Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Anillo de Polinomios»
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Línea 129:
<center><math>\begin{array}{rcl}
(f(gh))_n & =& \displaystyle \sum_{i+\nu=n}f_i(gh)_{\nu} = \sum_{i+\nu=n} f_i \sum_{j+k} g_jh_k \\
& = &\displaystyle\sum_{i + \nu = n}f_i \sum_{j+k = \nu }
((fg)h)_n &=& \displaystyle \sum_{\mu + k=n} (fg)_{\mu}h_{k}
= \sum_{\mu + k=n} \sum_{i+j=\mu}f_{i}g_{j} h_{k} \\
& = &\displaystyle\sum_{\mu+k} \sum_{i+j=\mu} (f_{i}g_{j})h_{k} = \sum_{i+j+k}f_{i}g_{j}h_{k}
\end{array}</math></center>
Lo que prueba la asociatividad.
Línea 145:
Demostración: </i> Sean <math>f</math>, <math>g</math> y <math>h</math> tres funciones de <math>\N</math> en <math>A</math>. Para todo <math>n</math> se cumple que
<center><math>\begin{array}{rcl}
(f(g+h))_n& =&\displaystyle \sum_{i+j=n}f_{i}(g + h)_{j} = \sum_{i+j=n} f_{i}(g_{j} + h_{j}) \\
&= &\displaystyle \sum_{i+j=n} f_{i}g_{j} + f_{i}h_{j} = \sum_{i+j=n} f_{i}g_{j} + \sum_{i+j=n} f_{i}h_{j} \\
& = & \displaystyle(fg)_n + (fh)_n.
\end{array}</math></center>
Análogamente, se verifica la distributividad por la derecha.
Línea 548:
<ul>
<li> <math>\begin{array}[t]{rcl}
\widetilde{\phi}(f)+ \widetilde{\phi}(g) &=&\displaystyle \sum_i \phi(a_i) X^{i} + \sum_j\phi(b_j) X^j = \sum_k (\phi(a_k) + \phi(b_k) X^k \\ &= & \sum_k \phi(a_k+b_k)X^k = \widetilde{\phi}(f+g).
\end{array}</math>
<li> <math>\begin{array}[t]{rcl}
\widetilde{\phi}(f) \widetilde{\phi}(g) &=& \displaystyle\sum_{i+j} \phi(a_i)\phi(b_j) X^{i+j} =
\sum_{i+j} \phi(a_i b_j) X^{i+j} = \widetilde{\phi}(fg).
\end{array}</math>
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