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Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Anillo de Polinomios»

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Línea 126:
La multiplicación definida en (16-4) es asociativa.</i>
<ul><i>
Demostración: </i> Sean <math>f,</math>, <math>g</math> y <math>h</math> tres sucesiones de <math>\N</math> en <math>A</math>. Para todo <math>n</math> se cumple que
<center><math>\begin{array}{rcl}
(f(gh))_n & =& \displaystyle \sum_{i+\nu=n}f_i(gh)_{\nu} = \sum_{i+\nu=n} f_i \sum_{j+k} g_jh_k \\
Línea 143:
 
<ul><i>
Demostración: </i> Sean <math>f,</math>, <math>g</math> y <math>h</math> tres funciones de <math>\N</math> en <math>A</math>. Para todo <math>n</math> se cumple que
<center><math>\begin{array}{rcl}
(f(g+h))_n& =&\displaystyle \sum_{i+j=n}f_{i}(g + h)_{j} = \sum_{i+j=n} f_{i}(g_{j} + h_{j}) \\
Línea 256:
<li> Ejercicio.
<li> Probaremos primeramente que <math>Xa=aX</math>.
<center><math>\begin{equation*}displaystyle Xa_n = \sum_{i+j=n} X_{i}a_{j} = \sum_{i+j=n}\delta_{1,i}a\delta_{0,j} = \delta_{1,n}a \delta_{0,0} = a \delta_{1,n} = a X_n.
\end{equation*}</math></center>
 
Suponer el resultado para todo <math>1\le k \le j</math>. Es decir que para todo <math>a</math> en <math>A</math> se cumple que <math>aX^k = X^k a</math>. Entonces,
<center><math>aX^{j+1} = aX^jX = X^jaX = X^jX a= X^{j+1}a.</math></center>
El resultado sigue por inducción. \qedhere
</ol>
{{QED}} </ul> <hr>
Línea 270:
Demostración: </i> Necesitamos tan sólo probar que la suma y el producto de sucesiones con soporte finito son sucesiones con soporte finito. Sean <math>f</math> y <math>g</math> dos polinomios tales que para <math>k>m</math> se tiene que <math>f_{k}=0</math> y para <math>k>n</math> se cumple que <math>g_{k}=0</math>.
Entonces, si <math>r>\max\{m,n\}</math>, se tiene que al ser <math>r</math> mayor que <math>m</math> y <math>n</math>, que
</math>(f-g)_{r} = f_{r} - g_{r} = 0 -0 = 0</math>. Es decir que <math>f-g</math> es un polinomio.
 
Sea ahora <math>r > m+ n</math>. Entonces,
Línea 341:
{{Caja|<math>\quad \text{gr}(fg) \le \text{gr}(f) + \text{gr}(g). \quad</math>}}
El siguiente ejemplo muestra que la desigualdad puede ser estricta.
 
{{Ejmpl|Ejemplo}}
Sea <math> A =\Z_6</math> se tiene que
Línea 383 ⟶ 384:
Sea <math>A</math> un anillo con identidad, entonces <math>A[X]</math> también es un anillo con identidad, por lo que podríamos considerar polinomios con coeficientes en <math>A[X]</math>. Si llamamos <math>Y</math> a la indeterminada correspondiente, tendríamos el anillo con identidad <math>A[X][Y]</math>, que simbolizamos de forma abreviada como <math>A[X,Y]</math>. Usando de base ese último anillo, podemos obtener <math>A[X,Y,Z]=A[X,Y][Z]</math>, etc.
 
=== Anillo de las Series Formales de Potencias} ===
Volvamos al anillo <math>A^{\N}</math>de las sucesiones con términos en un anillo <math>A</math>. Poniendo <math>X</math> al igual que para los polinomios, tendremos, por la demostración de la proposición de representación como sumatoria de los polinomios, que podríamos escribir cada sucesión como un polinomio de grado infinito, o sea como una sumatoria sin fin
<center><math>f = \sum_{i\ge 0} a_iX^{i} = a_0 + a_1X + \cdots + a_nX^n + \cdots.</math></center>
El lector habrá encontrado en sus cursos de Cálculo expresiones análogas llamadas <i>series de potencias</i>. Por tal razón, llamaremos a los elementos de <math>A^{\N}</math> <i>series de potencias formales</i>. Simbolizaremos a <math>A^{\N}</math> como <math>A[[X]]</math> y diremos que se trata del <b>anillo de las series de potencias formales</b> en una indeterminada con coeficientes en el anillo</b> <math>\mathbf{A}</math>.
 
 
Línea 403 ⟶ 404:
<center><math>(2X^2+3X+1)(3X^2+X+3) \text{ y } (-X^2+2X+3)^2.</math></center>
 
<li> Usar el método de coeficientes separados para realizar las operaciones indicadas en <math>\mathbb{FZ}_3[X]</math>,
<ol type="a">
<li> <math>(X^2 + X + 1)^3</math>;
<li> <math>(X-1)(X^4 + X^3 + X^2 + X + 1)</math>;
<li> <math>X(X+1)(X^2+X+1) </math> y
<li> <math>(X^3 +X^2 + 1)(X^3-X^2 + 1)</math>.
</ol>
Línea 424 ⟶ 425:
 
<li> Sean <math>f = \sum_{i \ge 0} X^i</math> y <math>g = 1 - X</math> dos series en <math>\Q[[X]]</math>. Hallar el producto de <math>f</math> con <math>g</math>.
 
 
<li> Hallar <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> tales que: <math>aX^2+bX+c = (X-5)(X-3)</math>.
Línea 433:
<center><math> f = X^4 + 2aX^3 + bX^2 + 2cX + d</math></center>
sea un cuadrado perfecto.
 
 
<li> Cuando <math>D</math> es un dominio de integridad, los únicos polinomios invertibles en <math>D[X]</math> son aquellos de grado cero y cuyo coeficiente líder es una unidad de <math>D</math>.
Línea 464 ⟶ 463:
<li> Sean <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> elementos de un anillo conmutativo. Hallar una fórmula para <math>(x+y+z)^n</math>.
 
<li> Sea <math>A= \Z</math>. Sean <math>f,</math>, <math>g</math> en <math>A^{\N}</math> tales que <math>f_n=1</math> y <math>g_n=n</math> para todo número <math>n</math>. Hallar <math>-2f+3g</math>, <math>6f-5g</math>, <math>f^2</math>, <math>g^2</math>.
 
<li> <math>A = \Z</math>. Sean <math>f,</math>, <math>g</math> en <math>A^{\N}</math> tales que <math>f_n = \delta_{2,n}</math>, <math>g_n = \delta_{3,n}</math>. Escribir de forma explícita como sucesiones a <math>f</math> y <math>g</math>. Hallar <math>f+g</math>, <math>f-g</math>, <math>fg</math>, <math>f^2</math>, <math>g^2</math>.
 
 
Línea 509 ⟶ 508:
 
<b>Funciones polinómicas.</b>
Cuando <math>\alpha</math> sea un elemento de <math>A</math> (que es obviamente un superanillo de si mismo) entonces <math>f(\alpha)</math> es un elemento de <math>A</math>. Por lo que tenemos asociada a cada polinomio <math>f</math> de <math>A[X]</math> una función <math>\alpha \mapsto f(\alpha)</math>, que diremos que es la <i>función polinómica</i> definida por <math>f</math>. A menos que haya un riesgo de confusión, usaremos el mismo nombre, <math>f,</math>, para dicha función.
 
Volviendo a la situación de la definición, tenemos para cada <math>\alpha</math> que es un elemento de <math>B</math>, una función que asigna a cada polinomio <math>f</math> de <math>A[X]</math> su evaluación en <math>\alpha</math>, <math>f(\alpha)</math>. Denotaremos esa función por <math>\rm{ev}_{\alpha}</math>. La siguiente proposición muestra que esa función es un homomorfismo de anillos.
Línea 581 ⟶ 580:
=== Los Ceros de un Polinomio ===
{{DefRht|Cero de un Polinomio| Sean <math>A</math> un anillo conmutativo con identidad, <math>B</math> un superanillo de <math>A</math> y <math>f</math> un polinomio con coeficientes en <math>A</math>. Diremos que un elemento <math>\alpha</math> de <math>B</math> que permuta con los elementos de <math>A</math> es
un <b>cero</b> o <b>raíz</b> del polinomio <math>f,</math>, ssi, <math>f(\alpha)=0</math>.
 
Denotaremos por <math>V_B(f)</math> (o simplemente <math>V(f)</math>, cuando el conjunto de donde se toman los ceros sea claro del contexto) al conjunto formado por todos los ceros de <math>f</math> en <math>B</math>.
Línea 648 ⟶ 647:
<center><math>1,\ 2,\ \sqrt{3},\ 2+\sqrt{3},\ 1+ \sqrt[3]{2}.</math></center>
 
<li> Para cada uno de los números siguientes verificar que se trata de un número algebraico, hallando de manera explícita un polinomio anulado por ese número. En cada caso indicar si el número es, o no, un entero algebraico. <br>
 
<math>\begin{matrix}
Línea 666 ⟶ 665:
 
<li> Sea <math>f = X^2 -5X +1</math> en <math>\R[X]</math> y sea
<math>M = \begin{bmatrix} 3&1 \\ 5 &2 \end{bmatrix}</math> una matriz <math>2 \times 2</math>. Probar que <math>M</math> es un cero de <math>f,</math>, o sea que <math>f(M)</math> es la matriz nula.
 
 
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