Diferencia entre revisiones de «Álgebra Abstracta/Anillo de Polinomios»

Consideremos el cuerpo <math>\mathbb{F}_3</math> (<math>=\Z_3</math>) y sean <math>f</math> y <math>g</math> funciones de <math>\mathbb{FZ}_3</math> en si mismo tales que <math>f(x) = x^3 + 2</math>\ y <math>g(x) = x+2</math>. La tabla siguiente muestra los valores de las funciones.

<center><math>\begin{array}{c|c|c}

Como para todo <math>x</math> de <math>\mathbb{FZ}_3</math> se cumple que <math>f(x) = g(x)</math>, tenemos que las funciones polinómicas <math>f</math> y <math>g</math> son iguales, aunque sus grados son diferentes. Nosotros no queremos que polinomios de diferentes grados sean iguales, por lo que necesitaremos una noción diferente a funciones polinómicas.

Esa es precisamente la vía que adoptaremos. Nuestros polinomios formales serán sucesiones de números o, en general, de elementos de un anillo, que se operan de acuerdo a las relaciones en las ecuaciones {{Eqnref|(16-1}}) y {{Eqnref|(16-2}}), y cuyos términos son todos nulos a partir de un cierto término en adelante.

Sean <math>f</math> y <math>g</math> dos sucesiones de <math>A^{\N}</math>. Definiremos el producto <math>fg</math> de esas sucesiones por una relación idéntica a aquella en la ecuación {{Eqnref|(16-2}}), es decir que

La multiplicación definida en {{Eqnref|(16-4}}) es asociativa.</i>

(f(gh))_n & =& \displaystyle \sum_{i+\nu=n}f_i(gh)_{\nu} = \sum_{i+\nu=n} f_i \sum_{j+k} g_jh_k \\

Las relaciones {{Eqnref|(16-5}}) y {{Eqnref|(16-6}}) nos dicen que la función <math>\varphi</math> es efectivamente un homomorfismo que además es inyectivo. Por lo tanto, <math>A</math> es isomorfo (como anillo) con su imagen. Usando ese monomorfismo, identificaremos los elementos de <math>A</math> con sus imágenes, por lo cual consideraremos a <math>A</math> como un subanillo de <math>A^{\N}</math>.