> en <i>''G</i>'' por

<li> Sean <math>G = H \times K</math> un producto de grupos . Sean <math>pr_1: G \longrightarrow H</math> y <math>pr_2: G \longrightarrow K</math> tales que <i>''pr₁(h,k) = h</i>'' y <i>''pr₂(h,k) = k</i>''. Probar que las proyecciones <i>''pr₁</i>'' y <i>''pr₂</i>'' son supramorfismos.

<li> Sean <math>f: K \longrightarrow G</math> y <math>g: K \longrightarrow H</math> homomorfismos de grupos. Sea <math>\varphi: K \longrightarrow G \times H</math> tal que <math>\varphi(x) = (f(x), g(x))</math>. Probar que <math>\varphi</math> es un homomorfismo de grupos.

<li> Sean <i>''G</i>'', <i>''H</i>'' y <i>''K</i>'' grupos. Probar que

<li> Sea <i>''<G,*></i>'' un grupo. Probar que la operación (considerada como función) de <math>G \times G</math> en <i>''G</i>'' es un homomorfismo de grupos, ssi, <i>''G</i>'' es abeliano.

<li> Probar que <math>\Z_2 \oplus \Z_2</math> es isomorfo al grupo de Klein (comparar las tablas de operaciones), por lo que no puede ser isomorfo a <math>\Z_4</math>.

<li> Probar que dos grupos con tres elementos son siempre isomorfos.

<li> (Endomorfismos del grupo aditivo de los Racionales) \quad

<li> Sea <i>''G</i>'' un grupo de orden par. Probar que siempre <i>''G</i>'' contiene un elemento de orden 2.

<li> Hallar los homorfismos de <math>\Z_8</math> en si mismo. ¿Cuántos de llos son isomorfismos?

<li> (Homomorfismos de Semigrupos y Monoides) Definir homomorfismos para semigrupos y monoides.