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Línea 1:
= Números y Operaciones =
== Nociones fundamentales de los números naturales, enteros y racionales ==
El presente texto ha sido diseñado y elaborado para el uso diario del estudiante en cualquier nivel que se encuentre. Esperamos constituya en una herramienta fundamental, no sólo en estudios iniciales sino como texto de apoyo y refuerzo en cursos superiores.
Línea 31:
== Números Naturales ==
[[Archivo:Բնական թիվ.png|right]]
Línea 46:
El número 6 está a la izquierda del número 9, lo que quiere decir, que 6 es menor que 9.
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'''Ejemplo:'''
Línea 55:
Por lo tanto, podemos decir que 1 < 4.
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'''¿Cuándo es mayor?'''
Línea 63:
El número 4 está a la derecha del número 3, lo que quiere decir, que 4 es mayor que 3.
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'''Ejemplo:'''
Línea 72:
Por lo tanto, podemos decir que 4 > 2
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=== Orden de los números naturales ===
Una propiedad muy importante que cumplen los números naturales, es que están totalmente ordenados.
Dados dos números a y b, necesariamente tiene que verificarse una y sólo una de estas tres posibilidades:
Línea 86:
Con respecto a la propiedad de orden, también existen los símbolos ≤ y ≥, que se definen como sigue:
* <math>a\leq b</math> siempre que
*
'''Ejemplos'''
# <math>2<3</math>, pues existe el número natural <math> 1 </math> tal que <math>2+1=3</math>
# <math>7>3</math>, pues existe el número natural <math>4 </math> tal que <math>7=3+4</math>
# <math>10\leq 10</math>, pues <math>10=10</math>
# <math> 21\geq 15 </math>, pues <math>21>15</math> al existir el número natural <math>6</math> tal que <math>21=15+6</math>
'''Ejercicio 1''': De la misma manera que en los ejemplos anteriores, muestre que:
# <math>5<8</math>
# <math>11>8</math>
# <math>5\leq 10</math>
# <math> 21\geq 7</math>
'''Ejercicio 2''': En la siguiente tabla determine con los simbolos " <math> < </math> " ó " <math> > </math> " si los números son mayor que ó menor que:
Línea 126:
8 es el antecesor de 9.
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Además, dado cualquier número natural, le sigue siempre otro número natural más grande, al cual denominaremos sucesor. Como consecuencia de esto, el conjunto de los números naturales es infinito.
Línea 133:
4 es el sucesor de 3.
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<br />
Línea 158:
(-1).
=== Propiedades básicas de los números naturales ===
La suma es la operación matemética que resulta al reunir en una sola varias cantidades. También se conoce la suma como adición.
Línea 169:
si a la cantidad 3 le añadimos la cantidad 2, obtenemos como resultado la cantidad 5
O bien, si tenemos 3 manzanas para comer y añadimos 2 manzanas mas obtenemos 5 manzanas para comer.
Línea 189:
[[Archivo:Three by Four.svg|thumb| <math> 4 \times 3=12</math>|center]]
==== Números Pares e Impares en los Números Naturales ====
En el conjunto de los números naturales hay elementos que son importante de reconocer, y que pasamos a definir.
Línea 218:
Es importante considerar las siguientes propiedades de los números pares e impares.
* " <math> PAR + PAR </math> " ó " <math> IMPAR + IMPAR</math> " es un número " <math> PAR </math> " .
* " <math>PAR + IMPAR</math> " ó " <math>IMPAR + PAR</math> " es un número " <math> IMPAR</math> ".
* " <math>PAR \times PAR</math> " ó " <math>PAR \times IMPAR</math> " ó " <math> IMPAR\times PAR</math> " es un número
* " <math>IMPAR \times IMPAR</math> " es un número " <math> IMPAR</math> ".
'''''Ejemplos'''''
Línea 260:
|}
==== Propiedades de la Adición y Multiplicación ====
La adición y multiplicación de números naturales tiene varias propiedades entre ellas se encuentran:
* '''Clausura''': la suma y el producto de números es, siempre, un número natural.
'''Ejemplos'''
Línea 273:
2. [[Archivo:Multiplication as scaling integers.gif|center]]
* '''Asociatividad'''
Sean a,b y c números naturales, entonces
'''Ejemplo : <math>{\color{Blue}(3 + 5) + 6 = 3 + (5 + 6)}</math>'''
Línea 290:
Sean a,b y c números naturales, entonces
'''Ejemplo : <math>{\color{Blue}(3 \times 5) \times 6 = 3 \times (5 \times 6)}</math>'''
Línea 303:
* '''Conmutatividad'''
Sean a y b números naturales, entonces
'''Ejemplo 1: <math>{\color{blue} 4+5=5+4}</math>'''
Línea 322:
Sean a y b números naturales, entonces
'''Ejemplo: <math>{\color{blue}2 \times 3=3 \times2}</math>'''
Línea 328:
[[Archivo:Kakezan usagi.jpg|center]]
=== Resta o Sustracción ===
Igual que la suma, la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.<br />
Línea 344:
'''Ejemplo'''
Imagine un segmento de recta de longitud '''b''' con el extremo izquierdo
[[Archivo:Line Segment jaredwf.svg|thumb|<math> c - a = b</math>|center]]
Línea 351:
Debemos observar que la resta no tiene la propiedad conmutativa ya que no es lo mismo '''a - b''' que '''b - a'''. Lo podremos notar cuando estudiemos los números enteros.
=== División ===
La división es repartir entre partes o grupos iguales.
Éste es el resultado de una "repartición limpia".
[[
En matemática, la división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar cuántas veces un número (divisor) está contenido en otro número (dividendo). El resultado de una división recibe el nombre de cociente y resto a lo que sobra o también lo nombran residuo. De manera general puede decirse que la división es la operación inversa de la multiplicación. Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.
Línea 370:
La división no tiene la propiedad conmutativa, pues no es lo mismo <math> a\div b</math> que <math> b\div a</math>.
=== Propiedades Aritméticas ===
Las
* Si el ejercicio no tiene paréntesis, el orden en que se operan los números es siempre: multiplicación y división, suma, resta.
Línea 411:
'''Ejercicios'''
# <math> (3+5)\div (4-1)\times 7 </math>
# <math> 4\times 20\div 4 +5-1 </math>
# <math> 5\div 5 \times 4 + 20 </math>
# <math> 3+ [4\times (5-1)] + (4-2)</math>
# <math> 2-1+[(4-1)\times 4\div 2] + 3</math>
# <math> 3\times 5 \div 3 + 4 -2</math>
=== Números Primos ===
Los Números Primos son aquellos números naturales mayores que 1 que son divisibles solamente por 1 y por sí mismo.
Línea 425:
* p es divisible solamente por 1 y por sí mismo
=== Números Compuestos ===
Los números Compuestos son aquellos números mayores que 1 que no son primos. Es decir, números que pueden ser divididos por más números que el 1 y sí mismo.
Línea 475:
Listo! Los números no tarjados corresponden a los números primos entre 1 y 100.
=== MCM ===
'''Múltiplo'''<br />
Línea 483:
Por el contrario, el número 15 no es múltiplo del número 6, pues el 15 contiene al 6 un número igual a 2,5 veces, que no es un número natural.
Sea n ∈ <math>\mathbb{N}</math>. Definimos el conjunto de múltiplos de n como el conjunto formado por los
Es decir:<br />
Línea 497:
Por ejemplos, el MCM entre los números 4, 6 y 9 es el número 36, pues este es el número más pequeño que contiene a los tres números dados.
=== MCD ===
'''''Divisor'''''
Línea 541:
'''Máximo Común Divisor (MCD)'''
El MCD de dos o más números es el mayor número que divide exactamente a cada uno de los números dados.
Por ejemplo, para 24, 56 y 72, el MCD es el número 8, pues éste es el mayor número que divide exactamente a los
=== Método para encontrar el MCM y el MCD ===
Para encontrar el MCM y el MCD de dos o más números dados, usaremos el método
Decimos que un número está expresado en su descomposición prima cuando el número está escrito como producto solamente de números primos.
Para entender esto último, veamos la descomposición prima de algunos números:
Línea 557:
Los procedimientos para determinar el MCM y el MCD de una cantidad de
El MCM de dos o más números queda determinado por el producto de cada factor primo elevado al mayor exponente al que se encuentra.
El MCD de dos o más números queda determinado por el producto de los factores primos comunes a todos los números, elevados al menor exponente con que se encuentren.
Línea 611:
<center><math>12\times 18=216.</math></center>
== Números Enteros ==
[[Archivo:Ամբողջ_թիվ.png|right]]
Línea 617:
[[
Línea 626:
=== Operaciones Básicas en ℤ ===
'''Adición:'''
En los números enteros distinguimos dos casos para la adición.
Línea 633:
'''Ejemplos'''
<center><math>12 + 9 = 21</math></center>
''Ambos números tienen el mismo signo positivo. Se suman y se conserva el signo.''
Línea 725:
\end{align}</math>
==== Números Pares ====
Los números enteros se pueden subdividir en dos categorías, el conjunto de los números pares y el conjunto de los números impares.
Línea 746:
==== Números Impares ====
Los números impares está formada por los números enteros que no son múltiplos de 2, es decir, un número entero m es número impar si y solo si existe otro número entero n tal que:
Línea 765:
:<center><math> \{...,\; -7,\; -5,\; -3,\; -1,\; 1,\; 3,\; 5,\; 7,\;...\}</math></center>
==== Resta o Sustracción en
Se define la sustracción de dos enteros como,
Línea 783:
'''Ejercicio: Calcule las siguientes sustraciones o restas'''
# <math> 6 - 5 = ..... </math>
# <math> 8 - 15 = ..... </math>
# <math> 15 - 2 = ..... </math>
# <math> 21 - 30 = ..... </math>
# <math> 45 - 60 = ..... </math>
# <math> 60 - 45 = ..... </math>
==== División en
La división en
{| align="center" border="1"
Línea 825:
(f) <math> –100 \div 20 = .... </math>
=== Propiedades Aritméticas en ℤ ===
Las
* Si el ejercicio no tiene paréntesis, el orden en que se operan los números es siempre: multiplicación y división, suma, resta.
Línea 880:
'''Ejemplos'''
# <math>|-2|=2</math>
# <math>|15|=15</math>
# <math>|2|+(-1)=2-1=1</math>
# <math>|-3|+2=3+2=5</math>
'''Ejercicio: Evaluar '''
# <math>|-21|=.....</math>
# <math>|-7|=.....</math>
# <math>|5|=.....</math>
# <math>|-21|+4=.....</math>
# <math>|7|-2=.....</math>
# <math>|-21|-|2|=.....</math>
# <math>|5|+|-4|=.....</math>
Línea 918:
# Calcule la distancia entre -6 y 3.
==== Propiedades Fundamentales ====
(a) <math>|x|\geq0</math> y <math>|x|=0</math> si y solamente si <math>x=0</math>.
Línea 943:
(e) Si <math>x=2</math>, <math>y=-3</math>, <math>|2\cdot (-3)|=|-6|=6=|2|\cdot|-3|=2\cdot3</math>.
== Números Racionales ==
[[Archivo:Ռացիոնալ թիվ.png|right]]
Línea 957:
Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una [[w:clase de equivalencia|clase de equivalencia]], resultado de la aplicación de una [[w:relación de equivalencia|relación de equivalencia]] al conjunto denúmeros fraccionarios.
=== Historia ===
En el Antiguo Egipto ya se calculaba utilizando aquéllas cuyos denominadores son enteros positivos, como: cualquier fracción que escribimos con un numerador no unitario, los egipcios la escribían como suma de fracciones unitarias distintas, de ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como [[w:fracción egipcia|fracción egipcia]]. Además, se puede demostrar que cualquier número racional positivo se puede escribir como fracción egipcia.
Línea 968:
En el siglo XIII [[w:Leonardo de Pisa|Leonardo de Pisa]], mejor conocido como Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones.
=== Construcción de los números racionales ===
Consideremos las parejas de [[w:número entero|números enteros]] <math>\left( a,b\right)</math> donde <math>b\neq 0</math> denotado por <math>\frac{a}{b}</math>, donde <math> a \, </math> se le llama ''numerador'' y a <math> b \, </math> se le llama ''denominador''.<br />
Al conjunto de estos números se le denota por <math>\mathbb{Q}</math>. Es decir <math>\mathbb{Q}=\left\{ \frac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z},q\neq0\right\}</math>
# Ejemplo de la linea recta con los numeros racionales
Si <math>p</math> es un [[w:número entero|número entero]] entonces existe el número <math>\frac{p}{1}</math> que equivale a <math>p</math> y mantiene todas sus propiedades de entero. Es decir, se define <math>\mathcal{I}_{\mathbb{Q}}:\mathbb{Z\rightarrow\mathbb{Q}},\;\mathcal{I}_{\mathbb{Q}}\left(p\right)=\frac{p}{1}</math>
=== Suma de los Números Racionales ===
Para sumar dos o más números racionales, nos podemos encontrar con varios casos.
Línea 986:
Como se muestra, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador:
[[
[[Archivo:Suma fracciones.jpg|center|250 px|Suma de fracciones de igual denominador]]
Línea 1016:
Para resolver mediante m.c.m, procederemos así:
* a) ''Transformarlo en fracción''
::Primero, transformamos la parte entera a una fracción con denominador 1.
Línea 1023:
<center><math>3 + \frac{2}{5} = \frac{3}{1} + \frac{2}{5}</math></center>
* b) ''Realizar el m.c.m y resolverlo bien''
Línea 1067:
====== ¿Por qué no podemos dividir por 0? ======
Para poder entender porqué no podemos dividir por 0,
que hacemos la división. Tomemos por ejemplo el caso de la pregunta: “¿Cuánto
es diez entre cinco?”
Línea 1074:
Ahora lo que nos preocupa es “¿Cuánto es diez entre cero?”. Para responder a esta pregunta necesitamos encontrar un número que multiplicado por cero nos
resulta el número diez. Pero
Ahora consideremos otro caso. Todos sabemos también que cuando divido a un número por sí
Línea 1084:
La nueva pregunta es: “¿por qué número debo multiplicar al número cero para obtener cero?”.
La respuesta es que cualquier número multiplicado por cero da cero. Entonces, aquí no solamente tenemos una solución, sino un número infinito de ellas. Es importante hacer notar que no es que la solución sea infinito,
caso, división), el resultado es otro número. Por lo tanto, infinito no es un número, sino una
expresión que indica que hay algo que no tiene fin.
=== Relaciones de equivalencia ===
* Se define la equivalencia <math>\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math> cuando <math> ad = bc \, </math>. Este concepto es importante porque permite explicar por qué hay infinitas maneras de representar un mismo número racional.
Línea 1117:
<math>\frac{1}{4}</math> y <math>\frac{2}{5}</math>. El mínimo común denominador es 20, resultando <math>\frac{5}{20}</math> y <math>\frac{8}{20}</math>. Como <math>5<8</math>, <math>\frac{1}{4} < \frac{2}{5}</math>.
==== Notación ====
* Los números de tipo <math>\frac{-a}{b}</math> son denotados por <math>-\frac{a}{b}</math>
Línea 1128:
=== Propiedades de la suma y multiplicación ===
* La suma en
<center><math>\frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{p}{q} = \left(\frac{a}{b}+\frac{p}{q}\right)+\frac{c}{d}</math></center>
* La suma en
<center><math>\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{c}{d}+\frac{a}{b}</math></center>
* La multiplicación en <math>\mathbb{Q}</math> es asociativa, esto es:<br />
Línea 1137:
<center><math>\frac{a}{b}\times\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)+\left(\frac{a}{b}\times\frac{p}{q}\right)</math></center>
==== Existencia de neutros e inversos ====
* Para cualquier número racional:
<center><math>\frac{a}{b}</math> se cumple que <math>\frac{a}{b}+\frac{0}{1}=\frac{a}{b}</math> entonces <math>\frac{0}{1}</math> es el ''neutro aditivo'' de los racionales y se le denota por <math>0</math></center>
Línea 1147:
<center><math>\frac{a}{b}</math>, con excepción de 0, tiene un inverso multiplicativo <math>\frac{b}{a}</math> tal que <math>\frac{a}{b}\times\frac{b}{a}=1</math></center>
=== Otras operaciones de los números racionales ===
Cuando tenemos una unidad cualquiera, nos puede interesar una parte más pequeña para tomar. Así, si tenemos una tarta para ochos comensales, y estamos cuatro personas, lo normal seria que cada persona tomase dos trozos, expresados así:
Línea 1213:
\left(\frac{2}{3}\right)^{3-4}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}=\frac{3}{2}.</math></center>
c)
<center><math>\left(\left(\frac{a}{b}\right)^{m}\right)^{n}=\left(\frac{a}{b}\right)^{mn}.</math></center>
Línea 1252:
<center><math>\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} = \frac{(3-\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})} = \frac{(3-\sqrt{2})^2}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})} = \frac{9+2-6\sqrt{2}}{9-2} = \frac{11-6\sqrt{2}}{7}</math></center> esto no les va a servir es muy malo
=== Expresión decimal ===
[[
Es posible expresar una fracción como número decimal dividiendo el numerador entre el denominador:
Línea 1277:
::<math>\frac{4567}{100} = 45.67</math>
=== Representación decimal de los números racionales ===
Los números racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión sólo puede ser de tres tipos:
Línea 1329:
\left|1+\sqrt{3}\right|=1+\sqrt{3}.</math>
=== Potencias ===
Es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales
Línea 1368:
Ejemplo
<math> (\frac{2}{4})^{2}= \frac{2}{4} x \frac{2}{4} = \frac{4}{16} </math>
== Referencias ==
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