Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Homomorfismos»

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Notemos que la relación de isomorfismo entre grupos es reflexiva, simétrica y transitiva.
<ul>
<li> Si <math>f: G \longrightarrow H</math> un isomorfismo y <math>g: H \longrightarrow G</math> es la inversa de ''f'' como función tenemos que<br /> para todo <i>x' = f(x), y' = f(y)</i> que <i>g(x'y') = g(f(x)f(y)) = g(f(xy))= xy = g(x') g(y')</i>. Es decir que
Es decir que la función inversa de un isomorfismo es también un isomorfismo.
 
<li> Si tenemos isomorfismos <math>f:G\longrightarrow H</math> y <math>g:H \longrightarrow K</math>, entonces su composición es un homomorfismo biyectivo, por lo que es un isomorfismo.
<hr>
Al pasar, hemos probado la siguiente proposición.
 
<b>Proposición. (Propiedades de Isomorfismos)</b> <i>
<ol type = "a">
<li> La función inversa de un isomorfismo es un isomorfismo.
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<hr>
 
<b>Observaciones. </b>
El logaritmo fue el primer ejemplo conocido de un isomorfismo de grupos. Permite transportar problemas de una estructura en la otra. Multiplicar es más difícil que sumar, por lo que para multiplicar dos números, sumamos sus logaritmos y, luego, usando, la inversa (que es la exponencial) obtenemos el resultado de la multiplicación.
 
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Hay un único grupo de orden 2, excepto por isomorfismos.
 
Vimos este resultado, anteriormente, analizando las posibilidades para el producto del elemento diferente del neutro. Aquí, veremos el mismo resultado pero usando isomorfismos. Sean <i>G={e,a}</i> y <i>H = {e',a'}</i> donde los elementos neutros son <i>e</i> y <i>e'</i> respectivamente. Sea <i>g</i> la función de <i>G</i> en <i>H</i> tal que <i>g(e)=e'</i> y <i>g(a) = ba'</i>. Entonces,
<center><math>\begin{array}{l} g(e*e) = g(e)= e'= ee' =g(e)g(e)\\
g(e*a) = g(a) = e'g(a) = g(e) g(a) \\
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Los isomorfismos preservan la estructura interna de un grupo. En particular, preservan ordenes de elementos. En efecto, sean <imath>f:G \longrightarrow H</imath> un isomorfismo y <i>x</i> un elemento de <i>G</i>, entonces tenemos, por un corolario anterior, que <math>o(f(x)|o(x)</math>. como <math>x = f^{-1}(f(x))</math> y <math>f^{-1}</math> es un homomorfismo, tenemos que
<math>o(x)|o(f(x))</math>. de donde, la igualdad. Aplicaremos esta observación enmás el próximo ejemploadelante.
 
{{Ejmpl|Dos grupos de orden 4 que no son isomorfos}}
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<ul>
''Demostración:'' Sean G=C_<sub>n,a</sub> y H = C_<sub>n,b.</sub> Definamos f:G en H por ''f(a<sup>k</sup>) = b<sup>k</sup>''. Se tiene entonces que
<center><math>f(a^ja^k) = f(a^{j+k})= b^{j+k} = b^jb^k = f(a^j)f(b^k) = f(a^j)f(a^k).</math></center>
Lo que prueba que f es un homomorfismo. Además, claramente, f es suprayectiva.
Claramente, f es suprayectiva. Supongamos que <math>f(a^k) = f(a^j)</math>. EstoSin implicaperdida de generalidad, podemos suponer que <math>e=b^kb^{-j} =\le f(a^k)f(a^{j})^{-1}</math>, por lo que tenemos que $0 \le j \le k <n$. {{QED}}Se tiene que
 
<math>f(a^k) = f(a^j) \implies b^k=b^j \implies b^{k-j}=e'</math>> Si <math> k \neq j</math>, <math>k-j</math> sería un número positivo menor que <math>n</math>. Lo que es imposible, porque por definición <math>n</math> es el menor entero positivo con la propiedad de que <math>a^n=e'.<\math>. Luego <math>k=j</math>, o sea que <mathf,/math> es inyectiva.
Lo que concluye la prueba. {{QED}}
</ul><hr>
 
==== Isomorfismo de Grupos Simétricos ====
Recordemos que el grupo simétrico <math>\textsf{S}_X</math> es el grupo formado por todas las biyecciones del conjunto ''<math>X''</math> en si mismo. Probaremos que cuando dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos, sus grupos simétricos son isomorfos. por lo que el grupo simétrico dependerá solamente de la cardinalidad del conjunto, pero no necesariamente del conjunto específico.
 
Recordemos que dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos (o igual cardinal) cuando, y solo cuando, hay una biyección de un en el otro. Sean ''X'', ''Y'' conjuntos con el mismo cardinal y sea <math>f:X \longrightarrow y</math> la función biyectiva que establece la igualdad de cardinales. Definamos <math>S_f: S_X \rightarrow S_Y</math> tal que para todo <math>\sigma</math> en <math>S_X</math>, asociamos la función <math>S_f(\sigma) = f \circ \sigma \circ f^{-1}</math> de ''Y'' en si mismo.
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Claramente, la asignación para cada <math>\eta</math> de <math>S_Y</math> de <math>f^{-1} \eta f</math> de <math>S_X</math> es una función inversa de <math>S_f</math> por lo que <math>S_f</math> es una biyección, lo que prueba que se trata de un isomorfismo de grupos.
 
{{PropBRht|Isomorfismo de Grupos Simétricos| Cuando <math>X</math> y <math>Y</math> son conjuntos con igual cantidad de elementos, sesus cumplegrupos quesimétricos son congtuentes. <math>S_X \cong S_Y</math>.}}
{{Ejmpl|Corolario}}<ib> SeaCorolario. <math/b>I_n = \{1,2,\dots, n\}</mathi>, entonces elEl grupo simétrico de cualquier conjunto con <math>n</math> elementos es isomorfo a <math>S_{I_n}S_n</math>, el grupo alsimétrico que denotamos porde <math>S_nS_{I_n}</math>.
<math>S_X \cong S_Y</math>.}}
{{Ejmpl|Corolario}}<i> Sea <math>I_n = \{1,2,\dots, n\}</math>, entonces el grupo simétrico de cualquier conjunto con <math>n</math> elementos es isomorfo a <math>S_{I_n}</math>, grupo al que denotamos por <math>S_n</math>.
</i>
 
De ahora en adelante, a menos que se indique lo contrario, supondremos que <math>S_n</math> es el grupo simétrico de <math>I_n=\{1,2,\dots, n\}</math>.
 
==== El Grupo de Automorfismos de un Grupo ====
Recordemos que un automorfismo de un grupo es un isomorfismo del grupo en si mismo.