Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Acciones de Grupos»
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Línea 149:
<ol>
<li> Sea <math>G</math> un grupo tal que <math>|G|= p^n</math> con <math>P</math> primo.
<ol type="a">
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donde los <math>C_j</math> denotan a las distintas clases de conjugación de <math>G,</math> concluir que hay elementos diferentes del neutro que tienen clases de conjugación consistentes de un único elemento. ¿Cuál es el número mínimo de esos elementos?
</ol>
<li> El
<center><math>z(G) := \{ g \in G : \forall x \in G, gx = xg \}.</math></center>
<ol type="a">
Línea 171 ⟶ 169:
<li> <ol type="a">
<li> La intersección de una familia de <math>G</math>-conjuntos es un <math>G</math>-conjunto, cuando dicha intersección no es vacía.
<li> Sea <math>X</math> un <math>G</math>-conjunto, <math>Y</math> un subconjunto no vacío de <math>X.</math> Probar que hay un <math>G</math>-subconjunto de <math>X</math> minimal conteniendo a <math>Y,</math> al que simbolizaremos por <math>\
<li> El <math>G</math>-subconjunto generado por un conjunto no vacío <math>Y</math> consiste de todas las órbitas de elementos de <math>Y.</math>
</ol>
<li> Sea <math>G</math> el subgrupo de <math>\textsf{S}_5</math> generado por <math>(12) (34)</math> y <math>(12) (35).</math> Considérese la acción natural izquierda de <math>G</math> en <math>\{1,2,3,4,5\}.</math> ¿Cuáles son las órbitas de cada elemento? ¿Cuáles son sus grupos de isotropía?
<li> Sean <math>X,</math> <math>Y</math> dos <math>G</math>-conjuntos. Definir una estructura de <math>G</math>-conjunto en <math>X \times Y</math> de modo que las proyecciones sean <math>G</math>-morfismos.
<li> Sea <math>X</math> un conjunto, <math>X^n</math> el producto cartesiano de <math>n</math> copias de <math>X.</math> Para <math>\sigma</math> en <math>\textsf{S}_n,</math> definir
<center><math>\sigma \cdot (x_1, \ldots, x_n) = (x_{\sigma^{-1}(1)}, \ldots, x_{\sigma^{-1}(n)}).</math></center> Probar que la definición anterior define una acción de <math>\textsf{S}_n</math> en <math>X^n.</math>
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