Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Acciones de Grupos»
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Línea 91:
Es fácil verificar que <math>G_x</math> es un subgrupo de <math>G</math> (de ahí el nombre de grupo). En efecto, si <math>g</math> y <math>h</math> están en <math>G_x</math> se tiene que:
<center><math>\begin{array}{rcl}
(gh)x & = & g(hx) = gx = x \
g^{-1}x & = & g^{-1}(gx) = ex = x.
\end{array}</math></center>
Línea 128:
Sea <math>X</math> un <math>G</math>-grupo y sea <math>x</math> un elemento de <math>X.</math>
Sea <math>f_x : G \longrightarrow X</math> definida por <math>f_x(g) = gx.</math> Como <math>f_x(g'g) = (g'g)x = g'(gx)= g'f_x(g)</math> tendremos que <math>f_x</math> es una <math>G</math>-morfismo, cuya imagen es precisamente la órbita de <math>x.</math> Notemos que <math>gx = g'x</math> es equivalente a afirmar que <math>x = g^{-1}g'x.</math> Es decir, que <math>g^{-1}g' \in G_x.</math> Esto, a su vez, implica que las clases de equivalencia de <math>\sim_{f_x}</math> coinciden con las clases laterales izquierdas de <math>G</math> respecto a <math>G_x.</math> En particular, esto nos dice que hay una biyección entre <math>G/G_x</math> y <math>f_x(G) = G \cdot x \
Sea <math>H</math> un subgrupo cualquiera de <math>G,</math> entonces <math>G/H</math> es de forma natural un <math>G</math>-conjunto. Supongamos que hubiera una <math>G</math>-morfismo <math>f</math> de <math>G/H</math> en <math>X,</math> tal que <math>f(eH)=x.</math> Entonces, como el grupo de isotropía de <math>eH</math> estaría contenido en el grupo de isotropía de <math>f(x),</math> tendríamos que <math>H</math> sería un subgrupo de <math>G_x.</math> En forma recíproca, si <math>H</math> es un subgrupo de <math>G_x</math> podemos definir
La función estará bien definida, ya que si <math>g'=gh,</math> se tendría que <math>g'x = (gh)x = g(hx) = gx.</math> Además <math>\phi(eH)=x,</math> y <math>\phi(g' (gH)) = \phi((g'g)H)= (g'g)x = g'(gx) g' \phi(gH);</math> Es decir, <math>\phi</math> es un <math>G</math>-morfismo. Es decir, que hemos probado la siguiente proposición.
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