Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Homomorfismos»
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Línea 86:
<hr>
{{Ejmpl|Ejemplo}}
La función <math>\nu:\Z \longrightarrow \Z_m</math> que asocia a cada entero <math>z</math> su clase de
{{Eqn|<math> \nu(x+y)= [x+y] = [x] + [y] = \nu(x)+\nu(y) </math>}}
<hr>
Línea 96:
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{{Ejmpl|Ejemplo (Grupo Producto)}}
Sean G, H, K grupos tales que
{{Eqn|<math>pr_H((h_1,k_1)(h_2k_2)) = pr_H(h_1h_2,k_1k_2)= h_1h_2 = pr_H(h_1,k_1)pr_H(h_2,k_2).</math>}}
Resultado análogo para la segunda proyección.
<hr>
{{PropRht|Composición de Homomorfismos|La composición de dos homomorfismos es un homomorfismo.}}
:''Demostración: '' Sean <math>f:G \longrightarrow G'</math> y <math>g: G'\longrightarrow G''</math> homomorfismos. Entonces.
<center><math>\begin{array}{rcl}
(g \circ f)(xy) &=& g(f(xy)) = g(f(x)f(y)) = g(f(x))g(f(y)) \\
Línea 112:
<math>f(x^n)=f(x^{n-1}x) = f(x^{n-1})f(x) = (f(x))^{n-1}f(x) = f(x)^n.</math>
<b>Proposición.(Homomorfismosy Potencias) </b>
<i>
Sea <math>f:G \longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y sea <i>x</i> un elemento de G. Entonces, para todo entero n se cumple que</i> <math>f(x^n) = f(x)^n.</math><br />
Línea 141:
<li> Sea <math>G=H \times K</math>. Sea <math>\iota_H: H \longrightarrow G</math> tal que <math>\iota_H(h)=(h,e_K)</math>. Probar que <math>\iota_H</math> es un monomorfismo de grupos.
Definir un <math>\iota_K</math> y enunciar y probar un resultado análogo.
</ol>
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